2024-2025学年高考数学考点第七章数列等差数列及其前n项和理

等差数列及其前n项和1．等差数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式假如等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．(7)若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为eq\f(1,2)d.5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．概念方法微思索1．“a，A，b是等差数列”是“A＝eq\f(a＋b,2)”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不肯定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．1．（2024•北京）在等差数列中，，．记，2，，则数列A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由，，得，．由，得，而，可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项起先为正值．可知，，，为最大项，自起均小于0，且渐渐减小．数列有最大项，无最小项．故选．2．（2024•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最终一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】方法一：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，由等差数列的性质可得，，成等差数列，且，则，则，则三层共有扇面形石板块，方法二：设第环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、其次层、第三层的块数分别为，，，下层比中层多729块，，，，解得，，故选．3．（2024•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知，，则A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由，，得，，，，故选．4．（2024•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则A． B． C．10 D．12【答案】B【解析】为等差数列的前项和，，，，把，代入得．故选．5．（2024•全国）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是A． B． C． D．，【答案】A【解析】等差数列的前项和为，，，，，，解得．公差的取值范围是，．故选．6．（2024•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】为等差数列的前项和，，，，解得，，的公差为4．故选．7．（2024•新课标Ⅲ）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为A． B． C．3 D．8【答案】A【解析】等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，，，且，，解得，前6项的和为．故选．8．（2024•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则__________．【答案】【解析】依据题意，等差数列满意，即，变形可得，所以．故答案为：．9．（2024•新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和．若，，则__________．【答案】25【解析】因为等差数列中，，，所以，，即，则．故答案为：25．10．（2024•海南）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为__________．【答案】【解析】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前项和为，故答案为：．11．（2024•新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则__________．【答案】100【解析】在等差数列中，由，，得，．则．故答案为：100．12．（2024•新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则__________．【答案】4【解析】设等差数列的公差为，则由，可得，，，故答案为：4．13．（2024•北京）设等差数列的前项和为，若，，则__________，的最小值为__________．【答案】0，【解析】设等差数列的前项和为，，，，解得，，，，或时，取最小值为．故答案为：0，．14．（2024•江苏）已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是__________．【答案】16【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得．．故答案为：16．15．（2024•北京）设是等差数列，且，，则的通项公式为__________．【答案】【解析】是等差数列，且，，，解得，，．的通项公式为．故答案为：．16．（2024•上海）记等差数列的前项和为，若，，则__________．【答案】14【解析】等差数列的前项和为，，，，解得，，．故答案为：14．17．（2024•上海）已知是等差数列，若，则__________．【答案】15【解析】是等差数列，，，解得，．故答案为：15．18．（2024•上海）若等差数列的前5项的和为25，则__________．【答案】10【解析】等差数列的前5项的和为25，，．故答案为：10．19．（2024•北京）设是等差数列，，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值．【解析】（Ⅰ）是等差数列，，且，，成等比数列．，，解得，．（Ⅱ）由，，得：，或时，取最小值．20．（2024•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围．【解析】（1）依据题意，等差数列中，设其公差为，若，则，变形可得，即，若，则，则，（2）若，则，当时，不等式成立，当时，有，变形可得，又由，即，则有，即，则有，又由，则有，则有，综合可得：的取值范围是，．21．（2024•新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【解析】（1）等差数列中，，，，，解得，，；（2），，，，当时，前项的和取得最小值为．强化训练强化训练1．（2024•运城模拟）已知等差数列的前项和为，满意，且，，成等差数列，则A． B． C． D．【答案】B【解析】等差数列的前项和为，满意，且，，成等差数列，，，即，，故公差，，且．，，故选．2．（2024•东湖区校级模拟）在等差数列中，，表示数列的前项和，则A．134 B．135 C．136 D．137【答案】B【解析】在等差数列中，，，解得，表示数列的前项和，则．故选．3．（2024•青羊区校级模拟）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸【答案】D【解析】从冬至日起，日影长构成数列，则数列是等差数列，则，，所以，解可得，，．故．故选．4．（2024•威海二模）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是依据日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长改变如图所示，相邻两个节气晷长削减或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是A．相邻两个节气晷长削减或增加的量为一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．立冬的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短【答案】D【解析】由题意知：设晷长为等差数列，公差为，则，，解得．相邻两个节气晷长削减的量为一尺，故正确．秋分的晷长为：，春分的晷长为：75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故正确．立冬的晷长为：即为一丈五寸，故正确．立春的晷长与立秋的晷长都为30，故不正确．故选．5．（2024•运城模拟）已知为等差数列的前项和，若，则A． B． C． D．【答案】A【解析】由等差数列的性质可得，解得．故选．6．（2024•福建模拟）等差数列的前项和为，若，是方程的两实根．则A．10 B．5 C． D．【答案】C【解析】等差数列的前项和为，若，是方程的两实根，，，则，故选．7．（2024•乌鲁木齐三模）已知等差数列满意，，则A．20 B．24 C．26 D．28【答案】B【解析】等差数列满意，，设公差为，相减可得，．则，故选．8．（2024•南平三模）已知等差数列的前项和为，且满意，，则下列结论正确的是A．有最大值32 B．有最小值10 C．有最大值 D．有最大值30【答案】D【解析】等差数列中，设公差为，由，得，所以；①又，即，化简得；②由①②解得，；所以；令，解得；所以或6时，取得最大值，此时．故选．9．（2024•焦作四模）设等差数列的前项和为，，，则A． B． C．36 D．85【答案】B【解析】由题意利用等差数列的性质得，解得，所以，，故选．10．（2024•重庆模拟）设等差数列的公差为，前项和为，若，且，则A． B． C．1 D．3【答案】A【解析】等差数列中，，所以；又，所以；所以，解得．故选．11．（2024•唐山二模）已知等差数列的前项和为，，，则A． B．0 C．10 D．20【答案】C【解析】等差数列中，，，所以．故选．12．（2024•天津模拟）已知在等差数列中，，，则A．3 B．7 C． D．【答案】C【解析】由等差数列的性质，得，所以，公差，又，所以．故选．13．（2024•梅州一模）已知等差数列的公差不为零，且，，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】由题意可得，，，整理可得，即，，故．故选．14．（2024•宁德二模）已知等差数列的前项和为，且，则A．21 B．27 C．30 D．36【答案】B【解析】等差数列的前项和为，且，，则，故选．15．（2024•天心区校级模拟）数列是等差数列，且，，那么A． B． C．5 D．【答案】B【解析】，，数列是等差数列，设公差为．，解得．，解得．故选．16．（2024•河南模拟）记等差数列的前项和为，若，，则A． B． C． D．0【答案】A【解析】等差数列的前项和为，，，也成等差数列，又，，，，故选．17．（2024•哈尔滨三模）数列是等差数列，且，，那么A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，且，，，，，解得．，．那么．故选．18．（2024•湖北模拟）已知首项为正的等差数列的前项和为，，若对于随意的，都有，则A．8 B．9 C．8或9 D．9或10【答案】C【解析】首项为正的等差数列的前项和为，，，整理得：，可得，，可得或9时，取得最大值．对于随意的，都有，则或9．故选．19．（2024•沙坪坝区校级模拟）设为等差数列的前项和，若，，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】为等差数列的前项和，，，，解得，，．故选．20．（2024•松原模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则公差A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】等差数列中，，，则，解可得，，故选．21．（2024•三模拟）已知数列既是等差数列又是等比数列，首项，则它的前2024项的和等于A．0 B．1 C．2024 D．2024【答案】C【解析】数列既是等差数列又是等比数列，且首项，，即数列是常数列．它的前2024项的和等于2024．故选．22．（2024•运城模拟）等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）当时，证明：．【解析】（1）设等差数列的公差为，，．，，联立解得：，，．（2）证明：当时，．，．，．综上可得：．23．（2024•安徽模拟）记为等差数列的前项和．已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设．求数列的前项和．【解析】设等差数列的公差为．，．，，解得：，，．（Ⅱ），数列的前项和．24．（2024•汉中二模）设等差数列满意，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求的前项和及使得最小的的值．【解析】（1），，；（2），由于是二次函