2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算教学用书教案新人教A版选修2-1

PAGE3.1空间向量及其运算3.3.学习目标核心素养1．理解空间向量的概念．(难点)2．驾驭空间向量的线性运算．(重点)3．驾驭共线向量定理、共面对量定理及推论的应用．(重点、难点)1．通过空间向量有关概念的学习，培育学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面对量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养．1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up7(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量随意00单位向量随意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up7(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up7(→))相等向量相同相等a＝b3．向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思索1：(1)空间中，a，b，c为不共面对量，则a＋b＋c的几何意义是什么？(2)平面对量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？[提示](1)以a，b，c为相邻棱的平行六面体的体对角线．(2)随意两个向量都可平移到同一平面，故空间向量的加减运算与平面对量的加减运算类似．4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍旧是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a．5．共线向量和共面对量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb．③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))．(2)共面对量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面对量．②共面对量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或对空间随意一点O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))．思索2：(1)空间中随意两个向量肯定是共面对量吗？(2)若空间随意一点O和不共线的三点A，B，C，满意eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))，则点P与点A，B，C是否共面？[提示](1)空间中随意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此肯定是共面对量．(2)由eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))得eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))即eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，因此点P与点A，B，C共面．1．如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1全部的棱中，可作为直线A1B1A．1个 B．2个C．3个 D．4个D[共四条：AB，A1B1，CD，C1D1．]2．已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up7(→))＝()A．a＋b－c B．－a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－cC[eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋c．]3．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))化简的结果为________．0[延长DE交边BC于点F，则有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，故eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝0．]4．在三棱锥A­BCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))的化简结果为________．eq\o(EF,\s\up7(→))[eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(EF,\s\up7(→))．]空间向量的有关概念【例1】(1)给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))；④若空间向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则m＝p．其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量eq\o(AA′,\s\up7(→))相等的向量有________；与向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))相反的向量有________．(要求写出全部适合条件的向量)(1)②③④(2)eq\o(BB′,\s\up7(→))，eq\o(CC′,\s\up7(→))，eq\o(DD′,\s\up7(→))eq\o(B′A′,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(C′D′,\s\up7(→))[(1)对于①，向量a与b的方向不肯定相同或相反，故①错；对于②，依据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；对于③，依据相等向量的定义知，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))，故③正确；对于④，依据相等向量的定义知正确．](2)依据相等向量的定义知，与向量eq\o(AA′,\s\up7(→))相等的向量有eq\o(BB′,\s\up7(→))，eq\o(CC′,\s\up7(→))，eq\o(DD′,\s\up7(→))．与向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))相反的向量有eq\o(B′A′,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(C′D′,\s\up7(→))．]解答空间向量有关概念问题的关键点及留意点1关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.2留意点：留意一些特别向量的特性.①零向量不是没有方向，而是它的方向是随意的，且与任何向量都共线，这一点说明白共线向量不具备传递性.②单位向量方向虽然不肯定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不肯定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.eq\O([跟进训练])1．如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1(1)试写出与eq\o(AB,\s\up7(→))相等的全部向量；(2)试写出eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up7(→))的模．[解](1)与向量eq\o(AB,\s\up7(→))相等的向量有eq\o(A1B1,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，，eq\o(D1C1,\s\up7(→))，共3个；(2)向量eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))，共4个；(3)|eq\o(AC1,\s\up7(→))|2＝22＋22＋12＝9，所以|eq\o(AC1,\s\up7(→))|＝3．空间向量的线性运算【例2】(1)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量eq\o(AC1,\s\up7(→))的有()①(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))；②(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))；④(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))．A．1个 B．2个C．3个 D．4个(2)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：①eq\o(AP,\s\up7(→))；②eq\o(A1N,\s\up7(→))；③eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))．思路探究：(1)依据向量的三角形法则和平行四边形法则求解．(2)依据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解．(1)D[对于①，(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))，对于②，(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))，对于③，(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))，对于④，(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．](2)解：①∵点P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b，②∵点N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c，③∵点M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))＝eq\o(MA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＋eq\o(NC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋c＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＋a＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c．1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，敏捷运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必留意和向量、差向量的方向，必要时可采纳空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合详细图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，奇妙运用中点性质．eq\O([跟进训练])2．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中点O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋xeq\o(PC,\s\up7(→))＋yeq\o(PA,\s\up7(→))；(2)eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o(PO,\s\up7(→))＋yeq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))．[解](1)如图所示，eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))，由向量加法的平行四边形法则可得eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PA,\s\up7(→)))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))，∴x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)．(2)∵eq\o(PA,\s\up7(→))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋2eq\o(QO,\s\up7(→))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋2(eq\o(PO,\s\up7(→))－eq\o(PQ,\s\up7(→)))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋2eq\o(PO,\s\up7(→))－2eq\o(PQ,\s\up7(→))，∴x＝2，y＝－2．共线问题【例3】(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up7(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up7(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________．(2)如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD与AC交于点M．求证：C1，O，M三点共线．思路探究：(1)依据向量共线的充要条件求解．(2)用向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))分别表示eq\o(MO,\s\up7(→))和eq\o(MC1,\s\up7(→))．(1)1[eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2．设eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝7,λk＝k＋6))，解得k＝1．](2)解：设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，则eq\o(MO,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b＋eq\f(1,3)c，eq\o(MC1,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))，＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，∴eq\o(MC1,\s\up7(→))＝3eq\o(MO,\s\up7(→))，又直线MC1与直线MO有公共点M，∴C1，O，M三点共线．1．推断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b．(2)推断向量共线的关键：找到实数λ．2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))成立．(2)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)．(3)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．eq\O([跟进训练])3．(1)已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，则肯定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，DA[因为eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AB,\s\up7(→))．又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．](2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))．求证：E，F，B三点共线．[证明]设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，因为eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))，所以eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up7(→))，所以eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(A1F,\s\up7(→))－eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c))．又eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(EA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up7(→))，所以E，F，B三点共线．向量共面问题[探究问题]1．能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？[提示](1)存在有序实数对(x，y)，使得eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))．(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(其中x＋y＋z＝1)．(3)eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))．2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试推断p，m，n[提示]设p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋cy(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c．因为a，b，c不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1，))而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面．【例4】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE．求证：向量eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))共面．思路探究：可通过证明eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(CD,\s\up7(→))＋yeq\o(DE,\s\up7(→))求证．[证明]因为M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))．同理eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up7(→))．所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up7(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up7(→))))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up7(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up7(→))．又eq\o(CD,\s\up7(→))与eq\o(DE,\s\up7(→))不共线，依据向量共面的充要条件可知eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))共面．1．利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量肯定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．2．证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．(3)用平面：找寻一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．eq\O([跟进训练])4．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满意eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))．(1)推断eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．[解](1)因为eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以6eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，所以3eq\o(OA,\s\up7(→))－3eq\o(OM,\s\up7(→))＝(2eq\o(OM,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→)))＋(eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))，因此3eq\o(MA,\s\up7(→))＝2eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝－2eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))．故向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．1．一些特别向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是随意的．(2)单位向量方向虽然不肯定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不肯定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2．四点P，A，B，C共面⇔对空间随意一点O，都有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，且x＋y＋z＝1．3．eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中随意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．4．证明(或推断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BC,\s\up7(→))(或eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→)))即可，也可用“对空间随意一点O，有eq\o(OC,\s\up7(→))＝teq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up7(→))”来证明三点A，B，C共线．5．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，满意这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满意这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．1．下列说法正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不肯定相同D．若|a|>|b|，|b|>|c|，则a>cB[对于A，由|a|＝|b|可得a与b的长度相同，但方向不确定；对于B，a与b是相反向量，则它们的模相等，故B正确；对于C，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点肯定相同，故C错；对于D，向量不能比较大小，故D错．]2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up7(→))的是()①eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))；②eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DD1,\s\up7(→)