2024年中考数学二次函数压轴题：直角三角形的存在性问题（学生版+解析）

专题09直角三角形的存在性问题

一、知识导航

【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1）,点B坐标为（5,3）,在x轴上找一点C使得

△ABC是直角三角形，求点C坐标.

【几何法】两线一圆得坐标

⑴若NA为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C;

⑵若为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C;

⑶若/C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C.（直径所对的圆周角为直角）

重点还是如何求得点坐标，G、c2求法相同，以为例:

【构造三垂直】

易证AAMBMBNC2

AMMB

BN~NC2

由A、B坐标得AA1=2,BM=4,NC2=3

3

代入得：BN=a

13

故。2坐标为(万，0)

。3、C4求法相同，以C?为例:

Aktg

itM.N*“#所3.<"W

Ia

代入即+3.乂d.故o-l或3

b3

故为(2j0).Q不卜为(4.0)

构造三垂直步骤：

第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似.

【代数法】表示线段构勾股

还剩下G待求，不妨来求下c>

⑴表示点：设G坐标为(祖,0),又A(1,1)、B(5,3);

表示线段：AB=2'BC)22

⑵AC1=J(m-I?+F,t=^(/72-5+3;

(3)分类讨论：当/BAG为直角时，AB2+AC：=BC^2;

3

(4)代入得方程：20+(m-l)2+l2=(m-5)2+32,解得:m=—

2

还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：

互相垂直的两直线斜率之积为-1.

考虑到直线AC】与A8互相垂直，kAC^-=—1,可得：上的二一2,

又直线AG过点A(1,1),可得解析式为：y=-2%+3,

3

所以与入轴交点坐标为,oj,即G坐标为

确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~

【小结】

几何法：(1)“两线一圆''作出点；

(2)构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数.

代数法：(1)表示点A、B、C坐标;

(2)表示线段AB、AC,BC-

(3)分类讨论①A¥+AC^BC2、@AB2+BC2=AC2,③40+80=482；

(4)代入列方程，求解.

如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等.

二、典例精析

如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=0^+2元+c与x轴交于A(-l,0),3(3,0)两点，与y轴交于点C,

点D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

(2)请在y轴上找一点使ABO0的周长最小，求出点M的坐标;

(3)试探究：在抛物线上是否存在点尸，使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三南形是直角三角形？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)抛物线：y=-x2+2x+3,直线AC:产3%+3;

（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了.

（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、。作AC的垂线，与抛物线交点即为所求尸点,

有如下两种情况，

先求过A点所作垂线得到的点尸:

设P点坐标为（机，一病+2m+3）,

则PM=m+l,AM=0-(-m2+2机+3)=m2-2m-3,

易证△PMASAANC,且AN=3,CN=\,

.m+1m2-2m-3自101,人、

..----=-----------,解付：m,=—,丐二一1（舍），

313

故第1个P点坐标为

再求过点C所作垂线得到的点P:

PM=3—(—根之+2m+3)=根?_2m,CN=m,

,vyiC-=3：，解得：叫=7;，啊=。（舍），

m—2m13

故第2个尸点坐标为

10

综上所述，P点坐标为

三、中考真题演练

1.（2023•江苏・中考真题）如图，二次函数'=：必+区-4的图像与无轴相交于点4（-2,0）、B,其顶点是C.

⑴6=：

（2）。是第三象限抛物线上的一点，连接0。，tanNAOD=|；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线

经过点。，过点（左,。）作x轴的垂线/.已知在/的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求左的取值范围；

（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点。且其顶点尸落在原抛物线上，连接

PC、QC、PQ.已知△PC。是直角三角形，求点尸的坐标.

2.（2023•内蒙古赤峰•中考真题）定义：在平面直角坐标系X。〉中，当点N在图形/的内部，或在图形M

上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.

⑴如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（T2）,B（-l-l）,C（3-1）,E＞（3,2）,在点陷（1,1）,监（2,2）,

M（3,3）中,是矩形ABCZT梦之点”的是；

k

（2）点G（2,2）是反比例函数％=乙图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是

X

,直线GH的解析式是%=.当%＞当时，x的取值范围是.

1g

⑶如图②，已知点A,8是抛物线了=-2f+%+5上的“梦之点”，点。是抛物线的顶点，连接AC,AB,

BC,判断一AfiC的形状，并说明理由.

3.（2023•四川内江・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+6x+c与x轴交于B（4,0）,C（-2,0）

两点.与y轴交于点4（0,-2）.

O

（1）求该抛物线的函数表达式;

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点使得是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求

出点"的坐标，若不存在，请说明理由.

4.（2023•江苏连云港•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOv中，抛物线乙：y=x2-2x-3的顶点为p.直

线/过点M（0,〃z）（〃也-3）,且平行于x轴，与抛物线右交于两点（8在A的右侧）.将抛物线。沿直线/

翻折得到抛物线4,抛物线4交，轴于点C，顶点为O.

（1）当根=1时，求点。的坐标;

（2）连接3C、CD、DB,若△BCD为直角三角形，求此时4所对应的函数表达式;

7.(2022・四川广安・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=62+工+/〃(分0)的图象与x轴交

于A、C两点，与y轴交于点3,其中点2坐标为(0,—4),点C坐标为(2,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得A为直角三角形，请求出点P的坐标.

8.(2022•内蒙古呼和浩特•中考真题)如图，抛物线>=-</+云+。经过点8(4,0)和点C(0,2),与x轴的另

一个交点为A,连接AC、BC.

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标;

(2)如图1,若点。是线段AC的中点,连接3。，在V轴上是否存在点E,使得是以皮)为斜边的直

角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由;

9.(2022・四川雅安•中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(-1,0),B(3,0),且与y轴交

于点C(0,-3).

备用图

(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；

(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为Rm,若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明

理由；

10.(2022•山东滨州•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线产尤2-2彳-3与x轴相交于点A、8(点

A在点8的左侧)，与y轴相交于点C,连接AC,8C.

(1)求线段AC的长；

⑶若点M为该抛物线上的一个动点，当3cM为直角三角形时，求点〃的坐标.

专题09直角三角形的存在性问题

一、知识导航

【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1）,点8坐标为（5,3）,在x轴上找一点C使得

△ABC是直角三角形，求点C坐标.

【几何法】两线一圆得坐标

(1)若/A为直角，过点A作的垂线，与x轴的交点即为所求点C;

⑵若为直角，过点B作的垂线，与x轴的交点即为所求点C;

⑶若NC为直角，以为直径作圆，与无轴的交点即为所求点C.（直径所对的圆周角为直甭）

重点还是如何求得点坐标，G、c2求法相同，以a为例:

【构造三垂直】

易证AAMBMBNC2

AMMB

BN~NC2

由A、B坐标得AA1=2,BM=4,NC2=3

3

代入得：BN=a

13

故。2坐标为(万，0)

。3、C4求法相同，以C?为例:

Aktg

itM.N*“#所3.<"W

Ia

代入即+3.乂d.故o-l或3

b3

故为(2j0).Q不卜为(4.0)

构造三垂直步骤：

第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似.

【代数法】表示线段构勾股

还剩下G待求，不妨来求下c>

⑴表示点：设G坐标为(祖,0),又A(1,1)、B(5,3);

表示线段：AB=2'BC)22

⑵AC1=J(m-I?+F,t=^(/72-5+3;

(3)分类讨论：当/BAG为直角时，AB2+AC：=BC^2;

3

(4)代入得方程：20+(m-l)2+l2=(m-5)2+32,解得:m=—

2

还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：

互相垂直的两直线斜率之积为-1.

考虑到直线AC】与A8互相垂直，kAC^-=—1,可得：上的二一2,

又直线AG过点A(1,1),可得解析式为：y=-2%+3,

3

所以与入轴交点坐标为,oj,即G坐标为

确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~

【小结】

几何法：(1)“两线一圆''作出点；

(2)构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数.

代数法：(1)表示点A、B、C坐标;

(2)表示线段AB、AC,BC-

(3)分类讨论①A¥+AC^BC2、@AB2+BC2=AC2,③40+80=482；

(4)代入列方程，求解.

如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等.

二、典例精析

如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=0^+2元+c与x轴交于A(-l,0),3(3,0)两点，与y轴交于点C,

点D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

(2)请在y轴上找一点使ABO0的周长最小，求出点M的坐标;

(3)试探究：在抛物线上是否存在点尸，使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三南形是直角三角形？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)抛物线：y=-x2+2x+3,直线AC:产3%+3;

（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了.

（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、。作AC的垂线，与抛物线交点即为所求尸点,

有如下两种情况，

先求过A点所作垂线得到的点尸:

设P点坐标为（机，一病+2m+3）,

则PM=m+l,AM=0-(-m2+2机+3)=m2-2m-3,

易证△PMASAANC,且AN=3,CN=\,

.m+1m2-2m-3自101,人、

..----=-----------,解付：m,=—,丐二一1（舍），

313

故第1个P点坐标为

再求过点C所作垂线得到的点P:

PM=3—(—根之+2m+3)=根?_2m,CN=m,

,vyiC-=3：，解得：叫=7;，啊=。（舍），

m—2m13

故第2个尸点坐标为

10

综上所述，P点坐标为

三、中考真题演练

1.(2023•江苏・中考真题)如图，二次函数'=：必+区-4的图像与无轴相交于点4(-2,0)、B,其顶点是C.

⑴6=：

(2)。是第三象限抛物线上的一点，连接0。，tanNAOD=|；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线

经过点。，过点(左,。)作x轴的垂线/.已知在/的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求左的取值范围；

(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点。且其顶点尸落在原抛物线上，连接

PC、QC、PQ.已知△PC。是直角三角形，求点尸的坐标.

【详解】(1)解：把4一2,0)代入，=3尤2+法_4得，

0=1X(-2)2+/;X(-2)-4,

解得b=-l,

故答案为-1;

(2)解：过点。作。04于点

VZ?=-1,

；•二次函数的解析式为y=-x-4

设-m-4j,

是第三象限抛物线上的一点，连接tanZAOD=|,

124

——m+m+4

tanZAOD=^25,

—m2

解得小二-1或机=8(舍去),

当用二—1时，—m2—m—4=—+1—4=—,

222

•,4T-3

1g

...设将原抛物线向左平移后的抛物线为y=；(x+a)9~-：,

把£>(一1,一外代入y=3+a)*得-1=；(T+a)Y，

解得〃=3或〃=-1(舍去)，

1Q

工平移后得抛物线为>=5(%+3)29-]

・・•过点(£0)作X轴的垂线/.已知在/的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，

1oQ

在y=](%+3)2-：的对称轴4―3的左侧，y随工的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小,

：.k<-3；

1a1

(3)解：由y=](x—9于设平移后的抛物线为y=5(x—夕)92+”则顶点为P(p，4),

199

•・•顶点为尸(p,q)在y=](%T)-5上，

・1/八29124

・・”/(7-1)~2=2P—P—4，

•••平移后的抛物线为y=；(x-p)2+；pJp-4,顶点为尸1p,gp2-P-4)

1Q

•••原抛物线y=5(x_l)9一一1，

，原抛物线的顶点,对称轴为x=l,

•••平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q,

-2p-万],

:点。、C在直线X=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点。在顶点尸

的上方,

ZPCQ与/CQP都是锐角,

V△PC。是直角三角形，

ZCPQ=90°,

：.QC2=PC2+PQ?,

「・[22_2p_(+2)=(p-l/_〃_4+_1)+(p—l)2+[gp2_〃_4—〃2+2p+()化简得

(〃-l)2(p-3)(p+l)=。,

.,.p=l(舍去)，或p=3或p=-l,

当p=3时，/?—4=-^x32—3—4=-

i、o5

当p=-l时，—x(-l)+1-4=--,

...点p坐标为卜，-3或1L-£|.

【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析

式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键.

2.(2023•内蒙古赤峰•中考真题)定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M

上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.

-4-3-22-10123°4*//]AO',|\x

-4-

图①图②

⑴如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(T2),B(-l-l),C(3,-l),0(3,2),在点M?(2,2),

M3(3,3)中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________；

⑵点G(2,2)是反比例函数％=4图象上的一个“梦之点

”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是

X

___________,直线GH的解析式是%=___________.当%＞当时，x的取值范围是___________.

19

(3)如图②，已知点A,8是抛物线了=一2f+工+5上的1“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC,AB,

BC,判断一AfiC的形状，并说明理由.

【答案】（1）M「M2

⑵H（-2,-2）,y2=x,x<-2或0cx<2

（3）ABC是直角三角形，理由见解析

【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；

（2）把G（2,2）代入％=人求出解析式，再求与>=尤的交点即为H,最后根据函数图象判断当必〉为时，x

X

的取值范围；

（3）根据“梦之点”的定义求出点A,B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出AC,AB,BC,即可判

断_ABC的形状.

【详解】（1）二•矩形A3CD的顶点坐标分别是A（-l,2）,B（-l.-l）,C（3-1）,£>（3,2）,

/.矩形ABCD“梦之点”（x,y）满足TWxW3,

.•.点必（1,1）,Mz（2,2）是矩形ABCD“梦之点”，点M（3,3）不是矩形ABCD“梦之点”，

故答案为：Mx,M2.

（2）♦..点G（2,2）是反比例函数%=5图象上的一个“梦之点”,

.•.把G（2,2）代入％=人得左=4,

X

-e*乂=3,

X

,「梦之点”的横坐标和纵坐标相等，

•丁梦之点”都在直线y=%上，

V.=—f尤=2f尤=-2

联立一X,解得c或0

j=x1>=21了=一2

H（—2,—2）,

直线G”的解析式是%=不

函数图象如图:

由图可得，当M>必时，x的取值范围是x<-2或0<x<2；

故答案为：2,-2）,y2=x,x<-2或0cx<2；

(3)ABC是直角三角形，理由如下:

1g

1/点A,B是抛物线y=--x2+x+彳上的“梦之点”,

19

y——x2+XH—无二或x=-3

联立22,解得

y=-3'

尸尤)=3

.•.A（3,3）,B（-3,-3）,

--=_*_1）一+5

-y=

22

顶点C(l,5),

22222

AC=（3-1）2+（3-5）2=8,.=（_3-3）2+（_3_3）=72,BC=（-3-l）+（-3-5）=80,

BC2=AC2+AB2,

，.ASC是直角三角形.

【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两

点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键.

3.(2023•四川内江・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=西+6尤+c与x轴交于3(4,0),C(-2,0)

两点.与y轴交于点4(0,-2).

（1）求该抛物线的函数表达式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点使得△肠R是以A3为一条直角边的直角三角形：若存在，请求

出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

【分析】（1）将A、5、C代入抛物线解析式求解即可；

（3）过A作⑷孙交抛物线的对称轴于过8作2M।LAB交抛物线的对称轴于连接AM】，

设必（I,"）,可求41%2="+4〃+5,反％2="+9,由AB?+即必=AM：,可求根，进而求出直线BM

的解析式，即可求解.

【详解】（1）解：由题意得

16Q+4Z?+C=0

<4。-2。+c=0,

c=-2

1

ci=——

4

解得：<b=,

c=-2

••・抛物线的解析式为y=1_2.

42

（3）解：存在，

如图，过A作41乙LAB交抛物线的对称轴于“2,过3作用％，交抛物线的对称轴于连接4%,

.,.设

.1AM：=『+（”+2）2

=n2+471+5,

AB2=22+42=20,

BM；=（4-1）2+/

="+9，

AB2+BM^=AM^,

n~+9+20=+4〃+5，

解得："=6,

，M（L6）；

设直线8Ml的解析式为y=Kx+4,则有

代+4=6

14勺+bx=0，

直线BMX解析式为y=-2%+8,

AM2//BM,,且经过4(0,-2),

•••直线AM2解析式为y=-2x-2,

.,.当x=］时，y=-2xl—2=—4,

，峪(I)；

综上所述：存在，M的坐标为(1,6)或(1,T).

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理

等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键.

4.(2023•江苏连云港•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线L|：y=，-2x-3的顶点为p.直

线/过点M(0,〃?)(〃拒-3),且平行于x轴，与抛物线右交于两点(8在A的右侧).将抛物线右沿直线/

翻折得到抛物线4,抛物线右交，轴于点c,顶点为o.

（1）当根=1口寸，求点。的坐标；

⑵连接3C、CD、DB,若△BCD为直角三角形，求此时4所对应的函数表达式；

【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标P0,Y）,根据对称性，即可求解.

（2）由题意得，。的顶点P（1,T）与右的顶点。关于直线丁=机对称，D（l,2/72+4）,则抛物线

4：y=-（x-l）2+（2m+4）=-x2+2x+2m+3.进而得出可得C（0,2〃z+3）,①当N3CD=90°时，如图1,过

。作。轴，垂足为N.求得B（/n+3,/n）,代入解析式得出机=0,求得右：V=-犬+2x+3.②当

/区DC=90。时，如图2,过8作交ND的延长线于点T.同理可得得出8（加+5,加），

代入解析式得出切=—3代入4：V=——+2x+2%+3,得工2：y=—x?+2x—3；③当ND3c=90。时，此情况

不存在.

【详解】（1）y=x2—2x—3=（x—1）2—4,

抛物线右的顶点坐标P（LY）.

:加=1,点p和点。关于直线y=l对称.

.1.0（1,6）.

（2）由题意得，乙的顶点P（I,T）与心的顶点。关于直线对称，

D（l,2??z+4）,抛物线4：y=+（2利+4）=—X2+2x+2/7?+3.

当尤=0时,可得C（0,2〃z+3）.

①当/3CD=90。时，如图1,过。作OVLy轴，垂足为N.

・.,D（l,2m+4）,

・・・N（0,2m+4）.

・.・C（0,2m+3）

・•・DN=NC=1.

：./DCN=45。.

'：ZBCD=90°,

：.ZBCM=45°.

・・•直线/〃入轴，

：.ZBMC=90°.

ZCBM=ZBCM=45°,BM=CM.

Vm>-3,

BM=CM=（2m+3）-m=m+3.

/.B（m+3,m）.

又•・•点8在丁二%2一2元一3图像上，

m=（m+3）2—2（m+3）—3.

解得m=0或机=一3.

・・•当利=_3时，可得5（0,-3）,。（0,-3）,此时以。重合，舍去.当机=0时，符合题意.

将m=0代入乙：y=—炉+2x+2m+3,

得L?:y——+2%+3.

图3

②当，5ZX>90。时，如图2,过6作交ND的延长线于点T.

同理可得57=07.

£)(1,2m+4),

DT=BT=(2m+4)—m=m+4.

DN=1,

NT=DN-\-DT=l+(m+4)=m+5.

又•・•点6在-2x-3图像上,

m=(m+5y-2(〃z+5)-3.解得m=-3或机=-4.

Vm>-3,

...m=-3.此时5（2,-3）,C（0,-3）符合题意.

，各YYI——3彳弋L?;〉=—炉+2x+2m+3,彳导L?:y——x2+2x—3.

③当NZ）5C=90。时，此情况不存在.

综上，右所对应的函数表达式为y=牙+2x+3或y=+2元-3.

5.（2022・山东济南.中考真题）抛物线y=/+2x-6与x轴交于A（/,0）,8（8,0）两点，与y轴交于点C,

直线y=Ax-6经过点艮点尸在抛物线上，设点尸的横坐标为，〃.

⑴求抛物线的表达式和34的值；

(2)如图1,连接AC,AP,PC,若AAPC是以CP为斜边的直角三角形，求点尸的坐标;

【详解】(1)解：：8(8,0)在抛物线y=ox2+?x-6上，

64a+—x8-6=0,

4

・“―1

••a——,

4

抛物线解析式为>=一：*+?工一6,

44

当>=。时，一工产+口，一6=0,

44

"=3,方2=8(舍)，

t=3.

••,8(8,0)在直线y=履-6上，

81—6=0,

.,3

・•k=一,

4

3

・・・一次函数解析式为尸二%-6.

4

(2)解：如图，作PMLx轴于点

对于y=—；Y+?%—6,令x=0,贝!Jy=-6,

・••点C(0,-6),即OC=6,

VA(3,0),

：.OA=3,

・・•点尸的横坐标为江

J12H八

I44J

111

PM=-m9m+6,AM-m-3,

44

ZCAP=90°,

・•・Z(MC+ZfW=90°,

ZAPM+ZPAM=90°,

・•・ZOAC=ZAPMf

・.・ZAOC=ZAMP=90°,

：.ACOA^AAMP,

.OA_OC

**PM-AM，

OA-MA=OCPM,BP3(m-3)=6-Qm2-ym+6

・,・町=3(舍)，加2=10,

m=10,

•••点小。,-%

6.(2022•广西柳州•中考真题)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(m,0)两点，与y轴

(1)求b,c,相的值；

⑶如图2,点又是抛物线的顶点，将沿BC翻折得到ANBC,NB与y轴交于点。，在对称轴上找一

点P,使得是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点尸的坐标.

【答案】(1)6=4,c=5,=5

23

⑶所有符合条件的点尸的坐标为(2,y),(2,-9)

【分析】(1)把A(-1,0),C(0,5)代入y=-N+b尤+。，利用待定系数法求解b,c即可，再令y=0,

再解方程求解机即可;

(3)过点C作CHL对称轴于“，过点N作NKLy轴于K,证明△MCH04NCK(AAS),再求解N(-4,

可得Q静［，设尸(2,p),再利用勾股定理表示

3),求解直线8N的解析式为:

33秒3

尸。2=2篇］=产生+£.,8尸=(5-2)"=9+。2,3。2=52+；|=25+学再分两种情况建

立方程求解即可.

【详解】(1)把A(-1,0),C(0,5)代入y=-x2+bx+c,

t-1-b+c=0ib=4

4=5,解得：i

Ic=5

这个抛物线的解析式为：y=-X2+4X+5,

令y=0,则-/+41+5=0,解得打=5,X2=-L

：.B(5,0),

(3)过点。作C"_L对称轴于H,过点N作NK，y轴于K,

,ZNKC=ZMHC=90°,

由翻折得CN=CM,ZBCN=ZBCM,

U：B(5,0),C(0,5).

：.OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC=45°,

〈CH，对称轴于〃，

・•・CH〃九轴，

・・・N3CH=45。，

：.ZBCH=ZOCB,

：.ZNCK=ZMCH,

:•△MCH"ANCK(AAS),

：・NK=MH,CK=CH,

•・•抛物线的解析式为：y=-/+4x+5=-(x-2)2+9,

・••对称轴为x=2,M(2,9),

AMH=9-5=4,CH=2,

:.NK=MH=4,CK=CH=2,

：.N(-4,3),

设直线BN的解析式为y=iwc+n,

?.1

im=——

j-4m+n=3J3

15m+n=0,解得:

•••直线BN的解析式为：y=-1x+|,

设P(2,p),

2

21061

•.•一+」=p-----p+—,

139

BP2=(5-2)2+p2=9+p2,

UI

2=25+京

BQ=52+

分两种情况：

①当NBQP=90。时，BP2=PQ2+BQ2,

.c221061«25

,,9+p=p~夕+—+25+—,

399

23

解得：P--y

②当NQ3P=90。时，PQ2=BPA~BQ2,

.10612«25

­­P2~-—P+—=n9+p-+25+—,

解得：P=-9,

...点P的坐标为(2,-9).

综上，所有符合条件的点P的坐标为重,胃或尸(2,-9).

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次

函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.

7.(2022・四川广安・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=62+工+/〃(分0)的图象与x轴交

于A、C两点，与y轴交于点3,其中点2坐标为(0,—4),点C坐标为(2,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得A为直角三角形，请求出点P的坐标.

【答案】(1)'=；必+》-4

(3*点坐标为：(-1,3),(-1,-5),(-L-2+T7),(-L-2-T7)

【分析】(1)直接将8(0,-4),C(2,0)代入y=+x+"2,即可求出解析式；

(3)分三种情况讨论，①当/B4B=90。时，即必，A8,则设巩所在直线解析式为：y=x+z,将A(-4,0)

代入y=x+z得，解得：z=4,此时尸点坐标为：(-1,3)；②当NPA4=90。时，即尸则设尸3所在直

线解析式为：y=X+力，将8(0,-4)代入y=X+匕得，r=T，此时尸点坐标为：(-1,-5)；③当/APB=90。

时，设P点坐标为：(-1，L)，由于以所在直线斜率为：生，P8在直线斜率为：生把，竺.&11=一1,

v73-13-1

则此时尸点坐标为：(-L-2+A/7),(-L-2-T7).

【详解】(1)解：将5(0,-4),C(2,0)代入尸/+工+加，

m=-4

得:

4〃+2+机=0'

m=-4

解得：1

ci———

2

2

抛物线的函数解析式为：y=jx+X-4

(3)①当/必8=90°时，

即出，42,则设用所在直线解析式为：y=x+z,

将A(-4,0)代入y=x+z得，-4+z=0,

解得：z=4,

；•朋所在直线解析式为：、=尤+4,

:抛物线对称轴为：x=-l,

当x=-1时，y=-l+4=3,

，尸点坐标为:(-1,3)；

②当/PA4=90。时，

即尸则设PB所在直线解析式为：y=x+t,

将2(0,-4)代入y=x+t得，t=-4,

二网所在直线解析式为：y=x-4,

...当x=-l时，y=-1-4=-5,

・'•P点坐标为：(-1,-5)；

③当/APB=90。时，设P点坐标为：(-L%)，

；.孙所在直线斜率为：”，PB在直线斜率为：

3-1

'：PA±PB,

..3=1,

3-1

解得：为=-2+近，第=—2—甘，

••・P点坐标为：(-L-2+T7),(-1,-2-A/7)

综上所述，尸点坐标为：(-1,3),(-1,-5),卜1,-2+夕)，卜1,-2-疗)时，△JR4B为直角三角形.

【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键.

8.(2022•内蒙古呼和浩特•中考真题)如图，抛物线>法+。经过点8(4,o)和点以0,2),与x轴的另

一个交点为A,连接AC、BC.

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；

(2)如图1,若点。是线段AC的中点，连接3。，在，轴上是否存在点E,使得..6DE是以为斜边的直

角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

13

【答案】(1)>=一5尤z+gX+2；A(-1,0)；

(2)存在ECO,2)或(0,-1),