2024年中考数学复习讲义-分式

第03讲分式

目录

考点三分式的运算

一、考情分析

题型01分式的加减法

二、知识建构

考点一分式的相关概念题型02分式的乘除法

题型03分式的混合运算

题型01分式的判断

题型04分式的化简求值

题型02利用分式有无意义的条件，求未

题型零指数幕

知数的值或取值范围05

题型06分式运算的八种技巧

题型03利用分式值为正、负数或。的条

技巧一约分计算法

件，求未知数的值或取值范围

技巧二整体通分法

题型04约分与最简公式

技巧三换元通分法

题型05最简公分母

技巧四顺次相加法

考点二分式的基本性质

技巧五裂项相消法

题型01利用分式的基本性质进行变形

技巧六消元法

题型02利用分式的基本性质判断分式

值的变化技巧七倒数求值法

技巧八整体代入法

题型03利用分式的符号法则，将分式恒

等变形

考点要求新课标要求命题预测

在中考，主要考查分

分式的相关概念＞理解分式和最简分式的概念.

式的意义和分式值为零

情况，常以选择题、填空

分式的基本性质＞能利用分式的基本性质进行约分与通分.

题为主；分式的基本性质

和分式的运算考查常以

分式的运算＞能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.选择题、填空题、解答

题的形式命题.

考点一分式的相关概念

f夯基•必备基础知识梳理

分式的概念：如果A,2表示两个整式，并且B中含有字母，那么式铠叫做分式，A为分子，B为分母.

D

对于分式白来说：①当B丰0时，分式有意义；当2=0时，分式无意义.

②当A=0且B用这两个条件同时满足时,分式值为0.

③当A=B时，分式的值为1.当A+B=Q时，分式的值为-1.

④若去0，贝!JA,B同号；若七＜0，贝UA,B异号.

约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.

最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.

通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.

约分与通分的联系与区别：

联系都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值.

区别1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单.

2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.

最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幕的积作为公分母，这样的

分母叫做最简公分母.

确定最简公分母的方法：

类型方法步骤

1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

分母为单项式

2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.

1）对每个分母因式分解；

分母为多项式

2）找出每个出现的因式的最高次黑，它们的积为最简公分母；

3）若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

1.判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简

后再判断，例如：那就是分式.

2.分式的值为0,必须保证分母,否则分式无意义.

3.约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分度的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、

分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.

ALB八、—S+J=l+l=iS/V—M-A,M4-r=F书日IIi/1工dE内八/\H—P'乂目g—n

一提升-必考题型归纳

题型01分式的判断

［例1］（2022・湖南怀化•中考真题）代数式|x,1,l，N-11震中，属于分式的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即

可.

【详解】分母中含有字母的是目，）置，

，分式有3个，

故选：B.

【点拨】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键.

【变式11】（2022•上海•上外附中校考模拟预测）下列各式中:?，詈，乎，思丽，子，+9中，

是分式的共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【提示】根据分式的概念：如果48表示两个整式，并且8中含有字母，那么式转叫做分式，进而解答

D

即可.

【详解】岸，小，片是分式，共有3个，

故选：C.

【点拨】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母.

【变式1-2]（2021•四川遂宁•中考真题）下列说法正确的是（）

A.角平分线上的点到角两边的距离相等

B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.在代数式，,2%,，985,+26,|+y中,~~,~+2b是分式

D.若一组数据2,3,.x,1.5的平均数是3,则这组数据的中位数是4

【答案】A

【提示】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断

即可.

【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；

B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

C.在代数式］,2x，，985,5+26,1+y中，；/+26是分式,故选项错误；

D.若一组数据2,3,x,1.5的平均数是3,则这组数据的中位数是3,故选项错误；

故选：A.

【点拨】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，

熟悉相关性质是解题的关键.

方法技巧

判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：

”就是分式，而不是整式.

a

题型02利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围

［例2］（2023•江苏镇江•中考真题）使分式占有意义的x的取值范围是_____.

【答案】

【提示】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案.

【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，

即%—5^0,解得久丰5,

故答案为：久力5.

【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键.

【变式2-1］（2022•黑龙江哈尔滨•中考真题）在函数y=六中，自变量x的取值范围是_________.

【答案】

【提示】根据分式中分母不能等于零，列出不等式5久+3^0,计算出自变量x的范围即可.

【详解】根据题意得：5x+3A0

.'.5x丰—3

故答案为：XK-*

【点拨】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不

等式并正确求解.

【变式2-2]（2023•河南南阳•校联考三模）若代数式£无意义，则实数X的值是—.

【答案】3

【提示】根据分式无意义的条件得出3-尤=0,再求出答案即可.

【详解】解：要使代数式£无意义，

..3—%=0,

解得：x-3,

故答案为：3.

【点拨】此题考查了分式无意义的条件，能熟记分式无意义的条件是解此题的关键，当分母B=。时，式子

持无意义.

【变式2-3】（2023•山东临沂•一模）要使分式言无意义，则x的取值范围是_______.

X+1

【答案】%=-1

【提示】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可.

【详解】解：•..分式口无意义，

X+1

.t.X+1=0,

：.X=—1.

故答案为：X=-1.

【点拨】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为o是解题的关键.

【变式2-4]（2023•湖北恩施•一模）函数y="的自变量x的取值范围是（）

X—3

A.%W3B.%>3

C.x>—1且％W3D.

【答案】C

【提示】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】解：•.•等有意义,

:.x+1>0,%—3^=0,

解得%2一1且%W3,

故选C.

【点拨】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的

关键.

方法技巧

I.分式有意义的条件：分式的分母不等于0.

2分式王肯W的条件：分式的分母笑干0

题型03利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围

【例3】（2023•浙江湖州•中考真题）若分式的值为0,则x的值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

【答案】A

【提示】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零.

【详解】解：依题意得：x-1=。且3x+1#=0,

解得％=1.

故选：A.

【点拨】本题考查了分式的值为零的条件.分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

【变式3-1]（2023•四川凉山•中考真题）分式二的值为。，贝心的值是（）

X—1

A.0B.-1C.1口.0或1

【答案】A

【提示】根据分式值为0的条件进行求解即可.

【详解】解：•.•分式二的值为。，

X-1

.（x2—%=0

.1%-1。0'

解得％=0,

故选A.

【点拨】本题主要考查了分式值为。的条件，熟知分式值为。的条件是分子为。，分母不为。是解题的关键.

【变式3-2]（2023•河北廊坊•校考三模）若分式%=。，贝U（）

771—10

A.m=4B.m=—4

C.m=±4D.不存在m，使得粤胃=0

7nz-16

【答案】D

【提示】根据题意可得「可—2=?,此方程组无解.

—16W0

【详解】解：根据题意可得：

4-o

大O

L6

-+4

角得

军

一

W_+4

故无解，

故选：D.

【点拨】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为。，分母不为0,是解题

的关键.

【变式3-3]（2021•江苏扬州•中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为。的是（）

1

A.x+1B.%2-1C.—D.（x+I）2

【答案】C

【提示】分别找到各式为0时的x值，即可判断.

【详解】解：A.当x=-l时，x+l=0,故不合题意；

B.当x=+l时,x2-l=0,故不合题意；

C.分子是1,而1邦，则之加，故符合题意；

D.当x=-l时，（X+1）2=0,故不合题意；

故选C.

【点拨】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分

子为0;（2）分母不为0.这两个条件缺一不可.

【变式3-4]（2021南充市一模）若分式律的值是负数，则x的取值范围是（）

A3c2-3一2

A.x>-B.x>-C.x<-D.x<-

2323

【答案】B

【提示】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围.

【详解】解：由题意可知：2-3尤<0,且/+1>0恒成立，

2

故选：B.

【点拨】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数.

【变式3-5】分式母残的值为负数的条件是（）

A.%<3B.%>0且XH1

C.x<1且XD,0<%<3z且%W1

【答案】D

【提示】根据乘法公式，化简分式，分式的值要为负数，则分子、分母为异号，即可求出答案.

x-3

x（x-l）2'

因为分式的值为负数，

%—3>0（x—3<0

%<0或者x>0

、%H11%H1

..0<%<3且％H1

故选：D.

【点拨】本题考查分式的化简，分式的取值与分子、分母的关系，且分母不能为零，理解和掌握分式取值

与分子、分母的关系是解题的关键.

【变式3-6]若分式”的值大于零,则x的取值范围是—.

【答案】X>-2S.X丰1

【提示】由已知可得分子无+2>。,再由分式的分母不等于零，得到尤-1邦,进而求出x的取值.

【详解】解：..•分式堂的值大于零，

.\x+2>0,

.,.x>-2,

,/x-1#0,

-X-/-1,

故答案为X>-2且#1.

【点拨】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解

题的关键.

【变式3-7］下列关于分式的判断，正确的是（）

A.当久=2时，昼的值为零B.当x为任意实数时，高的值总为正数

C.无论x为何值，W不可能得整数值D.当久43时，?有意义

【答案】B

【提示】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值

是0的条件是分子等于0,分母不为0即可得到结论.

【详解】解：A.当X=2时，方无意义，故本选项不合题意；

B.当尤为任意实数时，高的值总为正数，故本选项符合题意；

C.当x=0或2时，言能得整数值，故本选项不合题意；

D.当x丰0时，号有意义,故本选项不合题意；

故选：B.

【点拨】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件.分式有意义的条件是分母不等于。.分式值

是0的条件是分子是0,分母不是0.

方法技巧

1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0,这两个条件必须同时考虑，进而求解问题.

2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号.

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题型04约分与最简分式

【例4】（2023•甘肃兰州•中考真题）计算：—=（）

a—5

A.a-5B.a+5C.5D.a

【答案】D

【提示】分子分解因式，再约分得到结果.

【详解】解：Y

a-5

=a,

故选：D.

【点拨】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键.

【变式4-1]（2022•贵州铜仁•中考真题）下列计算错误的是（）

A.|-2|=2B.a2-a-3=（C.=a+1D.（a2）3=a3

【答案】D

【提示】根据绝对值，同底数幕的乘法，负整数指数幕，分式的性质，幕的乘方计算法则求解即可.

【详解】解：A.|-2|=2,计算正确，不符合题意；

B.a2•a-3=a-1=i,计算正确，不符合题意；

C.咎==a+1,计算正确，不符合题意；

D.（a2）3=a6,计算错误,符合题意；

故选D.

【点拨】本题主要考查了绝对值，同底数幕的乘法，负整数指数幕，分式的性质，幕的乘方计算法则，熟

知相关知识是解题的关键.

【变式4-2]（2023・河北保定•模拟预测）如图，若x为正整数，则表示分式罢有的值落在（）

xz+3x+2

①②③④

/,、、//、、、//、、//、、

卜NWWNA

-10123

A.段①处B.段②处C.段③处D.段④处

【答案】C

【提示】先化简分式，再确定分式值的范围即可.

2X2+4X2x(x+2)2x2(x+l)-2仁2,仁

【详解】解：…-==/</

(x+2)(x+l)--x+1-----x+1---------x+1-----'

••.X为正整数，

二尤的最小值为1,

二当"1时，京=京=1，

2

一封<2,

二分式芸黑的值落在段③处，

故选：c.

【点拨】本题考查了分式的化简，解题关键是能够运用分式的基本性质进行化简并确定分式值的范围.

【变式4-3]（2023•安徽•中考真题）先化简,再求值：立泸,其中久=V2-1.

x+1

【答案】x+1;

【提示】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解.

【详解】解：立

x+1

(X+I)2

X+1

=%+1,

当％=V2-1时，

，原式=/-1+1=V2.

【点拨】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解.

【变式4-4]（2021•河北•模拟预测）下列分式属于最简分式的是（）

x-yC%2+y2

A.答D.

5x2B•石'x+y

【答案】C

【提示】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可.

【详解】A.g=j,故此选项不符合题意；

B.77=v?=一1，故此选项不符合题意；

yxy儿

C.等是最简分式，故此选项符合题意；

D•言=="-3y,故此选项不符合题意•

故选：C.

【点拨】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键.

方法技巧

分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.

确定分子、分母的公因式的方法：

分子、分母类型具体方法

单项式1)系数取各系数的最大公约数;2)相同字母取字母的最低次幕.

您型。受薪1公分士r先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式

[例5](2021・河北唐山•一模)要把分式篇与鬻通分，分式的最简公分母是()

A.2a262cB.2a3b3C.2a3b3cD.6a3b3c

【答案】A

【提示】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解.

【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，

•••系数2与1的公倍数是2,a?与a的最高次幕是,人与^2的最高次幕是川，对于只在一个单项式中出现的

字母c直接作公分母中的因式，

，公分母为：2a2b2c.

故选择：A.

【点拨】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键.

【变式5-1】(2021•内蒙古•二模)分式浸三,念的最简公分母是_______浸n+念=

【答案】a(l+a)(l-a)a(i+a)(i-a)

【提示】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.

【详解】解：•

,-a2+l-(l-a)(l+a)'a2+a-a(l+a)

1_1_a1_1-a

'-a2+l(l-a)(l+a)a(l-a)(l+a)'a2+aa(l+a)(l-a)

，念的最简公分母为：a(l+a)(l—a)

1[11a+1-a1

'，-a2+la2+aa2+aa(l+a)(l-a)a(l+a)(l-a)

故答案为：

a(l+a)(l-a),a(l+a)(l-a)

【点拨】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解

考点二分式的基本性质

・夯基・必备基础龙识侬

分式的基本性质分式的分子和分母同乘或除以）一个不等于0的整式分式的值不变.即《=煞CHO）

或冷篝（CM）,其中A,8,c是整式.

分式符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即9=胃=-?=

D-DD

A

-B,

运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；

⑦哈含条件•分就的分田木警干0

一提升-必考题型归纳

题型01利用分式的基本性质进行变形

【例1】（2023•广东茂名•一模）下列等式中正确的是（）

2

Aaa+a口aa+1-aa-1aa

A——---B—=---C——---i_）_—___

•bb+b•bb+1'bb-1'bb2

【答案】A

【提示】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断

即可解答.

【详解】解：黑=票屋，故A正确;

怨与"不一定相等，故B错误；

W与"不一定相等，故c错误；

当汴。时，5>0,故D错误,

故选：A.

【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键.

【变式1-U（2023・福建福州•模拟预测）下列分式从左到右变形错误的是（）

A-B.—=—C.—D.a2~4=—

5c54a4aba-bb-aa2+4a+4a+2

【答案】B

【提示】根据分式的基本性质进行计算即可解答.

【详解】解：A.^=］原式变形正确，不符合题意；

B.当b=0时，,=怒不成立，原式变形错误，符合题意；

c—占=高，原式变形正确，不符合题意；

D-田=喘3=置，原式变形正确，不符合题意；

故选：B.

【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘

以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.

方法技巧

分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式

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题型02利用分式的基本性质判断分式值的变化

［例2］（2023南通市二模）如果把分式等中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（）

A.扩大到原来的20倍B.缩小到原来的

C.扩大到原来的2倍D.不变

【答案】D

【提示】根据分式的性质，可得答案.

【详解】把x和y都扩大20倍后，原式变为强等=竺瞑=等，

即约分后仍为原式，分式的值不变.

故选D.

【点拨】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键.

【变式2-1]如果将分式筌中尤,y都扩大到原来的2倍，则分式的值（）

A.扩大到原来的2倍B.不变

C.扩大到原来的4倍D.缩小到原来的）.

【答案】A

【提示】x,y都扩大成原来的2倍就是变成2x和2y.用2x和2y代替式子中的x和y,看得到的式子与原

来的式子的关系.

【详解】解：用2戈和2y代替式子中的x和y得：嘿箸=空等，

则分式的值扩大为原来的2倍.

故选：A.

【点拨】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原

式比较，最终得出结论.

【变式2-2]（2022•河北•一模）如果要使分式居的值保持不变，那么分式应（）

CL—5D

A.a扩大2倍，b扩大3倍B.a,b同时扩大3倍

C.a扩大2倍，6缩小3倍D.a缩小2倍，b缩小3倍

【答案】B

【提示】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可.

【详解】A.。扩大2倍，b扩大3倍，=嬴手言,故该选项不正确，不符合题意；

B.a.b同时扩大3倍,=熹=居,故该选项正确，符合题意；

2x2a4a2a

C.。扩大2倍，6缩小3倍,兀三4=五有力二五，故该选项不正确，不符合题意；

3

D.a缩小2倍，b缩小3倍=白力言;，故该选项不正确，不符合题意；

2a-3x-bZa—Da—3D

3

故选B

【点拨】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键.

【变式2-3］（2022武安市中考二模）若加〃的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）.

.m+3cm+3

A.——B・翳C.-----D.—

n71+3m-n

【答案】B

【提示】根据机,n扩大到3倍为：3m,3n;把3巾,3n依次代入选项，进行判断，即可.

【详解】•••m,n的值均扩大到原来的3倍为3nl,3n

.3771+3771+3，”一人

'A・丁丰—，不符合题意；

「3x3m

D.---------招,符合题意；

2x3n

c•需。黑，不符合题意;

D-高=含力高，不符合题意•

故选：B.

【点拨】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的基本性质.

题型03利用分式的符号法则，将分式恒等变形

［例3］（2022年湖北省黄冈咸宁孝感三市中考模拟）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正

—2a+b

数，则

-a-3b

［分景】在a

卜白木/a+3b

【提示】根据分式的基本性质即可求出答案.

【详解】解：亍殁-(2a-Z?)_2a-b

—(a+3b)a+3匕

故答案为：需

【点拨】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型.

【变式3-1］（2023•河北石家庄•二模）若'=A（m4n）,则A可以是（）

1-5B.黑。•三D,

【答案】C

【提示】用举反例结合分式的基本性质进行逐一判断即可.

【详解】A.如：头力1.•・震力弓，故此项错误；

B•如：黑灯，，黑彳，故此项错误;

-n_-nx(-l)S,故此项正确；

-mmx(-l)

12-12

D如,」一。-年弋，故此项错误•

•刈•(-2)2干2'

故选：C.

【点拨】本题考查了分式的基本性质，掌握基本性质，会用举反例的方法进行判断是解题的关键.

【变式3-2]（2022邢台市新河县二模）根据分式的基本性质，分式若可变形为（）

Aa

B­盘C.D.

AF-a-b

【答案】D

【提示】根据分式的基本性质即可求出答案.

【详解】念=aa

a-bb-a

故选：D.

【点拨】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型.

考点三分式的运算

夯基-必备基础知识梳理

分式运算说明

1）同分母，分母不变.分亍相MiM.Wt,

分式的加M法

）异分再；先通分.化为何分用的分式，附加即；=•

2nand

用分/的枳什为枳的分人分母的粗作为枳的分母.;•

分式的乘除法

2）除法tiei*式的分广、分倒位■.再。破除式相熟即：：■詈

DdbC

分式的乘方把分子、分也分别我方，HII；

运现舄1序：先比乘方，再嵬黍除，M后算加行括号的.先H括号果的.城活运用运算

分式的混合话探

at.证■坳理必先易・«!分式威,汞.____________________________________________

1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.

2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.

一提升・必考题型幽

题型01分式的加减法

[例1]（2023•天津•中考真题）计算三-冷的结果等于（）

X—1X—1

1

A.-1B.x-1c•WD.

【答案】C

【提示】根据异分母分式加减法法则进行计算即可.

【详解】解：二一言%+12%+1—2x-1_1

(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)(%-1)(x4-1)-1+]

故选：C.

【点拨】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算.

【变式1-1]（2021•黑龙江大庆•中考真题）已知b>a>0,则分式?与言的大小关系是（）

°b+\

aa+1-aa+1c巴>山

A.—<------B.—二---------D.不能确定

bb+\bb+1,bb+1

【答案】A

【提示】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解.

【详解】解：Ia+1_a(匕+l)-b(a+l)_a-b

b+1匕（匕+1）b(b+l)1

'：b>a>0,

aa+1a-b

bb+1匕(b+l)<0,

aQ+1

•—<--------

bb+\

故选：A.

【点拨】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键.

【变式1-2](2023・上海•中考真题)化简：£-三的结果为

【答案】2

【提示】根据同分母分式的减法计算法则解答即可.

2-2%（

【详解】解：二-二21-汽）_2

1-X1-x

故答案为：2.

【点拨】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键.

【变式1-31(2023•吉林•中考真题)下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式.请写出单项

式M,并将该例题的解答过程补充完整.

例先化简，再求值：念-六，其中。=100.

解：原式=散泊不一而切

【答案】M=a,1-)言，过程见解析

【提示】先根据通分的步骤得到M,再对原式进行化简，最后代入a=100计算即可.

【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，

.M_Ma_a2

a+1a(a+l)a(a+l)'

/.M=a,

r-r_—a21_a2-1_(a+l)(a-1)_u_1_11

‘、a(a+l)a(a+l)a(a+l)a(a+l)aa'

199

当a=100时，原式=1----=---.

二H」，立iioo100

【点拨】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键.

【变式1-4](2023•江苏南京•校联考三模)已知a>0,b>0,证明：5+检念.

【答案】见解析

【提示】根据作差法比较大小，然后根据分式的加减进行计算得出《+巳-念2。即可得证.

4

八¥M、>TT口口...1।1.匕(a+b)+a(a+b)-4a匕_(a-b)2

【详斛】证明•q+m—而——砺丽—一丽丽，

又a>0,b>0,

/.(a—b)2>0,ab>0,a+b>0.

.[(7)2>0

ab(a+b)'

+i>.

ab-a+b'

【点拨】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键.

【变式1-5](2021•四川乐山・统考中考真题)已知£-£=(鼠工)，求人B的值.

【答案】A的值为4,B的值为-2

【提示】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案.

【详解】----幺=4—2)+B(x-l)

…十用十/%一12-x(x-l)(x-2)(x-l)(x-2)'

.-2)+8(%-1)_2X-6

•,(x-l)(x-2)-(x-l)(x-2)'

—2)+B(x—1)=2.x—6,

即(Z+B)x-(2Z+8)=2%—6.

(A+B=2

…匕/+8=6'

解得:{B：-2

的值为4,B的值为-2.

【点拨】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加

减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解.

题型02分式的乘除法

[例2](2023•河北•中考真题)化简《口)的结果是()

A.xy6B.xy5C.x2y5D.久2y6

【答案】A

【提示】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可.

【详解】解：/华)2*3.箕=盯6,

故选：A.

【点拨】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键.

【变式2-1]（2022•内蒙古•中考真题）下列计算正确的是（）

A.a3+a3=a6+=aC.2；-=2D.f—V=?

ba-la-l\a2Ja5

【答案】C

【提示】根据合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算逐项提示.

【详解】A.a3+a3=2a3,故不符合题意；

B.a+=*,故不符合题意；

C.言-£=2,故符合题意；

D.g）3=g,故不符合题意；

故选C.

【点拨】本题考查了合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算，熟练掌握分式的

运算法则是解题的关键.

【变式2-2]（2022•河北石家庄•一模）若自+*,运算的结果为整式，则“口”中的式子可能是（）

1

A.y-尤B.y+xC.2尤D.-

【答案】C

【提示】先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出口中的式子可能是，即可得出答案.

【详解】解：六一w

___.O+y）（yr）

x+yx

_n（yT）

%-，

...运算结果为整式，

□中的式子是含量有X因式的式子，

□中的式子可能是2X,

故选：C.

【点拨】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键.

【变式2-3］关于式子若三+士，下列说法正确（）

x2+6x+9x+3

A.当x=3时，其值为0B.当刀=-3时，其值为2

C.当。<x<3时，其值为正数D.当x<0时，其值为负数

【答案】A

【提示】根据分式的乘除法法则.平方差公式.完全平方公式对分式进行化简，再根据化简后的分式对选项一

一进行提示，即可得出答案.

X2-9x_(x+3)(x-3)X%+3_X-3

【详解】解：/+6X+9

x+3(x+3)2xx

A.当乂=3时，原式=三=°，故该说法正确，符合题意；

B.当x=-3时，分母x+3=-3+3=0,原式没有意义，不能计算求值，故该说法不正确，不符合题意；

C.当0<x<3时,则%—3<0,

<0,故该说法不正确，不符合题意；

D.当x<0时，则x—3<—3,

二?>0,故该说法不正确，不