2024年中考数学复习：遇到中点怎么作辅助线

遇到中点怎么作辅助线

1.1中点在等腰三角形的底边上

1.等腰三角形的性质

(1)定义：两边相等.

(2)等边对等角：两底角相等.

⑶三线合一：顶角的平分线与底边上的中线、底边上的高相互重合.

(4)对称性：轴对称图形(顶角的平分线所在的直线是它的一条对称轴).

2.等边三角形

(1)三条边相等.

⑵三个内角都为60°.

3.几类三角形间的关系

三角形等腰三角形人等边三角形

两角相等---_

一1五相尊最三不角都相尊

/A\『NA

基本图形

8AH(pc

已知条件已知等腰三角形(三角形的两边相等)及其底边中点(第三边的中点)

甫助线作法连接中点和顶角的顶点

可用结论如图,AM_LBC,AM平分/BAC,BM=CM

理论依据等腰三角形中“三线合一”

例题详析

例:如图在AABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN,AC于点N,求MN的长度.

剧维I路I径

求A/N的长度

面积法

AMLBC以△/MC中,可求三边长,^.MNLAC

【解析】如图，连接AM.

：AB=AC,M为BC的中点,.\AM，BC（三线合一）.

：BC=6,M为BC的中点,，BM=CM=3.

•.•在RtAABM中,AB=5,BM=3,

根据勾股定理得AM=7AB2—BM2=7s2-32=4.

c1».1„.,.AM-CM12

SAMC=-MN-AC=-AM•MC,・•.MN=*=

对I点巩I固

1.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P为BC的中点,PD,AB于点D,PE±AC于点E,求证:PD=PE.

2.如图在AaBC中=2C,D是BC的中点过A点的直线.EF\\BC,S.=4F,连接DE,DF.求证:DE=DF.

中考I实战

3.如图，在△4B。中,0A=OB,,C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.

(1)求证公8与。。相切.

⑵若/.AOB=120°,AB=4次，求。O的面积.

Q

1.2中点在直角三角形的斜边上

1.直角三角形的性质

(1)定义：有一个角是直角.

⑵角的关系：两锐角互余.

(3)勾股定理：设直角边长分别为a,b,斜边长为c,贝U=c2.

(4)边角关系设/A为R3ABC中一锐角,/A,/B,NC的对边分别为a,b,c,/C为直角，则sin力=pcos/1=

b.a

一，tanA=

c'b

(5)特殊直角三角形的性质：直角三角形中30。角所对的直角边是斜边的一半.

(6)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

2.直角三角形的分类

上也一两底角相等;f一工B

直角二角形-等腰11直角二角形

超级模型

AA

基本图形

C1--------CL-----------------

已知条件已知直角三角形(某个角为直角的三角形)及其斜边中点

辅助线作法连接斜边中点和直角的顶点

可用结论如图,AD=BD=CD=AB

理论依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中线的定义

例题详析

例:如图，在RtAABC中./CAB=9(F,/ACB=30o,D是AB上一点(不与A,B重合),DE_LBC于点E,若P是CD的中点,

请判断PE与AE的数量关系,并说明理由.

p

思维路径

【解析】PE=AE理由如下：

如图，连接AP.

\•在RtACAD中,/CAD=9(r,P是斜边CD的中点,

1

PA=PC=-CD,

2

：.ZACD=ZPAC,

ZAPD=ZACD+ZPAC=2ZACD.

同理，在RtACED中,PE=PC=|CD,

.•.ZDPE=2ZDCB,

；.PA=PE,/APE=/APD+/DPE=2NACD+2/DCB=2/ACB=60°,

.二△PAE是等边三角形，

；.PE=AE.

对I点巩I固

L如图，在△ABC中,BDLAC于D点,(CE14B于E点,F,G分别为BC,DE的中点.若BC=18,ED10,,则FG的长为

()

X.2V14B.V106C.8D.9

A

2.如图，在RtAABC中，乙4cB=90。,,点D,E分别是AB.BC的中点，延长AC到点F，使得CF=连接EF.若.EF=4„

则AB的长为()

A.8B.4V2C.4D.2V3

3.如图,/ABC=NADC=9(r,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN1BD.

中I考I实战

4.如图,.NMON=90。,,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，

矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,运动过程中,，点D到点O的最大距离为()

X.V2+15.V5C,等

o1~~r--------N

1.3单个中点求线段相等

L三角形的中线

三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线.

2.全等三角形的性质与判定

(1)定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

⑵全等三角形的判定方法：①两个一般三角形全等的判定方法ASA,AAS,SAS,SSS;

②两个直角三角形特有的判定全等的方法HL.

(3)全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等.

3.全等三角形的性质与判定的一般应用过程

ASAAAS——性质I-

确定两个三角形『三二证明两个三角形全等—3A线段相等，角相等

SAS,SSS

超级模型

AA

基本图形/DC<=/\4/D

BDC、、、/""

E图1“图2

已知条件D为BC的中点

如图1,将中线AD加倍延长至点E,与其中一个顶点如图2,将中线AD加倍延长至点E,与

辅助线作法

B连线另外两个顶点B,C连线

可用结论全等三角形的性质平行四边形的性质

如图1,将AD延长至E,使得DE=AD,连接BE.如图2,将AD延长至E,使得DE=AD,连接

AADC-LEDBBE,CE.

理论依据在AADC和AEDB中，在四边形ABEC中,AD=DE,DC=BD,

所以四边形ABEC为平行四边形

所以AADC丝ZXEDB(SAS)

有些几何题在利用中线加倍延长，证完一次三角形全等后，还需要再证明一次三角形全等，即

方法归纳

“二次全等”

例题详析

例：如图，在△4BC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点，且BE=2C,延长BE交AC于点F,求证:AF=EF.

思I维路I径

【解析】方法一:如图L延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG.

：AD是BC边上的中线,；.DC=DB.

DA=DG,

在AADC和AGDB中,卜2。。=乙GDB,

.DC=DB,

图1

AADC沿AGDB(SAS),.".ZCAD=ZG.BG=AC.

又BE=AC,.\BE=BG,.\ZBED=ZG.

ZBED=ZAEF,.\ZAEF=ZCAD,gPZAEF=ZFAE,/.AF=EF.

方法二:如图2,延长AD至点G,使得DG=AD,连接BG,CG.

•/AD是BC边上的中线,BD=CD.

又DG=AD,.•.四边形ABGC为平行四边形，

AC=BG,ZBGD=ZCAD.

VBE=AC,.，.BE=BG,.\ZBGD=ZBEG.

又.4BEG=^AEF,^AEF=^CAD,

即ZAEF=NFAE,，AF=EF.

对I点巩I固

1.如图，在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF||4D,且EF交CA的延长线于点F,交AB于点G.若AD为.

△ABC的角平分线，求证：BG=CF.

2.如图,AB=BC,AD为△ABC中BC边上的中线，延长BC至E点使（CE=BC,连接AE.求证:ND力C=ACAE.

3.⑴如图1在四边形ABCD中,AB〃CD,点E是BC的中点若AE是/BAD的平分线，试判断AB,AD,DC之间的

等量关系.

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEBgAFEC,从而得至！］AB=FC,从而把

AB,AD,DC转化在一个三角形中进行判断.

易得AB,AD,DC之间的等量关系为.

⑵如图2,在四边形ABCD中,AB〃CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点若AE是/BAF的平分线，试

探究AB,AF,CF之间的等量关系，并证明你的结论.

中I考I实战

4.如图，在△ABC中,/ACB=12(T,BC=4,D为AB的中点,DCLBC,则AABC的面积是.

1.4多个中点

1.三角形的中位线

(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

⑵三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

(3)中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面

积的四分之一.

2.中点四边形

(1)连接任意四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形.

(2)连接矩形四边的中点得到的四边形是菱形.

⑶连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形.

(4)连接正方形四边的中点得到的四边形是正方形.

A

BL------xc

基本图形(J

A

途C

BL---

已知条件任意三角形两边的中点任意一个四边形及各边的中点

辅助线作法连接三角形两边上的中点连接四边形四边上的中点及对角线

可用结论DE〃BC,DE=BC四边形EFGH是平行四边形等相关结论

连接四边形的对角线AC,BD，顺次连接各边中点

E,F,G,H,如图所示.

理论依据三角形的中位线定理在AADC中,EF〃AC,且EF=AC,

同理可得HG〃AC,且HG=AC,

所以四边形EFGH为平行四边形

⑴已知三角形两边的中点，可以连接这两个中点构造中位线；

方法归纳(2)已知三角形一边的中点，可以在另一边上取中点，连接两中点构造中位线；

(3)已知三角形一边的中点，过中点作其他两边任意一边的平行线可构造相似三角形

例题详析

例:如图，在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF并延长，分别降BA,CD的延长线交于点

M,N,证明:NBME=NCNE.

思I维潞I径

乙BME=LCNE

等边对等角及