2024年中考数学复习：因动点产生的函数与面积问题复习讲义

因动点产生的函数与面积问题复习讲义

解题策略

割补法是代数、几何综合中最常用的求面积方法，所有图形的面积都可以采用割补法进行求解，可以说它是求

面积的通法.本节重点讲解用割补法求面积，通过恰当的割补图形，可以使面积的计算变得更容易.

而"宽高公式”的应用，是求面积最好用的方法之一，其模型及原理前面的章节已讲过.

对于求面积最大值问题，可以通过设定动点参数坐标，通过割补法等把面积用含参数的函数表示出来，然后利

用函数的性质进行求解.

三角形有一条边在坐标轴三角形的三边都不在坐标轴四边形有两边在坐标轴

背景上：以在坐标轴上的边为底边，上：过其中一个顶点作平行于坐上：过不在坐标轴上的顶点作

坐标轴的垂线.

S四边形COBP=S四边

形BOBP+S&CEP

模型一割补法1

如图，已知二次函数y=*_2比-3的图象与x轴交于A,B两点（点A在左侧，点B在右侧）,与y轴交于

点C,顶点为D.求.△BCD的面积.

思路分析：通过计算可知△BCD是直角三角形，可以直接求出两条直角边的长用三角形面积公式求解即可，

此处主要讲述割补法求面积的方法，如图，我们可以把ABCD补成梯形OBDK,则△BCD的面积等于梯形OBDK

的面积减去两个灰色三角形的面积.

模型二割补法2

已知二次函数y=X2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点(A在左侧，B在右侧)，与y轴交于C点,如图若

E(1,O),F(2,O),G(O,-1),P是第四象限内抛物线上一动点，求四边形EFPG面积最大值，及此时点P的坐标.

思路分析：四边形EFPG的四个顶点中有三个顶点是定点，另一个顶点在抛物线上，该点可以通过设未知数表

示出来，然后用代数式表示出四边形的面积.由于四边形EFPG不规则且形状不固定，可通过割补法把四边形EFP

G的面积转化成几个三角形面积的和差进行计算，如图，=

四立形EFPG

已知二次函数y=X2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点(A在左侧，B在右侧),与y轴交于C点，顶点为

D.如图，P为对称轴上一点，若△BCP的面积为6,则点P的坐标为多少？

思路分析：此题应用割补法也可求解，此处只讲解采用宽高公式求解的方法，在此部分的第一章“必备的应用

模型和法则”中讲解了宽高公式，此处直接应用即可，应用宽高公式关键是确定水平宽和铅锤高.如图，点C在y

轴上，在△BCP的水平宽为0B，点P在对称轴上，设对称轴与BC的交点为点Q,则PQ就为△BCP的铅垂高，

则.ABCP的面积就等于匏BXPQ从而可求出P点坐标.应用宽高公式时，一定要找好水平宽和铅垂高，铅垂高

中的两个点一个为水平宽外的第三点，以及过第三点作x垂线与三角形另外两点确定的边(或其延长线)的交点.

模型四宽高公式——复杂应用

已知二次函数y=比2_2》-3的图象与x轴交于A,B两点(A在左侧，B在右侧)，与y轴交于C点，顶点

为D.如图，P为抛物线上一点，若SB.P=^SBO,求出满足条件的点P的横坐标.

思路分析：此题我们依然采用宽高公式进行解答，由于题目中两定点B、C相同，故两三角形的"水平宽"相

等，都等于0B的长，因此只要使3CP的"铅垂高"为ABCD的"铅垂高"的一半即可.问题就转化为确定3CP

的铅垂高.如图ABCD的铅垂高为2,所以3CP的铅垂高PQ等于1,注意点Q的位置.

精选例题

例1.在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经

过点A,B.

(1)求a,b满足的关系式及c的值；.

⑵当x<0时，若y=a久2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围；

⑶如图，当a=-l时，在抛物线上是否存在点P,使WAB的面积为1?若存在，请求出符//\\

合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.卢~Rp

解析/I\

(1)求出点A,B的坐标，即可求解；

⑵当x<0时若y=a-+bx+通<0)的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x=-£>。，而b=2a+l,

即-竽20,即可求解；

⑶解法一:应用"宽高公式"，WAB的“水平宽”为A0,求“铅垂高"即可；

解法二:过点P作直线IIIAB,作PQlly轴交BA于点Q,作PH±AB于点H,|x/IFxPH=|x2

V2xPQxy=1,则\yP-yQ\=1,即可求解.

解(l)y=x+2,令x=0厕y=2,令y=0厕x=-2.

故点A,B的坐标分别为(-2,0),(0,2),则c=2.

则函数解析式为y=ax2+bx+2.

将点A坐标代入上式并整理，得b=2a+l;

⑵当x<0时若y=aX^+bx+c(a<0)的函数值随X的增大而增大,

则函数图象的对称轴尤=-520,而b=2a+l,

2a

即-2：+i>0.解得a>

2a2

故a的取值范围为-

⑶当a=-l时，二次函数解析式为y=-X2_久+2.

解法一如答图L过点P作PQlly轴交BA于点Q

易求得直线AB的解析式为y=x+2.

点A的坐标为(-2,0).

设点P的坐标为((m，-》-巾+2)点Q的坐标为(m,m+2).

PQ=|-m2-m+2-m-2|=|m2+2m|,OA=2.

22

SPAB=|xOXxPQ=|x2x|m+2m\=\m+2m\—1.

当m2+2m-1时，解得m=—1±V2;

当m2+2m=-1时，解得m=-l.

故点P的坐标为(-L2)或((-1+夜，1)或(-1一鱼，-鱼).

解法二:如答图2,过点P作直线IIIAB,作PQlly轴交BA于点Q,作PH±AB于点H.

；OA=OB,..NBAO=NPQH=45°.

SPAB=|xXBxPH=1x2V2xPQx曰=1.

贝Uyp-y(2=L

在直线AB下方作直线m，使直线m和I与直线AB等距离，

则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1,

故\yP-yQ\=L

设点P的坐标为((%，--_乂+2)则点Q的坐标为(x,x+2).

即—X2—x+2-X—2=±1.

解得x=-l或％=-1±V2,答图2

故点P的坐标为(-L2)或((-1+91)或-V2).

例2.如图，已知抛物线y=储+|久+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧),

与y轴交于C点.

(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；

(2)若点P是抛物线上B,C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，则是否存在一点P,使△PBC的面积最

大.若存在，请求出APBC的最大面积；若不存在，试说明理由；

(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N,当.MN=3时，求M点的坐

标.

图1图2

解析

(1)利用对称轴公式即可求出a;

(2)初中与函数相结合的求面积最大值的方法有4种，各有特点，详细方法见解答过程;

⑶设点M的坐标为+|爪+4),则点N的坐标为(7?1，-如+4),则MN=|--^m2+|m+4-

-|m+4^)|=4,求解即可.

解⑴.・抛物线y=ax2+lx+4的对称轴是直线x=3,

3

—~T-=3,解得a=一；.

2a4

,抛物线的解析式为y=-；x2+|x+4.

当y=0时，—1/+|刀+4=0,

解得M=—2,七=8,

:点A的坐标为((-2,0),点B的坐标为(8,0);

(2)当x=0时，y=—2*2+|x+4=4.

:点C的坐标为(0,4).

设直线BC的解析式为.y=kx+b(k^0).

将B(8,0)((0,4)代入.y=kx+b,得

产解得仁：

，直线BC的解析式为y=—3久+4.

假设存在，设点P的坐标为(卜，—滓+)+4).

解法一：利用宽高公式.

如答图L过点P作PDlly轴,交直线BC于点D.

则点D的坐标为卜,-1+4).

/。=一步+齐+4-(一齐+4)=-泮+2万

Srnc=—PD-OB=-x8,(——+2x)=一久2+8%=—(%—4/+16.

二当x=4时,SBC的面积最大，最大面积是16.

•.0<x<8,

二存在点P,使APBC的面积最大，最大面积是16.

解法二:割补法.

如答图2,过P点作PEJL与x轴与x轴交于点E(x,0).

Spmc-$可逆eanrc^anc~+S/mp—^aac~£(°。+PE)XOE+2

后面同解法一类似，求出函数解析式，再利用函数的性质进行解答即可，过程略.

解法三：三角函数转化法.

如答图3,过P点作PE1久轴与x轴交于点E(x,O),交BC于点F(x,-1+4)作PG1BC于点G.

易证得NP=4B。为定角.

求△PBC的面积就是求PG的最大值，即转化为求PF最大时点P的位置./"J

PF=-[/+Tx+4—(一号"+4).答图3

再利用函数的性质进行解答即可，过程略.

解法四：平行线法.卡」p

求WBC的面积最大就是求BC边上的高最大，设过点P与BC平行的直线的解析式为y

=—?+6,然后与y=—#+|x+4联立得—#+|x+4=—3+6,令判别式等于0,求出/

b的值，也就是此时两个函数有一个交点，求出该点坐标就是为APBC的面积最大时点P的位置，'\'

过程略.答图4

(3)设点M的坐标为771,-"2+|w+4),则点N的坐标为(m，-)+4).

MN=|—^m2+jm+4—jm+4)|=|一^m2+2m|.

又•.MN=3,

/.|--m2+2m\=3.

当0<m<8时，有—工血2+2m—3=0.

4

解得=2,m2=6.

.•点P的坐标为(2,6)或(6,4).

当m<0或m>8时，有—工zu?+2m+3=0.

4

解得m3=4-2币,％=4+2V7.

，点P的坐标为(4-2"夕-1)或(4+2V7--V7-1).

综上所述，点M的坐标为((4-2"b-1)或(2,6)或(6,4)或((4+2V7--V7-1).

例3如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B,C,D三点，且点B的坐标为(-L0).

⑴求二次函数的解析式；

(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M,N,且点N在点M的左侧，过M,N作x轴的垂线交

x轴于点G,H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

(3)当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P,使△PNC的面积是矩形MNHG面积

的白?若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由.

16

(1)已知二次函数的顶点坐标，设解析式为顶点式y=a(x-1/+4,代入点B坐标求出a即可；

(2)四边形MNHG为矩形，设直线NM为.y=以，然后分别用n表示出矩形的各边长，相加得到周长的函数

解析式，然后利用函数的知识解答即可；

⑶由(2)可求出矩形MNHG的面积，进一步得到△PNC的面积，此时已知APNC的"水平宽"CH,然后利

用"宽高公式"转化为求"铅垂高"，从而问题得解.

解Q)设抛物线的解析式为y=a(x-1尸+4.

把8(—1，0)代入解析式，得4a+4=0.解得a=-l.

y=—(%—1)2+4=—x2+2x+3;

⑵•.四边形MNHG为矩形，

.­.MN||x轴，设MG=NH=n,0<n<4,

把y=n代入y——x2+2x+3,即n=—x2+2.x+3.

x2—2x+n—3=0.

由根与系数关系，得=2,XM，=九—3.

22

•・•-xN)=(xM+xN)-4XM•xNf

•••—%N)2=4—4(n-3)=16—4n.

...MN=J(%,一二汽尸—2A/4—n.

设矩形MNHG周长为C,

贝[JC=2(MN+MG)=2(2V4^n+n)=4V4^n+2n

令V4—n=贝!]n=4—t2,0<t<2.

**.C=-212+4t+8=—2(t—1)?+10.

-t=l时，周长有最大值，最大值为10;

(3)在(2)的条件下，当矩形周长最大时t=l,

・•.V4—n=l,n=3,MN=2V4—n=2.

••点D的坐标为(0,3)〃•.此时点N与点D重合.

SMNHG=2X3=6*

927

SpNC==J.

2

又丫当y=0又0=-x+2x+3,解得Xi=-l,x2=3,

，点C的坐标为(3,0).

•.点D的坐标为(0,3),直线CD的解析式为y=-x+3,

，过点P做y轴的平行线,交直线CD于点Q.

设点P的横坐标为m,则点P的坐标为((m，-m2+26+3)点Q的坐标为((m，-m+3).

PQ—|m2+2m+3)—(―m+3)|.

当点P在点Q的上方时，PQ=-m2+3m.

127o9

SPNC=-,PQ，0C=—m+3m=

解得m=|.

当点P在点Q的下方时，PQ=m2-3m,BPm2-3m=

4

解得_3-3V2_3+3V2(舍去).

一2一2

，点p的横坐标为I或上尹.

精选练习

22

1.如图，两条抛物线为=-%+4,y2=-lx+bx+c经过A,B两点点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2

的最高点.丫2

(1)求抛物线y2的解析式和点B的坐标；

⑵点C是抛物线力上A,B之间的一点，过点C作x轴的垂线交yz于点D,当线段CD取得最为yz大值

2.如图1(注：与图2完全相同)所示，抛物线y=-之/+.+°经过B,D两点与x轴的另一个交点为A,与

y轴相交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积(请在图1中探索)；

(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上.要使以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足

条件的点P的坐标(请在图2中探索).

3如图,抛物线y=a/+比过点B(l，-3),对称轴是直线.x=2,,且抛物线与x轴的正半轴交于点A.

(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当yW0时，自变量x的取值范图；

(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当.PA1时，求△P4B的面积.

精选练习

1.解:⑴当y=o时代入V1=-X2+4得，0=-%2+4,解得x=±2.

丁点A在x轴的负半轴,

.\A(-2,0).

2

,点A是抛物线y2=-1%+bx+c的最高点，

•,­,2=一2+=-1%2

VB是两个函数图象的另一个交点，

%=-%2+4,

联立

72=_1%244

——5X——5

“:蓝或%=3,

解得

y=-5.

二点B的坐标为(3,-5).

••・抛物线y2的解析式为％=-学-卜-徜B的坐标是(3,-5);

⑵如图，设点。(01，一/+4)厕点

:点C是抛物线yi±A,B之间的一点，

2<m<3.

.・.CD=—m2+4—(--m2--m—

I5557

42।4,24

——m+-

55

4

当爪=一*=胡寸,CD有最大值,

2

,41,24广

即CO=-|x+-X-+—=5.

I.525

过点B作BELCD,垂足为点E.

•••点c的横坐标为1点B的横坐标为3,

・•・BE=3-

.：SRXD=^CD-BE=1x5x1=^.

2.解:⑴把B(3,0)和。(一2,一习代入抛物线的解析式，得

9

-----F3b+c=0,(b=1,

2解得c=m.

—2—2b+c=--

2

..•抛物线的解析式为y=-|x2+x+|；

⑵令x=0,得y=-|x2+x+|=|.

..•点C的坐标为((0,|).

3

令y=0,得y=--1X2+I%+,-=0,解得