2024年上海中考数学第二次模拟考试试卷+解析

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）

数学全解全析

第搭

\选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.在下列图形中，为中心对称图形的是（）

A.等腰梯形B.平行四边形C.正五边形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解.

【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180。后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；

是中心对称图形的只有B.

故选B.

2.下列方程有实数根的是

A.x4+2=0B.</x22=1C.X2+2X1-0D.----=----

x1x1

【答案】C

【详解】A.••文4>0,・“4+2=0无解，故本选项不符合题意；

B.7x222.业22=1无解，故本选项不符合题意；

C.\x2+2x1=0=8>0,方程有实数根，故本选项符合题意；

x1

D.解分式方程『工=丁7,可得x=l,经检验x=l是分式方程的增根，故本选项不符合题意.

故选C.

3.计算：AB+BA=（）

A.AB;B.BA；C.0;D.0.

【答案】C

【分析】根据零向量的定义即可判断.

【详解】AB+BA=0.

故选C.

4.在四边形ABCD中，。是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）

A.AC=BD,AB磔，AB=CDB.ADZBC,4AC=4CD

C.AO=B0=C0=D0,ACJBDD.AO=C0,BO=D0,AB=BC

【答案】C

【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案.

【详解】解：A,不能，只能判定为矩形，不符合题意；

B,不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；

C,能，符合题意；

D,不能，只能判定为菱形，不符合题意.

故选C.

5.下列命题中，假命题是（）

A.如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；

B.如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；

C.如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；

D.如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧.

【答案】C

【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案.

【详解】A.如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，

是真命题；

B.如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；

C.如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦,

例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直.错误，是假命题；

D.如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题.

故选C.

【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，

②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何

两个，那么也就具备其他三个.

6.如图，已知dOQ=30°,点A、B在射线0Q上（点A在点0、B之间），半径长为2的。A与直线0P相

切，半径长为5的。B与。A内含，那么0B的取值范围是（

p

A.4OB7B.5OB7C.4OB9D.2OB7

【答案】A

【分析】作。A半径AD,根据含30度角直角三角形的性质可得°A=4,再确认。B与。A相切时，0B的

长，即可得结论.

【详解】解：设。A与直线0P相切时的切点为D,

...AD±0P,

V20Q=30°,OA半径长为2,即AD=2,

•-0•A=2AD=4，

当。B与。A相切时，设切点为C,如下图，

•RC=5,

•-•OB=0A+AB=4+(52)=7，

.•若。B与。A内含，则0B的取值范围为40B7.

A.

【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌

握圆与圆内含和相切的关系是解题关键.

二、填空题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分)

7.分解因式：2m218=.

2(n+3)l3)/2(n3)4+3)

【分析】原式提就，再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：2m218

=2(m2-9)

=2(m+3)(mT).

故答案为：2(m+3)(m-3).

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

8.方程后为=x的解是.

【答案】x=-1.

【分析】把方程两边平方后求解，注意检验.

【详解】把方程两边平方得x+2=x2,

整理得(x-2)(x+1)=0,

解得：x=2或-1,

经检验，x=-l是原方程的解.

故本题答案为：x=-1.

【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根.

9.函数y=正中自变量x的取值范围是

x2------

【答案】x°且x2

【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解.

x0

【详解】解：由题意可知：x20,解得：x°且x2,

故答案为：x°且x2.

【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是

解题的关键.

10.AABC中，AD是中线，G是重心，砥”,AD、6,那么BG.二(用永6表示).

2-

a+—b

【答案】3.

_2-

【详解】试题分析：..在AABC中，点G是重心，AD'=b,3,yX=ATM,AB'-S,

BG=—ba=a+—ba+—b

-33；故答案为3

考点：1.平面向量；2.三角形的重心.

11.有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有粽子”的图案，另外两张的正面印有龙

舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.

1

【答案】勺

【详解】解列树状图得

粽子龙舟龙舟粽子龙舟龙舟粽子粽子龙舟粽子粽子龙舟

1

共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是

12.在方程X2+——4x+4=0中，如果设y=x2-4x,那么原方程可化为关于y的整式方程是.

X24x-

【答案】y2+4y+3=0

【分析】先把方程整理出含有x2"x的形式，然后换成y再去分母即可得解.

341八1

X2+—4x+4=0

【详解】方程X24x可变形为X2/X+X24x+4=0,

3,八

y+—+4=0

因为y=x24x,所以y

整理得，y2+4y+3=°

13.如果。与。02内含，。1°2=4，。。1的半径是3,那么。02的半径r的取值范围是

【答案】r7/7r

【分析】由题意，。01与。02内含，则可知两圆圆心距日限「，据此代入数值求解即可.

【详解】解：根据题意，两圆内含,

故r34,

解得r7.

故答案为：r7.

【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键.

14.某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长

率都为x,那么可列方程是—.

【答案】100(1+x)2=200

【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x,依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200

万元，即可列出关于x的一元二次方程.

故答案为：100(1+x)2=200

【详解】设平均每月的增长率为x,

根据题意可得：100(1+x)2=200.

故答案为：100(1+x)2=200.

【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键.

15.菱形ABCD中，已知AB=4,zB：zC=l：2,那么BD的长是.

【答案】4石

【分析】根据题意画出示意图(见详解)，由菱形的性质可得B0=2BD,BD1AC，在RtAABO中，由cos/\BO

即可求得B0,继而得到BD的长.

【详解】解：如图，

•.四边形ABCD为菱形,

•••AB〃CD，

ABC+4CD=180°,

VABC：z£CD=1：2,

AABC=60°,

：.ABD=2ZABC=30°,BO=2BD,BDJAC.

BO邪

在RtZXABO中，coszABO=AB=2,

正

."BO=ABcosz^BO=4x2=24.

."BD=2BO=4百.

故答案为：46.

【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数

求解线段长度是解题的关键.

16.如图，已知在。0中，半径0C垂直于弦AB,垂足为点D.如果CD=4,AB=16,那么0C=.

【答案】10

【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径0C=0A=r,则0D=rY,再根据勾股定理列出关于r的方程,

解出即可得出0C的长.

【详解】设半径0C=0A=r,则OD=OC£D=r吆

,••半径0C垂直于弦AB,垂足为点D,AB=16

；AD=5AB=8,

在RtZSAOD中，OD2+AD2=OA）即（M）2+82=r2

解得:r=10

故答案为10.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.

17.新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，AB=10,

3

BC=12,CD=5,tanB=“那么边AD的长为

【答案】9

n3

tanB二一

【分析】连接AC,作AE_LBC交BC于E点，由4,AB=10,可得AE=6,BE=8,并求出AC的长,

作CF±AD交AD于F点，可证B=DCF,最后求得AF和DF的长，可解出最终结果.

【详解】解：如图，连接AC,作AE±BC交BC于E点,

3

tanBn二—

...4,AB=10,

AE3

tannB=---二—

BE4,设AE=3x,BE=4x,

AE2+BE2=AB2,则GX)2+Qx\=25x2=100,

解得x=2,贝I]AE=6,BE=8,

又•••BC=12,CE=BCdE=4,

AC=JAE1+加2=2a

作CF±AD交AD于F点,

・,・B+D=90D+DCF：二90

3DF

tanB=—

B二DCF,4=tanDCF:CF

又CD=5,同理可得DF=3,CF=4

AF二JAC2CF2=6

AD=AF+DF=9

故答案为:9.

【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和

勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键.

18.如图，在RtABC中，zACB=90°,BC=4,AC=3,。。是以BC为直径的圆，如果。。与OA相切，那

么OA的半径长为.

【答案】屈2

【分析】分两种情况：①如图，口A与口°内切，连接AO并延长交口A于E，根据AE=A0+0E可得结论;

②如图，口A与口°外切时，连接A0交口A于E,同理根据AE=OA°E可得结论.

【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：

①如图1,口A与口°内切时，连接A0并延长交匚°于E,

图1

•.匚0与□A相内切,

E为切点，

0E=-BC=2

2,

ACB=90,

根据勾股定理得：0A=JOC2+ACz=也+32=而,

AE=0A+0E=疝+2；

即1A的半径为加+2；

②如图2,口人与二°外切时，连接A0交于E,

同理得AE=AO0E=而2,

即口A的半径为a2,

综上，口A的半径为至+2或如2.

故答案为：屈2.

【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE是口A的半径.

第啮

三、解答题（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（10分）计算：炳+（cot45，。22+|点避卜（3）QirBO）i.

【答案］272+73

【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

【详解】解：底+(W45)2022+|V2V3j+(3)o(sin30)1

=3^2+(1)2022+73V2+1(-)1

2

=3a+1+向72+12

=2上+6.

【点睛】本题考查了实数的运算，零指数塞，负整数指数幕、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键

是准确熟练地化简各式.

2

20.(10分)如图，AH是NBC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E.已知AB=AC=6,cosB=-,

ADDB=12.

(1)求ZsABC的面积；

(2)求CEDE.

A

【答案】解：(1)8市；(2)1.

【详解】试题分析：(1)根据题意和锐角三角函数可以求得BH和AH的长，从而可以求得AVBC的面积;

(2)根据三角形的相似和题意可以求得CE：DE的值.

2______

试题解析：解：(1),.AB=AC=6,cosB=§,AH是AABC的高，；BH=4,；BC=2BH=8,AH=依42=2一,

BCAH825/5

AABC的面积是；-2―=2=8>/5.

_A_D_=_H_F__,_C_E_=_C_H__

(2)作DF_IBC于点F.\DF_IBH,AH_LBH,ZDF/AH,\.ABHBDEHF.RD：DB=1：2,BH=CH,

HF_1CE_CH_BH_3

ZAD：AB=1：3,；.HB3,.-DEHFHFT,即CE：DE=3：1.

点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合

的思想解答.

k

21.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=—的图象与正比例函数丫=1«的图象

x

在第一象限内的交点，已知点A的纵坐标为2.经过点A且与正比例函数y=kx的图象垂直的直线交反比例

函数y=上的图象于点B（点B与点A不是同一点）.

X

⑴求k的值；

⑵求点B的坐标.

【答案】⑴2

⑵（4,?）

2_k

【分析】（1）根据题意得到^一万，解方程求得k=2；

二£

（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y2x+b,把A的坐标代入解得

=5

b2,再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标.

=k

【详解】（1）解：•.点A是反比例函数y；的图象与正比例函数y=kx的图象在第一象限内的交点，点A

的纵坐标为2,

一2二一k

...k2,

,K=4,

解得k=±2

\k>0,

；k=2；

(2),・k=2,

二2

.,反比例函数为yx,正比例函数为y=2x,

把y=2代入y=2x得，x=l,

；A(1,2),

•.AB_LDA,

_1

.•设直线AB的解析式为y2x+b,

=11+

把A的坐标代入得22b,

=5

解得b5,

2

y-xx=4

15x=l1

y=—x+—八y二一

解22得y=2或2,

1

.•点B的坐标为(4,2).

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，

待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB的解析式，本题属于中等题型.

22.(10分)图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰

AB,CD表示桥两侧的斜梯，A,D两点在地面上，已知AD=40m,设计桥高为4m,设计斜梯的坡度为1：

2.4点A左侧251n点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区.

过街天桥侧面示意图

⑴求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；

⑵为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m,同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度

要减小到1：4,新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变.另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡

道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古

树的圆形保护区.已知点N距离地面的高度为0.9m,请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是

否可行.

表：轮椅坡道的最大高度和水平长度

坡度1：201：161：121：101：8

最大高度（m）1.200.900.750.600.30

水平长度（m）24.0014.409.006.002.40

【答案】（1）主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m

（2%椅坡道的设计不可行，理由见解析

【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE,由勾股定理求出AB,进而求出EF=BC的

长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；

（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡AB的水平距离AE进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中

轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可.

【详解】（1）解：如图，作直线AD,则AD过点A和点D,过点B、C分别作BE必D,CFUD,垂足

为E、F,延长EB,延长FC,则射线EB过点B,射线FC过点C,由题意得，BE=CF=4m,AP=25m,

BE=5m,

BE

•.斜坡AB的坡度为1：2.4即AE=1：2.4

；AE=4X2.主9.6（m）,

又•.四边形ABCD是等腰梯形，

/AE=DF=9.6m,

.*BC=AD-AE-DF=5.8(m),

AB=JAE2+BE2=79.6+42=1Q4(m)=CD,

••主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD=10.4+5.8+10.生26.6（m）,

答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m.

D'

过街天桥侧面示意图

BE

(2)解：••斜坡AB的坡度为1：4,即AE=i：4,

:RE=5X^20(m),

:KA=20-9.6=11.4(m),

AG=4NG=4X0.43.6(m),

.'AG=11.4-3.6=7.8(m),

点M到点G的最多距离MG=25-7.8-3=14.2(m),

VL4.2C14.4

••轮椅坡道的设计不可行.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角

形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键.

23.(12分)已知：如图，在梯形ABCD中，AD/K,BB=90°,E是AC的中点，DE的延长线交边BC

于点F.

(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；

(2)如果2AE2=ADBC,求证四边形AFCD是菱形.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】(1)由平行四边形的性质可知/DAE=ZFCE,ADE=CFE.再由E是AC中点，即AE=CE.即

可以利用"AAS'证明口阿药CEF,得出AD=CF,即证明四边形AFCD是平行四边形.

AE=AD

(2)由2AE2=ADBC和E是AC中点，即可推出CBAC.又因为ZDAE=ZFCE,即证明

△ADE^ACAB,即可推出DF±AC.即四边形AFCD是菱形.

【详解】⑴.加上,

.・/DAE=ZFCE,ADE=CFE.

又「E是AC中点，

；AE=CE,

ADECFE

DAEFCE

,•在AAED和ACEF中，AE=CE,

•二AED9CEF(AAS)

••，

•••AD=CF，

.•四边形AFCD是平行四边形.

(2)VAD/BC,

.-ZDAE=NFCE.

••­2AE2=ADBC，

••A•EAC=ADBC，

AE_AD

AC"

••C•B""，

•••△ADE^ACAB，

AED=ABC=90即DF±AC.

.•四边形AFCD是菱形.

【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角

形的判定和性质.掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键.

24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=±x2+bx+c与y轴交于点A((),3),与x轴的正半轴交于点

B(5,0),点D在线段0B上，且0D=1,联结AD,将线段AD绕着点D顺时针旋转90,得到线段DE,过

点E作直线l_Lx轴，垂足为H,交抛物线于点F.

⑵联结DF,求cotEDF的值;

(3)点P在直线1上，且4DP=45°,求点P的坐标.

312

y——X2+—x+3

【答案】(1)55;

(2)cotEDF=2；

⑶（4,6摄@机

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）证明0Ao=腱（AAS）,再根据全等三角形的性质得EH=0D=1,DH=0A=3,可得E（4,1）F（4,3）

求出FH=DH=3,则DFH=45,DF=3&,过点E作EKLDF于K,根据等腰直角三角形的性质可得

KF=KE=①,则DK=DFKF=2血，在RtDKE中，根据余切的定义即可求解;

（3）分两种情形①点P在点E的上方时；②点P在点E的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决

问题.

【详解】⑴解：把点八（°，3）,点B（5,0）代入L5X2+X+C,

b=12

15+5b+c=05

得：c=3,解得：c=3,

312

y=X2+——x+3o

抛物线的解析式为55.

（2）解：如图：

ADO+0AD=90,ADO+EDH=90,

OAD=EDH,

♦.・AD=DE,

OADgHDE(AAS)

EH=OD=1,DH=OA二3,

E(4,1),

312

y=-X2+—x+o3

过点E作直线1轴，垂足为H,交抛物线55于点F.

F(4,3),

FH=3

FH=DH=3,

・.・DHE=90

DFH=45DF=372,

过点E作EK±DF于K,

,­,EF=31=2,

KF=KE=>/2,

DK=DFKF=2啦，

DK_2g

cotEDF

在RtDKE中,KF-^/F

"EDP=DFH=45,DEP是公共角,

EDFsEPD,

EF_ED

ED-EP,

ED2=EFEP,

设P(4M,贝I]EP=y1,

又；EF=2,ED=V32+12=^0,

10=2(y1),解得y=6,

点P的坐标为(4,6)；

•­,EDP=DFP=45,DPF是公共角，

PEDsPDF,

PE二DP

PD-FP,

DP2=PEPF,

设P(4，y),则EP=1y,FP=3y,DP=,32+y2,

=3

9+y2=(1y)(3y),解得'2,

(4,-)

点P的坐标为2；

综上所述，当EDP=45时，点p的坐标为