2021全国高三(上)期中数学汇编：空间几何体

第1页/共1页2021全国高三（上）期中数学汇编空间几何体一、单选题1．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．32．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（

）A． B． C． D．3．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧长度是弧长度的3倍，，则该曲池的体积为（

）A． B． C． D．4．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（

）A． B． C． D．5．在正方体中，M，N，Q分别为棱AB，的中点，过点M，N，Q作该正方体的截面，则所得截面的形状是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形6．已知圆锥SO的顶点为S，母线SA，SB，SC两两垂直，且，则圆锥SO的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题7．在空间直角坐标系中，棱长为1的正四面体的顶点A，B分别为y轴和z轴上的动点（可与坐标原点O重合），记正四面体在平面上的正投影图形为S，则下列说法正确的有（

）A．若平面，则S可能为正方形B．若点A与坐标原点O重合，则S的面积为C．若，则S的面积不可能为D．点D到坐标原点O的距离不可能为8．若正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为，将其中两个正三角形侧面与按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（

）A．五面体 B．七面体 C．斜三棱柱 D．正三棱柱三、填空题9．边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为_____．10．已知球的表面积是，则该球的体积为________.11．已知体积为的圆柱底面是外接球的截面，圆柱的底面积为，则该球的表面积是___________.12．已知一个几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形如图（2）所示，则此几何体的体积为_________13．已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为______.14．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是________.

参考答案1．B【分析】连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解.【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有.当三点共线时，则即为的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：因为，所以为等边三角形，所以，所以在三角形中，,,由余弦定理得：.故选B.【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.2．C【分析】求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的体积之和，计算可得解.【详解】如图，该模型内层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，可知内层圆柱的高同理，该模型外层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，可知外层圆柱的高此模型的体积为故选：C3．D【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知，，所以，.故该曲池的体积.故选：D.4．B【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为，故总曲率为．故选：B.5．D【分析】分别为中点，M，N，Q确定平面，证明六边形的每条边均在内，得到答案.【详解】如图所示：分别为中点，M，N，Q确定平面，且，故，，故，同理可得，，，故截面为六边形.故选：D.6．C【分析】根据题意，结合勾股定理与正弦定理，求出圆锥底面半径和高，再根据体积公式，即可求解.【详解】根据题意，因为，，两两垂直，且，所以，设圆锥底面半径为，结合正弦定理，知，即，因此，故.故选：C.7．ABD【分析】对于A，举例说明可能性成立即可；对于B，当点A与坐标原点O重合时，到的距离均为，再利用正四面体两个面所成二面角的正弦值为，从而可求出结果；对于C，当位于轴上时，且且两两垂直，故把正四面体放入外接正方体中，从而可求得结果；对于D，由正四面体的性质可知到的距离为，当时，到的距离最大，进而可求出的最大值【详解】对于A，如图，当B为时，正投影图形为正方形，所以A正确；对于B，点A与坐标原点O重合时，两点已定，即在轴上，此时正四面体在空间中的形态已定，到的距离就是正三角形的高，均为，则正四面体在平面上的正投影图形为以为腰，1为底的等腰三角形，所以，所以B正确；对于C，当位于轴上时，且且两两垂直，故把正四面体放入外接正方体中,如图所示，可知投影到面为正方形，且边长为，此时，所以C错误；对于D，顶点到的距离为，设点到的距离为，则,得，当且仅当时，到的距离最大，且为，所以的最大值为，所以D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查空间直角坐标系中正四面体的有关面积、距离问题，解题的关键是灵活运用正四面体的性质，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题8．AC【分析】根据正三棱锥与正四棱锥的结构特征即可得出答案.【详解】由题意作出正三棱锥与正四棱锥按对应顶点粘合成新的组合体，如图，所以新的组合体是五面体或斜三棱柱.故选：AC9．【分析】取球心，若且为底面中心，为中点，由正四面体的性质确定球心的位置且为球的半径，根据三角形相似求，由球的体积公式求体积即可.【详解】结合正四面体的性质：球心在正四面体的体高上，且为外接球的球心，如下图：取球心，若，则即为球的半径，而为底面中心，∴面，若为中点，则，∴，，，由，则，故，∴球的体积为.故答案为：10．【解析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.【详解】设球的半径为r，则表面积，解得，所以体积，故答案为：【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.11．【分析】根据圆柱的体积、底面积，结合体积、底面积公式求圆柱的高和底面半径，由外接球半径与圆柱的高、底面半径的关系求，进而求球的表面积.【详解】由题设，若圆柱的高为，底面半径为，则，即，设外接球半径为，则，∴该球的表面积是.故答案为：12．【分析】由直观图得俯视图是一个直角三角形，直角边长分别为，2，从而得出原几何体是一个三棱锥，其中一条侧棱与底面垂直，且三条棱长已知，由此可求得体积．【详解】由直观图得俯视图是一个直角三角形，直角边长分别为，2，如图，由三视图知原几何体是一个三棱锥，如下图，其中两两垂直，且，，，所以体积为．故答案为：．13．【分析】由正方体对称性，最短路线有6条，距离相等，把最短路线所过平面摊平后，由平面上两点间距离线段最短可得．【详解】