高考数学（文）高分计划一轮高分讲义第3章三角函数解三角形34　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

3．4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用[知识梳理]1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤如下：[诊断自测]1．概念思辨(1)将函数y＝3sin2x的图象左移eq\f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq\f(T,2).()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A4P57T1)为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动eq\f(π,3)个单位长度B．向右平行移动eq\f(π,3)个单位长度C．向左平行移动eq\f(π,6)个单位长度D．向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度答案D解析y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))可变形为y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))))，所以将y＝sin2x的图象向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度即可．故选D.(2)(必修A4P70T18)函数f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3),2)cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2答案A解析由f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，得最小正周期为π，振幅为1.故选A.3．小题热身(1)(2017·柳州模拟)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝()A．5 B．4C．3 D．2答案B解析由图象可知，eq\f(T,2)＝x0＋eq\f(π,4)－x0＝eq\f(π,4)，即T＝eq\f(π,2)＝eq\f(2π,ω)，故ω＝4.故选B.(2)(2018·成都检测)①为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点向________平移________个单位长度．②为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点向________平移________个单位长度．答案①左1②左eq\f(1,2)题型1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．用五点法．解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq\f(π,6).数据补全如下表：且函数表达式为f(x)＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(2)由(1)知f(x)＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，得g(x)＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2θ－\f(π,6))).因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))成中心对称，令eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)－θ＝eq\f(5π,12)，k∈Z，解得θ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值eq\f(π,6).[条件探究]将本典例中的条件变为(1)求x1，x2，x3的值及函数f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位，可得到函数g(x)的图象．若y＝g(x)的图象的一条对称轴方程为x＝eq\f(5π,12)，求θ的最小值．解(1)由eq\f(2πω,3)＋φ＝0，eq\f(8πω,3)＋φ＝π可得ω＝eq\f(1,2)，φ＝－eq\f(π,3).由eq\f(1,2)x1－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，eq\f(1,2)x2－eq\f(π,3)＝eq\f(3π,2)，eq\f(1,2)x3－eq\f(π,3)＝2π，可得x1＝eq\f(5π,3)，x2＝eq\f(11π,3)，x3＝eq\f(14π,3).由Asineq\f(π,2)＝2，得A＝2，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).(2)∵f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的一条对称轴为x＝－eq\f(π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)<\f(5π,12)))，∴θ＝eq\f(5π,12)＋eq\f(π,3)＝eq\f(3π,4).方法技巧函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的作法1．五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图．如典例．2．图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．如条件探究．冲关针对训练(2018·济南模拟)设函数f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx(ω>0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到的．解(1)f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinωx＋\f(\r(3),2)cosωx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))，又∵T＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).∴函数f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx的振幅为2，初相为eq\f(π,3).(2)令X＝2x＋eq\f(π,3)，则y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝2sinX.列表，并描点画出图象：(3)把y＝sinx的图象上所有的点向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象；再把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象；最后把y＝sineq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())2x＋eq\f(π,3)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象.题型2函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用角度1由函数图象及性质求解析式eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，求函数f(x)的解析式．可确定T求ω，代值求φ.解由题中图象可知eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))⇒eq\f(3,4)T＝eq\f(3π,4)⇒T＝π，则ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.又图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，2))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝2⇒2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋φ))＝2⇒sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋φ))＝1.∵－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)＋φ<eq\f(4π,3)，∴eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3).∴函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).角度2函数图象与性质的综合eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(1,4)，kπ＋\f(3,4)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(1,4)，2kπ＋\f(3,4)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,4)，k＋\f(3,4)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z根据局部单调性，结合周期确定单调区间．答案D解析由题图可知eq\f(T,2)＝eq\f(5,4)－eq\f(1,4)＝1，所以T＝2.结合题图可知，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(5,4)))(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(3,4))).由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z.故选D.角度3图象变换与性质的综合eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2018·滨州模拟)已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．本题用方程组法．解(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝msin\f(π,6)＋ncos\f(π,6)，,－2＝msin\f(4π,3)＋ncos\f(4π,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝\f(1,2)m＋\f(\r(3),2)n，,－2＝－\f(\r(3),2)m－\f(1,2)n，))解得m＝eq\r(3)，n＝1.(2)由(1)知f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2φ＋\f(π,6))).设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知xeq\o\al(2,0)＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y＝g(x)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2φ＋\f(π,6)))＝1，因为0<φ<π，所以φ＝eq\f(π,6)，因此g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ，k∈Z.所以函数y＝g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.方法技巧结合图象及性质求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法1．求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2).2．求ω，已知函数的周期T，则ω＝eq\f(2π,T).3．求φ，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)，或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口．冲关针对训练1．(2017·河南洛阳统考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0,1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，－1))，则f(x)＝________.答案2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))解析由已知得eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)，∴T＝eq\f(2π,3)，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝3.∵f(0)＝1，∴sinφ＝eq\f(1,2)，又∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))(经检验满足题意)．2．(2017·朝阳区模拟)已知函数y＝2cos(ωx＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，ω>0，0≤θ≤\f(π,2)))的图象与y轴相交于点M(0，eq\r(3))，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝eq\f(\r(3),2)，x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，求x0的值．解(1)将x＝0，y＝eq\r(3)代入函数y＝2cos(ωx＋θ)得cosθ＝eq\f(\r(3),2)，∵0≤θ≤eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,6).由已知周期T＝π，且ω>0，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.(2)∵Q(x0，y0)是PA的中点，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，y0＝eq\f(\r(3),2)，∴点P的坐标为(2x0－eq\f(π,2)，eq\r(3).又∵点P在y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象上，且x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x0－\f(5π,6)))＝eq\r(3)，eq\f(7π,6)≤4x0－eq\f(5π,6)≤eq\f(19π,6)，从而得4x0－eq\f(5π,6)＝eq\f(11π,6)或4x0－eq\f(5π,6)＝eq\f(13π,6)，解得x0＝eq\f(2π,3)或eq\f(3π,4).1.(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2答案D解析∵C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))))，根据三角函数图象变换的规律，可得D正确．故选D.2．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)(k∈Z) B．x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)C．x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z) D．x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)答案B解析将函数y＝2sin2x的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度得到函数y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象，由2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．则平移后图象的对称轴为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．故选B.3．(2017·山东日照一模)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asinωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象()A．向左平移eq\f(π,6)个单位长度B．向左平移eq\f(π,12)个单位长度C．向右平移eq\f(π,6)个单位长度D．向右平移eq\f(π,12)个单位长度答案B解析由题图知A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(π,2)，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))代入得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝1，∵－π<φ<0，∴－eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)＋φ<eq\f(2π,3)，∴eq\f(2π,3)＋φ＝0，∴φ＝－eq\f(2π,3)，∴f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，故将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度可得到g(x)的图象．故选B.4．(2017·湖北七市联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，若x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案D解析由题图知A＝1，函数f(x)的最小正周期T＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))))＝π，所以eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在图象的上升段上，所以－eq\f(π,3)＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，可知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上，函数f(x)的图象关于x＝eq\f(π,12)对称，因为x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝eq\f(π,6)，所以f(x1＋x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2).故选D.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·合肥质检)要想得到函数y＝sin2x＋1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移eq\f(π,4)个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移eq\f(π,4)个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移eq\f(π,2)个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移eq\f(π,2)个单位长度，再向下平移1个单位长度答案B解析先将函数y＝cos2x＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度，得到y＝sin2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin2x＋1的图象．故选B.2．(2017·福建质检)若将函数y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0))答案A解析将函数y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得y＝3coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,2)))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象，由2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，当k＝0时，x＝eq\f(π,6)，所以平移后图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)).故选A.3．将函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移eq\f(π,6)个单位，所得函数图象的一条对称轴是()A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,6)C．x＝πD．x＝eq\f(π,2)答案D解析4．(2018·广州模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，则φ的值可以是()A.eq\f(5π,3)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,6)答案B解析因为函数f(x)的图象过点P，所以θ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).又函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－φ＋\f(π,3)))的图象，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2φ))＝eq\f(\r(3),2)，所以φ可以为eq\f(5π,6).故选B.5．(2018·湖北调研)如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象，则这段曲线的函数解析式可以为()A．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]B．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(5π,4)))＋20，x∈[6,14]C．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]D．y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(5π,8)))＋20，x∈[6,14]答案A解析由三角函数的图象可知，b＝eq\f(10＋30,2)＝20，A＝eq\f(30－10,2)＝10，eq\f(T,2)＝14－6＝8⇒T＝16＝eq\f(2π,ω)⇒ω＝eq\f(π,8)，则y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))＋20，将(6,10)代入得10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6π,8)＋φ))＋20＝10⇒sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝－1⇒φ＝eq\f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)．取k＝0，得φ＝eq\f(3π,4).故选A.6．(2015·安徽高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝eq\f(2π,3)时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A．f(2)<f(－2)<f(0) B．f(0)<f(2)<f(－2)C．f(－2)<f(0)<f(2) D．f(2)<f(0)<f(－2)答案A解析∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且x＝eq\f(2π,3)是经过函数f(x)最小值点的一条对称轴，∴x＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,2)＝eq\f(π,6)是经过函数f(x)最大值点的一条对称轴．∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,6)))＝eq\f(12－π,6)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(π－2－\f(π,6)))＝eq\f(5π－12,6)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(π,6)))＝eq\f(π,6)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,6)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(π－2－\f(π,6)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(π,6)))，且－eq\f(π,3)<2<eq\f(2π,3)，－eq\f(π,3)<π－2<eq\f(2π,3)，－eq\f(π,3)<0<eq\f(2π,3)，∴f(2)<f(π－2)<f(0)，即f(2)<f(－2)<f(0)．故选A.7．(2018·安阳检测)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则eq\o(∑,\s\up16(2018),\s\do14(n＝1))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nπ,6)))＝()A．－1B．0C.eq\f(3,2)D．1答案C解析易得ω＝2，由五点法作图可知2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,6)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,6)))＝eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,6)))＝－eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,6)))＝－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝－eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6π,6)))＝eq\f(1,2)，故eq\o(∑,\s\up16(2018),\s\do14(n＝1))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nπ,6)))＝336×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,2)－1－\f(1,2)＋\f(1,2)))＋1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).故选C.8．(2017·河北二模)要得到函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象，只需将函数g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象()A．向左平移eq\f(π,2)个单位长度B．向右平移eq\f(π,2)个单位长度C．向左平移eq\f(π,4)个单位长度D．向右平移eq\f(π,4)个单位长度答案C解析f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)))，故把g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，即得函数f(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(π,3)))的图象，即得到函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象．故选C.9．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，|φ|≤\f(π,2)))的部分图象与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1，0)，∠PQR＝eq\f(π,4)，M(2，－2)为线段QR的中点，则A的值为()A．2eq\r(3)B.eq\f(7\r(3),3)C.eq\f(8\r(3),3)D．4eq\r(3)答案C解析依题意得，点Q的横坐标是4，点R的纵坐标是－4，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2|PQ|＝6，Asinφ＝－4，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋4,2)))＝A，∴ω＝eq\f(π,3)，Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)×\f(5,2)＋φ))＝A，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋φ))＝1.又|φ|≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6)＋φ≤eq\f(4π,3)，∴eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，φ＝－eq\f(π,3)，∴Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－4，A＝eq\f(8\r(3),3).故选C.10．(2015·湖南高考)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝eq\f(π,3)，则φ＝()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案D解析g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)．∵|f(x)|≤1，|g(x)|≤1，∴|f(x1)－g(x2)|≤2，当且仅当f(x1)＝1，g(x2)＝－1或f(x1)＝－1，g(x2)＝1时，满足|f(x1)－g(x2)|＝2.不妨设A(x1，－1)是函数f(x)图象的一个最低点，B(x2，1)是函数g(x)图象的一个最高点，于是x1＝k1π＋eq\f(3π,4)(k1∈Z)，x2＝k2π＋eq\f(π,4)＋φ(k2∈Z)，∴|x1－x2|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ)).∵φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴|x1－x2|≥eq\f(π,2)－φ.又∵|x1－x2|min＝eq\f(π,3)，∴eq\f(π,2)－φ＝eq\f(π,3)，即φ＝eq\f(π,6).故选D.二、填空题11．已知函数y＝sinωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))的图象，则需将函数y＝sinωx的图象向________平移________个单位长度．答案左eq\f(π,6)解析由图象知函数y＝sinωx的周期为T＝4π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(1,2)，故y＝sineq\f(1,2)x.又y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))＝sineq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，∴将函数y＝sineq\f(1,2)x的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，即可得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))的图象．12．(2017·河南一模)将函数f(x)＝2cos2x的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a，\f(7π,6)))上均单调递增，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析将函数f(x)＝2cos2x的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后得到函数g(x)的图象，得g(x)＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，由－π＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ，得－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z.当k＝0时，函数的增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，当k＝1时，函数的增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6))).要使函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a，\f(7π,6)))上均单调递增，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<\f(a,3)≤\f(π,6)，,\f(2π,3)≤2a<\f(7π,6)，))解得a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).13．(2017·三明一模)已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)，∠C＝90°，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为________．答案－eq\f(1,2)解析依题意，知△ABC是直角边长为eq\f(\r(2),2)的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是eq\f(1,2)，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝eq\f(1,2)，eq\f(2π,ω)＝2，ω＝π，f(x)＝eq\f(1,2)cos(πx＋φ)．又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.由0<φ<π，得φ＝eq\f(π,2)，故f(x)＝－eq\f(1,2)sinπx，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝－eq\f(1,2).14．(2017·烟台二模)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))对称，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到一个偶函数的图象，则实数m的最小值为________．答案eq\f(π,12)解析∵函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))对称，∴2×eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝kπ－eq\f(5π,6)，k∈Z.∴f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋kπ－\f(5π,6)))，k∈Z.∵f(x)的图象向右平移m个单位得到函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－2m＋kπ－\f(5π,6)))(k∈Z)为偶函数，∴x＝0为其对称轴，即－2m＋kπ－eq\f(5π,6)＝k1π(k∈Z，k1∈Z)，m＝eq\f(k－k1π,2)－eq\f(5π,12)(k∈Z，k1∈Z)，∵m>0，∴m的最小正值为eq\f(π,12)，此时k－k1＝