2024-2025学年山西省晋城市高三上册第二次月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山西省晋城市高三上学期第二次月考数学检测试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】首先求解集合，再根据交，并，补的运算，即可求解.【详解】，即，得，即,，所以.故选：A2.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（）A.-1 B. C. D.【正确答案】C【分析】结合三角函数的定义求和，再代入两角和的余弦公式，即可求解.【详解】由终边点可知，，，所以.故选：C3.已知函数，则（）A. B.1 C. D.【正确答案】D【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用.【详解】由题意，.故选：D.4.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，，而.故选：C5.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.【详解】函数的定义域为，且，所以函数是奇函数，故排除A，且当时，，故排除C，，当时，，故排除D，满足条件的只有B.故选：B6.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.【详解】由题意，命题“”是假命题，等价于其否定“”是真命题，令，则对恒成立，即，需满足，而，，当且仅当，即时取等号.所以，即.故选：A.7.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，则在区间内的极值点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】D【分析】由平移关系与奇函数性质可得的对称性，求得的解析式，然后根据余弦函数的性质求解即可.【详解】若是奇函数，则图象关于对称，由题意得的图象向左移个单位长度得到函数的图象，故的图象关于对称，，则，则，解得，又因为，则当时，.，，令，则在极值点的个数与在区间内的极值点个数相同.而函数在内的所有极值点为，共4个.故在区间内的极值点个数也为4个.故选：D.8.已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由为奇函数得对称中心为0,1，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值.【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于0,1中心对称，即，因为为偶函数，所以，则，所以，，所以，故的周期为，因为，所以，故选：B.关键点点睛：由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.【正确答案】BCD【分析】首先判断，再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项.【详解】由，可知，，所以，故A错误；，对数函数单调递增，所以，故B正确；，即，故C正确；，由，可知，即，故D正确.故选：BCD10.已知函数，则（）A.为奇函数B.的值域为C.的图象关于直线对称D.以为周期【正确答案】ACD【分析】首先化简函数，再根据奇函数的定义，判断A，通过换元分析函数的单调性，即可求函数的值域，判断B，证明，判断C，根据，即可判断D.【详解】，，则，，则函数的定义域为，函数的定义域关于原点对称，且满足，所以函数是奇函数，故A正确；设，在区间单调递减，，因为函数是奇函数，所以函数的值域是，故B错误；，所以函数关于对称，故C正确；，所以函数的周期为，故D正确.故选：ACD11.已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（）A.1 B. C.e D.【正确答案】ABC【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得的范围.【详解】由，可化为，则又可化为，令，则，令，得，当时，，则在单调递减；当时，，则在单调递增；故，且当，.再令，则，则关于的不等式在恒成立，即在恒成立，令，，则，由解得，当时，，则在单调递减；当时，，则在单调递增；所以，要使在恒成立，则.故选：ABC.方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为______.【正确答案】【分析】化简集合，再结合是的必要不充分条件列不等式族求解.【详解】由，，则，所以，由，即，解得，所以，因为是的必要不充分条件，所以，且，也符合题意，解得.所以实数的取值范围为0,2.故0,2.13.已知均为正实数，且，则的最小值为_____________.【正确答案】【分析】由已知条件等式配凑积为定值的形式，再利用基本不等式求解可得最小值.【详解】由，得，则，由已知，则，所以，且，所以.所以，故，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为.14.已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为_____________.【正确答案】【分析】由曲线与关于直线对称，将问题转化为曲线与有个交点，即方程有个不同的实根，进而转化为和有两个交点，利用导数求函数的大致图象，结合图象即可求解.详解】曲线与关于直线对称，又点关于直线的对称点在曲线上，曲线与有个交点，即有个不同的实根，即方程有个不同的实根，设函数，则，当时，ℎ'x>0，ℎx在上单调递增，当时，ℎ'x<0，ℎ，再根据当时，，当时，，作出ℎx由于直线过定点，当直线与ℎx的图象相切时，设切点为，此时，即，可得，此时切线的斜率为，由图可知，时，直线与ℎx的图象有个交点，实数的取值范围为0,1，故0,1.方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.（1）求的值;（2）已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值.【正确答案】（1）（2）1.【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数判断单调性，结合的最小值为，求出，并求出最大值.【小问1详解】由已知，得，由题知，解得.【小问2详解】由（1）可知，，，的变化情况如表所示：12+0-0+极大值极小值，，，即在区间上的最大值为1.16.已知向量，函数.（1）求的最小正周期;（2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）.【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；（2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】，的最小正周期；【小问2详解】由题知在区间上恰有两个不同的实数根，即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，令，作出的图象与直线，如图.由图知，当时，的图象与直线有两个交点，实数的取值范围为.17.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且的面积为.（1）求；（2）延长CB至点，使得是等腰三角形，求.【正确答案】（1）2（2）【分析】（1）首先根据同角三角函数的平方关系求出，然后根据三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理求解即可；（2）首先利用余弦定理的推论求出，进而得到，根据是等腰三角形得到是边长为2的等边三角形，再利用求解即可.【小问1详解】，，，，，由余弦定理得，；【小问2详解】如图，由（1）及余弦定理可得，，，，是等腰三角形，是边长为2的等边三角形，，，又，.18.已知函数的定义域为，对任意且，都满足.（1）求;（2）判断的奇偶性;（3）若当时，，且，求不等式解集.【正确答案】（1）0；0（2）偶函数（3）.【分析】（1）利用赋值法计算可得；（2）对任意非零实数，，令，即可得到，再令，即可得解；（3）首先说明在区间上单调递增，再得到，则不等式转化为，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.【小问1详解】因为对任意且，都满足，令，得，，令，得，.【小问2详解】对任意非零实数，，令，可得.在上式中，令，得，即对任意非零实数，都有，是偶函数.【小问3详解】对任意且，有，由（2）知，在区间上单调递增.，，是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，原不等式转化为，解得或或，原不等式的解集为.19.已知函数.（1）若仅有一个极值点且恒成立，求实数的取值范围;（2）当变化时，求的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数，使其图象经过上述所有定点;（3）证明.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析分析】（1）由分类讨论函数极值并求函数最小值满足条件即可；（2）令的系数为求定点，结合特殊角的正切值写出满足题意的一个函数即可；（3）化简函数解析式求导函数，利用隐零点回代的方法求证函数最小值大于0可得.【小问1详解】由题知，①当时，恒成立，当时，在单调递减，当时，在单调递增，则仅有一个极值点，且.要使恒成立，得，解得.所以；②当时，由，得或.当，即时，恒成立，则在上单调递增，即函数无极值点，不满足题意；当时，即时，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；则在与处都取极值，即有两个极值点，故不满足题意；同理，当时，即时，也有两个极值点，故不满足题意；综上所述，实数的取值范围是.【小问2详解】令，可得或，，的图象经过的所有定点的坐标为和.函数图象过和，则，且.当时，函数，则，且满足题意.图象经过点和的函数可以是.(函数解析式不唯一)【小问3详解】要证，即证.设，则设，则在区间上单调递增，故存在唯一的，使