2024-2025学年湖北省武汉市高一上册9月月考数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年湖北省武汉市高一上学期9月月考数学质量检测试卷一、单选题（40分）1.下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（）A1 B.2 C.3 D.42.若集合，，则满足的实数a的个数为（）A1 B.2 C.3 D.43.已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，，则的取值范围是（

）A. B.C. D.5.已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（）A.BC.D.整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”7.在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（）A. B. C.3 D.8.记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.4二、多选题（18分）9.下列说法正确的是（）．A.的一个必要条件是B若集合中只有一个元素，则C.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件D.已知集合，则满足条件的集合N的个数为410.下列说法正确的是（）A.若，则B.命题“，”的否定是“，或”C.若，则函数的最小值为2D.当时，不等式恒成立，则的取值范围是11.定义全集的子集的特征函数,这里表示在全集中的补集,那么对于集合、,下列所有正确说法是（）A. B.C. D.三、填空题（15分）12.已知集合，，，若，，则__________．13.设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________.14.对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为__________，的“大和数”为__________．四、解答题（77分）15.已知集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.16.已知非空集合，，全集．（1）当时，求；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．17.已知p:关于x的方程有实数根，．（1）若命题是假命题，求实数a取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18.对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点；（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.（3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.19.给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.（1）判断、哪个是规范数集，并说明理由；（2）任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；（3）当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.注：、分别表示数集中的最小数与最大数.2024-2025学年湖北省武汉市高一上学期9月月考数学质量检测试卷一、单选题（40分）1.下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确；对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确；对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为0,1，两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；综上所述：正确个数为2.故选：B.2.若集合，，则满足的实数a的个数为（）A1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为，所以，即或者，解之可得或或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。所以实数a的个数为2个.故选：B3.已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据不等式的性质以及作差法结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，，若，则，可得，则，所以成立，即甲是乙的充分条件；若，可知，则，即，可得，即，即甲是乙的必要条件．综上可知：甲是乙的充要条件．故选：C．4.已知，，则的取值范围是（

）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可【详解】由，，得，即，，所以，即，故选：D5.已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】解不等式得到或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案.【详解】由条件，解得或；因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，故是或x>1的真子集，则的取值范围是，故选：B．6.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（）A.B.C.D.整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”【正确答案】C【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数，所以，又，故，C正确；对于D，若，则，若，则，不妨设，则，所以，，所以除以后余数相同，所以属于同一“类”所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误；故选：C.7.在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（）A. B. C.3 D.【正确答案】C【分析】利用“”的代换，结合基本不等式求最值.【详解】由题意得，，所以，则，当且仅当时，即等号成立，故当时，取到最小值.故的最小值为.故选：C.8.记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.4【正确答案】C【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.【详解】由题意可知：均为正实数，设，则，，则，当且仅当，即时，等号成立，又因为，当且仅当，即时，等号成立，可得，即，所以的最小值为2.故选：C.关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得.二、多选题（18分）9.下列说法正确的是（）．A.的一个必要条件是B.若集合中只有一个元素，则C.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件D.已知集合，则满足条件的集合N的个数为4【正确答案】CD【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解.【详解】对于A，当时满足，但不成立，所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误；对于B，当时，方程的解为，此时集合中只有一个元素，满足题意，当时，为一元二次方程，则由集合中只有一个元素得，故，所以符合题意的有两个，或，故B错误；对于C，一元二次方程有一正一负根，则，所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；对于D，因为，所以，又，故集合N的个数为个，故D正确.故选：CD.10.下列说法正确的是（）A.若，则B.命题“，”的否定是“，或”C.若，则函数的最小值为2D.当时，不等式恒成立，则的取值范围是【正确答案】BD【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判断D.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确；对于C，则，当且仅当，此时无解，故取不到等号，所以，故C错误；对于D，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，故D正确.故选：BD.11.定义全集的子集的特征函数,这里表示在全集中的补集,那么对于集合、,下列所有正确说法是（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】利用特征函数的定义知,由,对与、关系分类讨论,可得A正确;利用特征函数的定义可判断B的正误;取特殊值情况,利用定义可判断C的正误;利用集合运算与函数运算进行分类讨论可判断D的正误,综合可得出结论.【详解】对于A:,分类讨论:①当,则,此时;②当,且,即,此时;③当,且,即时,,,此时.综上有,故A正确;对于B:,故B正确;对于C:假设,任取,则,则,,则,故C不正确;对于D:(1)若,则,有三种情况:①当时,;②当时,;③当且时,,以上均满足.(2)若时,有以下4中情况,①当且时,,;②当且时,,;③当时,;④当时,,以上均满足.综上所述,,故D正确.故选:ABD三、填空题（15分）12.已知集合，，，若，，则__________．【正确答案】4【分析】求出集合，根据集合关系可得，求出的值，然后验证可得.【详解】，，因为，，所以，，由得，即，解得或，当时，解得，此时，不满足题意；当时，解得，满足题意.所以.故413.设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________.【正确答案】或【分析】由题意可得，所以，分类讨论当和时情况，即可得出结果.【详解】由题意，得，所以.由于中有9，因此A中有3，此时集合有共同元素1，若，则，于是；此时且，无正整数解；若，集合有共同元素1和9，则，所以，且，而，所以，当时，；当时，；因此满足条件的共有2个，分别为.故答案为:或14.对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为__________，的“大和数”为__________．【正确答案】①.②.【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合的个子集，分为与，其中，，且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，即可求解.【详解】根据题意，的“小和数”为，集合共有11个元素，则一共有个子集，对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，，且无重复，则与“小和数”之和为的“小和数”，这样的子集对共有个，其中当时，，则子集对有，则的“大和数”为.故；四、解答题（77分）15.已知集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.【正确答案】（1）；（2）或．【分析】(1)根据可知，列出不等式组即可求解．(2)分和两种情况讨论即可．【小问1详解】∵，∴，∴，∴的范围是．【小问2详解】(i)若，则，即，此时满足；(ii)若，则，若，则或，解得或，∴或；综上，或．16.已知非空集合，，全集．（1）当时，求；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用，利用交集运算，求出，即可求出结果.（2）根据条件得出是的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果.【小问1详解】方法一：当时，，所以或．因为，所以或，所以或．方法二：当时，，故，所以或．【小问2详解】因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集，当时，或解得或，综上，实数a的取值范围是．17.已知p:关于x的方程有实数根，．（1）若命题是假命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由命题是假命题，可得命题是真命题，则由，求出的取值范围；（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可.【小问1详解】因为命题是假命题，则命题是真命题，即关于的方程有实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知，命题是真命题，即，因为命题是命题的必要不充分条件，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.18.对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点；（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.（3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.【正确答案】（1）和3（2）8（3）【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可；（2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可；（3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解.【小问1详解】由题意知，即，则，解得，，所以不动点为和3.【小问2详解】依题意，有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.【小问3详解】由题知：，所以，由于函数恒有不动点，所以，即，又因为是任意实数，所以，即，解得，所以的取值范围是.关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解.19.给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.（1）判断、哪个是规范数集，并说明理由；（2）任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；（3）当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.注：、分别表示数集中的最小数与最大数.【正确答案】（1）集合A不是规范数集；集合B是规范数集；（2）证明见详解；（3）.【分析】（1）根据元规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可；（2）利用元规范数集的定义，得到，从而分类讨论、与三种情况，结合去绝对值的方法即可证明；（3）法一：当时，证得，从而得到；当时，证得，从而得到；当时，分类讨论与