2024-2025学年天津市武清区高三上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年天津市武清区高三上学期第一次月考数学检测试卷第Ⅰ卷一、选择题（本题共9道小题，每小题5分，共45分）1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由补集的运算即可求解.【详解】解：，，故选：B．2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可.【详解】因为在单调递增，且,所以，即因为，所以,即,所以存两种情况：且，且，因此推不出,同样推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用函数的定义域排除A，结合时的函数值恒大于0排除CD，则可得答案.【详解】由得．排除A；当时，，所以．排除CD．又，当时，，故，故B中图象符合题意，故选：B4.已知，则（）A.25 B.5 C. D.【正确答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为，，即，所以．故选：C.5.若1为函数的极大值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据题意，求得，结合是函数的一个极大值点，得出不等式，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得或，因为是函数的一个极大值点，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.6.已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先判断出函数单调性，再比较这3个数的大小，然后利用单调即可.【详解】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以.故选：C．7.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（）升粟.A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用等比数列列式计算即得.【详解】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列，设马主人应偿还升粟，则，解得，所以马主人应偿还升粟.故选：C8.已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】先根据导函数求出函数fx单调递减，结合函数是偶函数得出，最后应用结合函数的单调性求解即可.【详解】因为，所以,令,因为，所以单调递减，单调递减，因为，所以fx为偶函数，因为，所以，当时，单调递增，单调递增，所以.故选：B.9.已知函数在区间上单调，且满足．给出下列结论，其中正确结论的个数是（）①；②若，则函数的最小正周期为；③关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解；④若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为．A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】①利用函数关于点对称，即可得出答案.②利用函数关于轴对称，再结合①即可得出答案.③利用函数在区间上单调，即可求出周期的取值范围，当取最小值时，实数解最多，求出其实数解即可判断.④利用函数在区间上恰有个零点结合①可得出，再结合在区间上单调时，即可得出的取值范围.【详解】①因为且，所以.①正确.②因为所以的对称轴为,.②正确.③在一个周期内只有一个实数解，函数在区间上单调且，.当时，，在区间上实数解最多为共3个.③正确.④函数在区间上恰有个零点，，解得；又因为函数在区间上单调且，，即，所以.④错误故选：C第Ⅱ卷二、填空题（本题共6道小题，每题5分，共30分）10.已知是复数，若，则______.【正确答案】【分析】利用复数除法运算规则化简即可.【详解】，则.故答案为.11.已知平面向量，若，则______．【正确答案】【分析】根据向量坐标运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】，因为，所以，即，解得.故答案为.12.已知为锐角，且，则________．【正确答案】【分析】根据和差角公式以及辅助角公式可得，即可利用二倍角余弦公式求解，进而根据同角关系即可求解.【详解】由可得，故，由于为锐角，故，则，结合，故，因此，故答案为；13.已知且，则的最小值为___________.【正确答案】【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．【详解】解：令，，因为，所以，则，，所以,所以，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为.14.在中，是边的中点，是线段的中点.设，试用表示为___________；若的面积为，则当___________时，取得最小值.【正确答案】①.②.2【分析】根据向量加减法的线性运算即可求解，由的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值时、的值，再利用余弦定理求出的值．【详解】是边的中点，是线段的中点，则，所以如图所示，中，，所以的面积为，所以；所以；当且仅当时取等号，所以的最小值为6；所以此时，，，所以，所以．故；2．15.设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________．【正确答案】或【分析】对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况的的函数图象，函数恰有4个零点，说明的图象与的图象有四个交点，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围.【详解】因为函数恰有4个零点，所以y=fx的图象与的图象有四个交点，当时，如图所示，y=fx的图象与的图象仅有两个交点，与题意不符；当时，如图所示，在上，当与相切时，联立，得，则，得（舍去），由图可知，当时，与y=fx在有一个交点，在0,+∞有两个交点，与题意不符，所以当时，与y=fx在无交点，在0,+∞有两个交点，与题意不符，当时，与y=fx在无交点，在0,+∞有三个交点，与题意不符，当时，与y=fx在无交点，在0,+∞有四个交点，符合题意；当时，如图所示，在上，当与相切时，联立，得，则，得（舍去），由图可知，当时，与y=fx在有两个交点，在0,+∞有四个交点，与题意不符，当时，与y=fx在有两个交点，在0,+∞有三个交点，与题意不符，当时，与y=fx在有两个交点，在0,+∞有两个交点，符合题意，当时，与y=fx在有一个交点，在0,+∞有两个交点，与题意不符.综上所述，或.故或.关键点点睛：本题考查函数与方程的应用，关键在于数形结合与分类讨论的思想，需要通过讨论取值范围的不同，结合范围的限制，判断交点个数，然后推出的范围即可.三、解答题（本题共5道大题，共75分）16.已知数．（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）求在的最大值和最小值．【正确答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，，（2）的最小值，最大值.【分析】（1）由三角函数恒等变换化简，由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程，（2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值．【小问1详解】，所以函数的最小正周期为．令，，解得，，所以函数图象的对称轴方程为，，【小问2详解】当时，，则，进而可得，当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）设，．（ⅰ）求a的值；（ⅱ）求的值．【正确答案】（1）（2）(i)；(ii)【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理列出方程即可求解B；（2）(i)由余弦定理结合上问求边长即可.(ii)利用余弦定理结合同角平方关系可求的正弦和余弦值，然后结合二倍角公式及两角和的正弦公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理，可化为小问2详解】（i）由余弦定理得，由得解得（ii）由余弦定理得，，18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于任意的，有，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）当时，在和上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在和上递减，在上递增.（3）【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可；（2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间；（3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围.【小问1详解】由，知.所以当时，有，.故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.【小问2详解】当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；当时，对有，故在上递增；当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.综上，当时，在和上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在和上递减，在上递增.【小问3详解】我们有当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.故对任意的，都有，满足条件；当时，由于，故.所以原结论对不成立，不满足条件.综上，的取值范围是.关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果.19.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且．（1）求，的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【正确答案】（1），，（2）【分析】（1）先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于公差与公比的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列与等比数列的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再求数列的前项和时分奇数项与偶数项分别计算，奇数项求和运用错位相减法进行求和，偶数项求和时运用裂项相消法进行求和，最后综合即可得到前项和的结果．【小问1详解】由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，化简，得，整理，解得（舍去），或，则，，，．【小问2详解】由（1）可得，，，令，则，，两式相减，可得，，令，则，．20.已知函数，．（1）若，讨论在上单调性．（2）设为方程的实数根，其中，．（ⅰ）证明：，有；（ⅱ）若，，证明：．【正确答案】（1）答案见解析（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）先求出的导函数f'x，然后对参数分类讨论确定在上的单调性即可.（2）（ⅰ）利用不等式的性质和构造函数法证明不等式成立，再利用不等式放缩法和裂项相消法即可证明出结论；（ⅱ）先根据已知条件得到关于的等式，再利用换元法将所证不等式进行等价转换，最后利用不等式放缩法即可证明结论.【小问1详解】因为，所以．因为，所以，所以．①若，当时，f'x>0，所以在上单调递增；②若，当时，f'x<0，当时，f'x>0，所以在上单调递减，在上单调递增；③若，当时，f'x<0，所以在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）因为，所以，所以．令，则，所以在0,+∞上单调递增，所以x∈0,+∞时，，即，所以．所以，，，所以，即．（ⅱ）由，得，当时，由得