2024年内蒙古高考数学(文)试题及答案

2024年内蒙古高考数学（文）试题及答案

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，

再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.集合人={1，2,3,4,5,9},，={*+16/，则AB=（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合8的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合8中的元素x,满足x+l=l,2,3,4,5,9,

则》可能的取值为0,1,2,3,4,8,即3={0,1,2,3,4,8）,

于是Ac5={l,2,3,4}.

故选：A

2.设z=J5i，则z-5=（）

A.-iB.1C,-1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据共辗复数的定义写出I，然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得，%=—&,故zW=_2i2=2.

故选：D

4元一3y-3>0

3.若实数MV满足约束条件（%—2y—2«。,则z=x—5y的最小值为（）

2%+6y-9<0

7

A.5B.-C.—2D.--

22

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【详解】实数乂丁满足<x—2y—2W0,作出可行域如图:

2x+6y-9<0

由z=x-5y可得、=1无—二2,

即z的几何意义为y——x——z的截距的一^,

则该直线截距取最大值时，Z有最小值，

此时直线y=—gz过点A，

3

4x-3y-3=0X=——

联立，解得《2,即A

[2x+6y—9=。

y=114

37

八则J-zmi.n=——25x1=——2.

故选：D

4.等差数列｛q｝的前〃项和为S〃，若89=1,%+%=（）

72

A.-2B.-C.1D.

39

【答案】D

【解析】

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成内和d来处理，亦可用等差数列的性质进行

处理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

由邑=1,根据等差数列的求和公式，S9=9%+；—4=109/+364=1,

22

又％+%=弓+2d+t/j+6d=2%+8d——(9a1+36d)=~.

故选：D

方法二：利用等差数列性质

根据等差数列的性质，+a9=a3+a7,由S,=1,根据等差数列的求和公式,

9（4+的）=9（%+即=1,故。2.

92239

故选：D

方法三：特殊值法

不妨取等差数列公差d=0,则S9=1=9。］=>q=",则生+/=2〃i=

故选：D

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A.-B.—C.-D.一

4323

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】当甲排排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；

基本事件总数显然是A：=24,

Q1

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为一

243

故选：B

6.已知双曲线的两个焦点分别为（。,4）,（0,-4）,点（—6,4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.V2

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2c,结合双曲线定义计算可得2a,即可得离心率.

【详解】设片（0,-4）、与（0,4）、P（-6,4）,

则闪耳|=2c=8,阀|=甘+（4+4『=10，|*=符+（4-4『=6,

则2a=|尸周一卢鸟|=10—6=4,则e=|£=|=2.

故选：C.

7.曲线/（x）=f+3x—1在（0,-1）处的切线与坐标轴围成的面积为（）

A.-B.6C.1D.一走

6222

【答案】A

【解析】

【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.

【详解】/'（力=6/+3,所以/'（0）=3,故切线方程为y=3（x—0）—l=3x—1,

故切线的横截距为工，纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为」xlx1

3236

故选：A.

8.函数/（无）=—尤2+3-6-，卜山在区间［-2.8,2.8］的大致图像为（）

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/（1）＞0,可排除D.

【详角军】f（-%）=—x+（e-e'）sin（—%）=-x2+（e*—e〉'）sinx=/（尤），

又函数定义域为［-2.8,2.8］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

sinl>-1+fe--.兀e1111c

又/⑴=_1+sin———1----->-------->0,

622e4'2-e

故可排除D.

故选：B.

71

9.已知.=瓜则tanad—)

coscr-sintz4

A.273+1B.273-1C.D.1-73

2

【答案】B

【解析】

cosa

【分析】先将------------弦化切求得tana，再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

cosa

【详解】因为=A/3，

cosa-sina

所以--------=6,ntana=1------，

1-tana3

....,（兀、tana+1_rr«

所以tan|a+—=----------=2j3-1,

V471-tana

故选：B.

原10题略

10.设。、〃是两个平面，相、"是两条直线，且。，=根.下列四个命题：

①若加〃"，则〃//a或"//万②若根_1_“，则

③若〃//a,且“//，，则相〃"④若〃与&和夕所成的角相等，则m_1_"

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当〃ua,因为小〃"，mu/3,则“//，，

当〃<=/,因为机〃“，mua,则〃//&,

当“既不在a也不在夕内，因为miln,mua,mu/3,则〃//a且〃///?,故①正确;

对②，若加，〃，则“与名尸不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与d尸分别相交于直线s和直线t,

因为〃//a,过直线〃的平面与平面1的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知〃//s,

同理可得〃/〃，贝心/〃，因为sa平面夕，/u平面/，贝。s//平面/，

因为su平面a,a/3=m,贝！又因为〃//s,则故③正确；

对④，若。与a和夕所成的角相等，如果“//%"//，，贝!b〃〃〃，故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

冗，9

11.在JRC中内角A,B,C所对边分别为a,4c,若3=—,b2=-ac,则sinA+sinC=()

34

A.-B.72C.—D.立

2、22

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=—,再利用余弦定理有/+02=一改，再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2c的值，最后代入计算即可.

jr041

【详解】因为6=—,/=—a。，则由正弦定理得sinAsinC=—sin?8=—.

3493

9

由余弦定理可得：b2=a2+c2—ac=—ac,

4

cc131313

即：a2+c2=一ac,根据正弦定理得sin?A+sin2C二一sinAsinC=一,

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=一

4

因为AC为三角形内角，则sinA+sinC>0,则sinA+sinC=^

2

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

原13题略

12.函数〃x）=sinx-世COSX在[0,可上的最大值是.

【答案】2

【解析】

【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

712兀

【详解】/（x）=sin当xe[0,可时，x-je

J5T

当尤—巴=4时，即x=2时，/（%）=2.

326v/raax

故答案为：2

115

13已知-----------7=-7，则。=

log8alog”42

【答案】64

【解析】

【分析】将log8a,log”4利用换底公式转化成log2a来表示即可求解.

1131,5,、，

【详解】由题「一百二七一51幅"一3’整理得（1唱布一5蜒2a—6=°'

nlog2a=-1或log2a=6,又a>1,

所以log2a=6=log226,故a=2‘=64

故答案为：64.

14.曲线y=%3-3x与y=-（九-ij+a在（0,+。）上有两个不同的交点，则。的取值范围为

【答案】（-2,1）

【解析】

【分析】将函数转化为方程，4X3-3X=-(X-1)2+«,分离参数。，构造新函数g(x)=V+x2—5x+i,

结合导数求得g(%)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

【详解】令犬―3x=—(%—丁+a,即4=%3+%2一5%+1，令8⑴=三+*—5%+1(%>0),

则gf(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-l),令g'(x)=0(x>0)得x=l,

当xe(O,l)时,g<x)<0,g(x)单调递减，

当xe(,+。)时,g'(x)>0,g(x)单调递增，g(O)=l,g⑴=一2,

因为曲线y=炉-3x与y=-(％-1)?+a在(0,+8)上有两个不同的交点，

所以等价于丁=。与g(x)有两个交点，所以ae(—2,1).

故答案为：(-2,1)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个考题

考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

15.已知等比数列｛4｝的前几项和为S“，月.2S〃=34+I—3.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛S“｝的通项公式.

【解析】

【分析】(1)利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项;

(2)利用等比数列的求和公式可求S“.

【小问1详解】

因为2S”=3。“n-3,故2s=3%,-3,

所以2a“=3q+1—3。"(〃22)即5/=3a“+i故等比数列的公比为q=；,

【小问2详解】

U1一阡.

由等比数列求和公式得g=L=3(5]_3.

”]_工5⑶2

-3

16.如图，在以4B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形力a®与四边形/颂均为等腰梯形,

BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=A,FB=26M为A£)的中点.

(1)证明：3M〃平面CDE；

(2)求点M到AB尸的距离.

【答案】(1)证明见详解；

⑶3屈

13

【解析】

【分析】(1)结合已知易证四边形3CDM为平行四边形，可证5Af〃CD,进而得证;

(2)作EOLA。，连接。3,易证03,8,0尸三垂直，结合等体积法%TBF=VFTBM即可求解・

【小问1详解】

因为BC//AD,3C=2,AD=4,〃为A。的中点，所以BC//MD,BC=MD,

四边形BCD暇为平行四边形，所以5M〃CD,

又因为a0z平面CDE,CDu平面CDE,所以〃平面COE；

【小问2详解】

如图所示，作3OLA。交AD于。，连接因为四边形ABCD为等腰梯形，

BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,

结合(1)为平行四边形，可得R0=CD=2,

又40=2,所以为等边三角形，。为40中点，所以。3=百，

又因为四边形ADE尸为等腰梯形，M为AO中点，所以EF=MD,EF〃MD,

四边形£7版)为平行四边形，FM=ED=AF，所以八47^为等腰三角形，

与底边上中点。重合，OFLAM,OF=7AF2-AO~=3)

因为032+0/2=3/2,所以OB/，所以05,00,0尸互相垂直，

VFO==

由等体积法可得VM-ABF=F-ABM'VF.ABM=1-',

cosN用八.“笈一用、(怖用八f，

2FAAB2-V10-22M2®)

SAFAB=^FA-ABsinZFAB=g--2'，

设点/到E4B的距离为d，则%年产力一.三以皿公:与小日，

解得d=±竺，即点/到AX尸的距离为主叵.

17.已知函数/(x)=a(x-l)-lnx+l.

(1)求了(%)的单调区间；

(2)若a<2时，证明：当x〉l时，/(x)<e*T恒成立.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；

(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当天〉1时，e*T—2x+l+lnx>0即可.

【小问1详解】

/(X)定义域为(0,+00),f\x)^a--^aX1

xx

ny—1

当时，f(x)=-----<0,故/⑺在(0,+8)上单调递减；

x

当a>0时，xe时，f\x)>0,/⑴单调递增，

当时，/'(x)<0,〃支)单调递减.

综上所述，当aWO时，/a)在(0,+8)上单调递减；

a>0时，/(x)在上单调递增，在0,上单调递减.

【小问2详解】

a<2,且％>1时，e"T—/(%)=e"T—a(x-1)+Inx-1>e^-1-2x+1+Inx,

令g(_x)=e%T—2_x+l+ln_xCx>l),下证g(%)>0即可.

g'(x)=e*T—2+工，再令A(x)=g'(x),贝|J/«x)=e-—士，

Xx~

显然A(无)在a,+8)上递增,则h\x)>〃⑴=e°—1=0,

即g'(x)=h(x)在(1,+oo)上递增，

故g'(x)>g，(l)=e°-2+1=0,即g(x)在(1,+8)上单调递增，

故g(x)>g⑴=e°-2+l+lnl=0,问题得证

22(3、

18.设椭圆。：—+3=1(。〉6〉0)的右焦点为尸，点叩向在。上，且Mhx轴.

(1)求C的方程；

(2)过点P(4,0)的直线与C交于A,3两点，N为线段EP的中点，直线NB交直线又少于点Q,证明:

轴.

22

【答案】(1)上+2L=i

43

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)设歹(c,0),根据M的坐标及MF轴可求基本量，故可求椭圆方程.

(2)设A3:y=k(x—4),4(%,%),*%，%)，联立直线方程和椭圆方程，用A3的坐标表示%一%，

结合韦达定理化简前者可得X-%=0,故可证AQry轴.

【小问1详解】

设网G。)，由题设有c=l且匕=3,故"二=』，故a=2,故b=£，

a2a2

22

故椭圆方程—+^=1.

43

【小问2详解】

直线AB的斜率必定存在，设AB：y=左(％-4),4(%,yj,B(x2,y2),

尤2—32左2%+64左2—12=0,

故△=1024/-4(3+4左2)(64/-12)>0,故—<k<一，

22

„32k264左2一12

乂M1+%2=-------------=------------------------------l

3+4左2123+4左2

3

5

而N|g,O),故直线BN;y=X-3%

2)，故%

x——2%2—5

2235

所以M-…—生

2%2_52%2—5

左（再4）x（2%2—5）+3上（％2—4）

2%—5

64人之一1232k2

2XX2x2-5X+8

_kI2-5（Xt+x2）+8_3+4^3+4^

2%2—52x2—5

128左2—24—16012+24+32W

=k-------------3+4R-----------=0,

2%2—5

故％=坨，即AQ_Ly轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（菁,%）,（X2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于无（或y）的一元二次方程，注意△的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为西+々、X/2（或%+上、为%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错

涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

19.在平面直角坐标系中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐

标方程为P=pcos。+1.

（1）写出C的直角坐标方程；

（2）设直线/：\~（♦为参数），若。与/相交于A3两点，若［4耳二2,求〃的值.

11

y=t+a

【答案】（1）y2=2x+l

3

（2）ci=—

4

【解析】

【分析】（1）根据=可得。的直角方程.

pcosB=x

（2）将直线的新的参数方程代入。的直角方程,

法1：结合参数s的几何意义可得关于。的方程，从而可求参数。的值；

法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求。的值.

【小问1详解】

由夕=0cos。+1,将<P_J—+y代入P=pcosO+l,

[夕cos，=x

故可得+=无+],两边平方后可得曲线的直角坐标