2025年统编版高二数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年统编版高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、下列说法正确的是（）A.空间三个点确定一个平面B.两个平面一定将空间分成四部分C.梯形一定是平面图形D.两个平面有不在同一条直线上的三个交点2、【题文】若则=()A.B.C.D.3、函数f（x）=sin（2x+）图象的对称轴方程可以为（）A.x=-B.x=C.x=-D.x=-4、某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是（）A.7，11，18B.6.12.18C.6.13.17D.7.14.215、若函数f(x)

在x=a

处的导数为A

则鈻�x鈫�0limf(a+4鈻�x)鈭�f(a+5鈻�x)鈻�x=(

)

A.鈭�A

B.A

C.2A

D.鈭�2A

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、设向量是空间一个基底，则中，一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量____．7、设向量若则等于___________8、【题文】已知且为第二象限角，则的值为____.9、【题文】设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是____。10、如图所示的三角形数阵角“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n

行有n

个数，且两端的数均为1n(n鈮�2)

每个数使它下一行左右相邻两个数的和，如11=12+12,12=13+16,13=14+112

则第7

行第5

个数(

从左到右)

为______．11、已知椭圆Cx225+y216=1

点M

与C

的焦点不重合，若M

关于C

的焦点的对称点分别为AB

线段MN

的中点在C

上，则|AN|+|BN|=

______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共5分)19、已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn=4an-4n+1-4（n∈N*），令．

（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若f（n）=an-2（n∈N*），用数学归纳法证明f（n）是18的倍数．评卷人得分五、计算题(共4题，共16分)20、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.21、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。22、解不等式组．23、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．评卷人得分六、综合题(共4题，共32分)24、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．26、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为27、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【解析】试题分析：选项A中，只有不共线的三点可以确定一个平面。选项B中，当两个平面平行的时候，将空间分为3部分。选项C中，只有一组对边平行的四边形，符合公理2，能确定一个平面，故成立。选项D中，两个平面相交，或者平行不会有不在同一直线三个交点，除非重合，因此错误。故选C.考点：本试题考查了确定平面的方法。【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】解：因为若根据二倍角的余弦公式可知=选C【解析】【答案】C3、C【分析】解：函数f（x）=sin（2x+）；

令2x+=+kπ；k∈Z；

解得x=+k∈Z；

∴函数f（x）图象的对称轴方程为x=+k∈Z；

当k=0时，x=无对应选项；

当k=-1时，x=-

∴函数f（x）图象的对称轴方程可以为x=-．

故选：C．

根据正弦函数的图象与性质，令2x+=+kπ（k∈Z）；即可求出函数f（x）图象的对称轴方程．

本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．【解析】【答案】C4、D【分析】解：由题意；老年人；中年人、青年人比例为1：2：3．

由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为×42=7人；

中年人应抽取的人数为×42=14人；

青年人应抽取的人数为×42=21人．

故选：D．

由题意；要计算各层中所抽取的人数，根据分层抽样的规则，求出各层应抽取的人数即可选出正确选项．

本题考查分层抽样；解题的关键是理解分层抽样，根据其总体中各层人数所占的比例与样本中各层人数所占比例一致建立方程求出各层应抽取的人数，本题是基本概念考查题．

【解析】【答案】D5、A【分析】解：鈻�x鈫�0limf(a+4鈻�x)鈭�f(a+5鈻�x)鈻�x=鈻�x鈫�0limf(a+4鈻�x)鈭�f(a)+f(a)鈭�f(a+5鈻�x)鈻�x

=鈻�x鈫�0limf(a+4鈻�x)鈭�f(a)鈻�x+鈻�x鈫�0limf(a)鈭�f(a+5鈻�x)鈻�x

=4鈻�x鈫�0limf(a+4鈻�x)鈭�f(a)4鈻�x鈭�5鈻�x鈫�0limf(a+5鈻�x)鈭�f(a)5鈻�x

=4f隆盲(a)鈭�5f隆盲(a)

=鈭�A

鈻�x鈫�0limf(a+4鈻�x)鈭�f(a+5鈻�x)鈻�x=鈭�A

故选A．

化简鈻�x鈫�0limf(a+4鈻�x)鈭�f(a)鈻�x+鈻�x鈫�0limf(a)鈭�f(a+5鈻�x)鈻�x

根据导数的定义，即可求得答案．

本题考查极限及运算，考查导数的定义，考查计算能力，属于中档题．【解析】A

二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】

由已知及向量共面定理，结合

易得与是共面向量，同理与是共面向量。

故与不能与构成空间的一个基底。

而与和不共面；

故可与构成空间的一个基底；

故答案为：．

【解析】【答案】空间向量的一组基底；任意两个不共线，并且不为零向量，并且三个向量不共面，判断即可．

7、略

【分析】试题分析：∵∴∴∴＝＝＝．考点：1、同角三角函数基本关系；2、两角和与差的正切函数；3、平面向量数量积的运算．【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

试题分析：因为且为第二象限角，所以

所以

考点：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式.

点评：利用同角三角函数的基本关系式中的平方关系时，要注意判断是一个解还是两个解.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】根据题意，设两个相异的实根为且则。

于是有也即有

故有即取值范围为【解析】【答案】10、略

【分析】解：根据题意；设“莱布尼兹调和三角形”中第n

行第m

个数为a(n,m)

由于“莱布尼兹调和三角形”中；每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和；

则a(5,1)=15a(6,1)=16a(7,1)=17

a(7,2)=a(6,1)鈭�a(7,1)=142a(6,2)=a(5,1)鈭�a(6,1)=130

a(7,3)=a(6,2)鈭�a(7,2)=130鈭�142=1105

根据“莱布尼兹调和三角形”的对程性，分析可得a(7,5)=a(7,3)=1105

故答案为：1105

．

根据题意；设“莱布尼兹调和三角形”中第n

行第m

个数为a(n,m)

归纳可得每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和，可得a(5,1)a(6,1)a(7,1)

的值，进而可得a(7,2)

与a(6,2)

的值，而又由a(7,3)=a(6,2)鈭�a(7,2)

计算可得a(7,3)

的值，结合“莱布尼兹调和三角形”的对程性，分析可得答案．

本题考查归纳推理，是一个数列问题，解题的关键是归纳出每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和．【解析】1105

11、略

【分析】解：如图；设线段MN

的中点为D

连结DF1DF2

则DF1DF2

分别是鈻�AMN鈻�BMN

的中位线；

则|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|

=2(|DF1|+|DF2|)=2隆脕2a=4隆脕5=20

．

故答案为：20

由题意作出图象；设线段MN

的中点为D

连结DF1DF2

用椭圆的定义解答即可．

本题考查了椭圆的定义及点的对称的应用，属于中档题．【解析】20

三、作图题(共7题，共14分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共5分)19、略

【分析】

（Ⅰ）由3Sn=4an-4n+1-4（n∈N*），得出当n≥2时，两式相减，整理得出易证明数列{bn}是等差数列．

（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4n-2；按照数学归纳法的步骤进行证明即可．

本题考查等差数列的判定、通项公式求解，考查变形构造、转化计算能力．还考查数学归纳法．【解析】解：（Ⅰ）当n=1时，∴a1=20

当n≥2时，

∴

即

bn-bn-1=-=3

所以数列{bn}是以3为公差的等差数列，首项b1=

数列{bn}的通项公式为bn=5+（n-1）×3=3n+2．

得出an=（3n+2）•4n

（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4n-2

①当n=1时；f（1）=18，显然能被18整除；

②假设当n=k（k≥1）时，f（k）=（3k+2）•4k-2能被18整除；

则当n=k+1时，f（k+1）=（3k+3+2）•4k+1-2=4×（3k+2）•4k-2+3×4k+1

=（3k+2）•4k-2+12×4k+3×（3k+2）•4k

=（3k+2）•4k-2+（9k+18）•4k

=f（k）+9（k+2）•4k

∵k≥1，∴9（k+2）•4k能被18整除．

又f（k）能被18整除；∴f（k+1）能被18整除．

即当n=k+1时结论成立．

由①②知，当n∈N*时，f（n）是18的倍数．五、计算题(共4题，共16分)20、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）21、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/322、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．23、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可六、综合题(共4题，共32分)24、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由