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第1页/共1页2025年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷本试卷共9页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,则()A B.C. D.2.在的展开式中,的系数为()A. B. C. D.3.若复数满足,则()A. B. C. D.4.抛物线的焦点为,点在上,则()A. B. C. D.5.已知直线与圆交于两点,则()A. B. C. D.6.已知等差数列的前项和为,,则()A. B. C. D.7.已知椭圆的焦点在轴上,点,则()A.在外 B.的长轴长为C.在内 D.的焦距为8.设函数,则“”是“没有极值点”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.如图,正方体的棱长为2,分别为棱的中点,为正方形边上的动点(不与重合),则下列说法中错误的是()A.平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形B.存在点,使得直线与平面垂直C.平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等D.点到平面的距离不超过10.2023年,甲、乙两公司的盈利规律如下:从2月份开始,甲公司每个月盈利比前一个月多200万元;乙公司每个月盈利比前一个月增加.记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为,(单位:万元).已知,,则最大时,的值为()(参考数据:,)A. B. C. D.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.双曲线的渐近线方程为__________.12.已知向量,,则_________,的最小值为_________.13.已知为等腰三角形,且,则_________.14.已知函数存在最小值,则的取值范围是_________.15.已知曲线.给出下列四个结论:①曲线关于直线对称;②曲线上恰好有个整点(即横、纵坐标均是整数的点);③曲线上存在一点,使得到点的距离小于;④曲线所围成区域的面积大于.其中,所有正确结论序号为_________.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数.(1)求曲线的两条对称轴之间距离的最小值;(2)若在区间上的最大值为,求的值.17.如图,在四棱锥中,底面为矩形,,,,是的中点,在棱上,且平面.(1)求证:是的中点;(2)再从条件①,条件②中选择一个作为已知,求平面与平面夹角的余弦值.条件①:平面平面;条件②:.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.18.某校为评价学生参加选修课的学习效果,组织了选修课学习的过程性评价测试.选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下:原始成绩8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25排名122446789101112(1)从这12名学生中随机抽取2人,求这2人原始成绩不同的概率;(2)对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分,记选修该课程的总人数为,规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下:当时,赋分成绩为100分;当,赋分成绩为85分;当时,赋分成绩为70分;当时,赋分成绩为60分.①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人,记为这人赋分成绩之和,求的分布列和数学期望;②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下:原始成绩9.7588757.565.755.75排名12244677原始成绩54.754.54.542543.753.5排名910111113141516对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分.现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人,记这2人的赋分成绩分别为,直接写出数学期望和的大小关系.19.已知椭圆的左顶点为,离心率.(1)求的标准方程;(2)设点为上异于顶点的一点,点关于轴的对称点为,过作的平行线,与的另一个交点为.当与不重合时,求证:.20.已知函数.(1)当时,求的定义域;(2)若在区间上单调递减,求取值范围;(3)当时,证明:若,,
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