2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.2-6.3.3学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE1-6．3.2平面对量的正交分解及坐标表示6．3.3平面对量加、减运算的坐标表示[目标]1.能用坐标表示向量，知道平面对量基本定理中向量与有序实数对的一一对应关系；2.会两个向量的和差的坐标运算．[重点]平面对量的正交分解及坐标表示．[难点]平面对量的坐标运算．要点整合夯基础学问点一向量的正交分解及坐标表示[填一填]1．向量的正交分解把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．向量的坐标表示在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的随意一个向量a，由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．3．向量与坐标的关系设eq\o(OA,\s\up15(→))＝xi＋yj，则向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面对量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．[答一答]1．特殊地，i，j，0的坐标分别是什么？提示：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．学问点二平面对量加、减运算的坐标表示[填一填]已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．(2)若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up15(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．[答一答]2．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y).典例讲练破题型类型一平面对量的坐标表示[例1]在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐标分别为_____，________，________.[解析]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．a1＝|a|cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，a2＝|a|sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，b1＝|b|cos120°＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，b2＝|b|sin120°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，c1＝|c|cos(－30°)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，c2＝|c|sin(－30°)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2.∴a＝(eq\r(2)，eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq\r(3)，－2)．[答案](eq\r(2)，eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))(2eq\r(3)，－2)始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标确定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角.[变式训练1]在平面直角坐标系中，|a|＝4，且a如图所示，则a的坐标为(D)A．(2eq\r(3)，2)B．(2，－2eq\r(3))C．(－2,2eq\r(3))D．(2eq\r(3)，－2)解析：x＝|a|·cos(－30°)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，y＝|a|·sin(－30°)＝4×(－eq\f(1,2))＝－2.类型二平面对量加、减运算的坐标运算[例2]已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))的坐标为________．[解析]依据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1,0)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(0,1)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1,1)，所以eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．[答案](2,0)1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要留意三角形法则及平行四边形法则的应用.2若是给出向量的坐标，解题过程中要留意方程思想的运用及正确运用运算法则.[变式训练2]已知▱ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为(x，y)，在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))，又eq\o(AD,\s\up15(→))＝(x＋2，y－1)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(4,1)，∴(x＋2，y－1)＝(4,1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝4，,y－1＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))∴顶点D的坐标为(2,2).课堂达标练经典1．已知eq\o(MN,\s\up15(→))＝(2,3)，则点N位于(D)A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．不确定解析：因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．2．已知向量a，b满意a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(C)A．(4,0)，(－2,6)B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3)D．(－1,3)，(2,0)解析：2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b3．向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是(D)A．x>0 B．x<1C．x<0或x>1 D．0<x<1解析：由A点在第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0,x－1<0))，解得0<x<1.4．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与eq\o(AB,\s\up15(→))相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝1.解析：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，))解得x＝1.5．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°.(1)求向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐标．(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up15(→))的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，eq\o(OA,\s\up15(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up15(→))＝(2eq