2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件习题课学案含解析新人教A版选修1-1

PAGE7-1.2充分条件与必要条件习题课自主预习·探新知情景引入某居民的卧房里安有一盏灯，在卧房门口和床头各有一个开关，随意一个开关都能够独立限制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”开关．A开关闭合时B灯肯定亮吗？B灯亮时A开关肯定闭合吗？新知导学1．x<13是x<5的__必要不充分__条件．2．x>2是x2－3x＋2>0的__充分不必要__条件．3．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件．若A＝B，则p是q的__充要__条件．若AB，则p是q的__充分不必要__条件．q是p的__必要不充分__条件．若AB，则p不是q的__充分__条件，q不是p的__必要__条件．4．p是q的充要条件是说，有了p成立，就__肯定有__q成立．p不成立时，__肯定有__q不成立．预习自测1．(2024·湖南湘潭市高二期末)“x>2”是“x>1”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]结合题意可知x>2可以推出x>1，但x>1并不能保证x>2，故为充分不必要条件，故选A．2．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]ln(x＋1)＜0⇔0＜x＋1＜1⇔－1＜x＜0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件．3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(C)A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[解析]若－1<x<3成立，则x<3成立；反之，若x<3成立，则－1<x<3未必成立，如x＝－2，所以p是q的必要不充分条件．4．“lgx>lgy”是“eq\r(x)>eq\r(y)”的__充分不必要__条件．[解析]由lgx>lgy⇒x>y>0⇒eq\r(x)>eq\r(y)，充分条件成立．又由eq\r(x)>eq\r(y)成立，当y＝0时，lgx>lgy不成立，必要条件不成立．5．(2024·山东昌平高二检测)已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时，(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的充要条件．[解析]A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，而当a＝1时，A＝{1}，明显成立，当a>1，A＝[1，a]，需1<a<2，综上可知1≤a<2时，p是q的充分不必要条件．(2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA，故A＝[1，a]，且a>2，所以a>2时，p是q的必要不充分条件．(3)因为p是q的充要条件，所以A＝B，故a＝2.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶利用图示法进行充分、必要条件推断典例1已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：(1)s是q的__充要__条件？(2)r是q的__充要__条件？(3)p是q的__必要__条件？[解析]依据题意得关系图，如图所示．(1)由图知：∵q⇒s，s⇒r⇒q，∴s是q的充要条件．(2)∵r⇒q，q⇒s⇒r，∴r是q的充要条件．(3)∵q⇒s⇒r⇒p，∴p是q的必要条件．『规律方法』对于多个有联系的命题(或两个命题的关系是间接的)，经常作出它们的有关关系图表，依据定义，用“⇒”“⇐”“⇔”建立它们之间的“关系链”，直观求解，称作图示法．┃┃跟踪练习1__■已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是(B)A．①④ B．①②C．②③④ D．②④[解析]由题意知，故①②正确；③④错误．命题方向❷利用集合法进行充分、必要条件的推断典例2设p、q是两个命题，p：eqlog\s\do8(\f(1,2))(|x|－3)>0，q：x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，则p是q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[思路分析]p、q都是不等式的解集，解不等式可得其解集，利用集合之间的子集关系即可推断出p是q的什么条件．[解析]由eqlog\s\do8(\f(1,2))(|x|－3)>0得，0<|x|－3<1，∴3<|x|<4，∴3<x<4或－4<x<－3，由x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，明显(3,4)∪(－4，－3)(－∞，eq\f(1,3))∪(eq\f(1,2)，＋∞)，∴p是q的充分不必要条件．故选A．『规律方法』假如条件p与结论q是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的探讨转化为集合间的包含关系探讨，可借助数轴等工具进行．┃┃跟踪练习2__■设命题甲为0<x<5，命题乙为|x－2|<3，那么甲是乙的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由|x－2|<3得－1<x<5，令A＝{x|0<x<5}，B＝{x|－1<x<5}，∴AB，∴甲是乙的充分不必要条件．命题方向❸利用充要性求参数范围典例3已知p：实数x满意x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满意x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且p是q的充分条件，求a的取值范围．[思路分析]先分别求出命题p、q中x的取值范围，再探求符合条件的a的取值范围．[解析]p：由x2－4ax＋3a2<0，其中a<0得，3a<x<a；q：由x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，得x<－4或x≥－2.∵p是q的充分条件，∴a≤－4或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥－2,a<0))，∴a≤－4或－eq\f(2,3)≤a<0.综上可知a的取值范围是a≤－4或－eq\f(2,3)≤a<0.『规律方法』利用条件的充要性求解参数问题，关键是将条件属性转化为适当的解题思路，如数集类问题，一般是将条件属性转化为集合包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解．┃┃跟踪练习3__■已知p：－1≤eq\f(x－1,3)≤3，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．[解析]由p：－1≤eq\f(x－1,3)≤3得－2≤x≤10，由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得－m≤x－1≤m，∴1－m≤x≤1＋m.∵p是q的必要不充分条件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m≤10,1－m≥－2))，∴m≤3，又∵m>0，∴0<m≤3.学科核心素养数学中的等价转化1．证明充要条件一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面．解题时要避开将充分性当作必要性来证明的错误，这就须要分清条件与结论，若“条件”⇒“结论”，即是证明充分性，若“结论”⇒“条件”，即是证明必要性．2．等价法：就是从条件起先，逐步推出结论，或者是从结论起先，逐步推出条件，但是每一步都是可逆的，即反过来也能推出，仅作说明即可，必要性(或者充分性)可以不再重复证明．典例4已知数列{an}的前n项和Sn＝aqn＋b(a≠0，q是不等于0和1的常数)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.[解析](1)先证充分性：∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn＋b＝aqn－a，当n＝1时，a1＝S1＝aq－a；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(aqn－a)－(aqn－1－a)＝a(q－1)·qn－1(n≥2)．∴a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(aq2－aq,aq－a)＝q，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(aq－1·qn,aq－1·qn－1)＝q，n≥2.故数列{an}是公比为q的等比数列．(2)再证必要性：∵数列{an}为等比数列，∴Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)qn.∵Sn＝aqn＋b，∴a＝－eq\f(a1,1－q)，b＝eq\f(a1,1－q)，∴a＋b＝0.故数列{an}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.『规律方法』有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证命题的必要性．证明分为两个环节：一是充分性；二是必要性，证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应当进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．┃┃跟踪练习4__■已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．[解析]因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，则U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m≤－1或m≥\f(3,2))).假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,x1＋x2≥0，,x1x2≥0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,4m≥0，,2m＋6≥0))解得m≥eq\f(3,2).又集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m≥\f(3,2)))关于全集U的补集是{m|m≤－1}．所以实数m的取值范围是(－∞，－1]．易混易错警示转化要保持等价性典例5已知方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m的取值范围．[错解]由于方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根，设这两个根为x1、x2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4m＋22－4m2－1≥0,x1＋x2＝2m＋2>4,x1x2＝m2－1>4))，解得m>eq\r(5).所以当m∈(eq\r(5)，＋∞)时，方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根．[错解分析]若x1>2，x2>2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2>4,x1x2>4))，成立；但若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2>4,x1x2>4))，则不肯定有x1>2，x2>2成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\v