2024-2025学年高中数学第一章数列1.1.2数列的函数特性课时作业含解析北师大版必修5

PAGEPAGE5课时作业2数列的函数特性时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(A)A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不能确定解析：因为an＋1－an＝3>0，故数列{an}是递增数列．2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(C)A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．sineq\f(π,7)，sineq\f(2π,7)，sineq\f(3π,7)，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(21)解析：A是递减数列，B是摇摆数列，D是有穷数列，故选C.3．数列eq\f(\r(5),3)，eq\f(\r(10),8)，eq\f(\r(17),a＋b)，eq\f(\r(a－b),24)，…中，有序数对(a，b)可以是(D)A．(21，－5) B．(16，－1)C．(－eq\f(41,2)，eq\f(11,2)) D．(eq\f(41,2)，－eq\f(11,2))解析：通项公式为eq\f(\r(n＋12＋1),nn＋2)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝15，,a－b＝26.))∴a＝eq\f(41,2)，b＝－eq\f(11,2).4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(B)A．107 B．108C．108eq\f(1,8) D．109解析：an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n2－eq\f(29,2)n)＋3＝－2(n－eq\f(29,4))2＋3＋eq\f(292,8).当n＝7时，an最大且a7＝108.5．已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(D)A．k>0 B．k>－1C．k>－2 D．k>－3解析：∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.又an＝n2＋kn＋2，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.∴k>－2n－1.又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，∴k>－3.6．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于(C)A.eq\f(25,9) B.eq\f(25,16)C.eq\f(61,16) D.eq\f(31,15)解析：∵a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝eq\f(9,4).同理a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(9,4)＋eq\f(25,16)＝eq\f(61,16).7．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(4,11－2n)，则满意an＋1<an的n的取值为(C)A．3B．4C．5D．6解析：由an＋1<an，得an＋1－an＝eq\f(4,9－2n)－eq\f(4,11－2n)＝eq\f(8,9－2n11－2n)<0，解得eq\f(9,2)<n<eq\f(11,2)，又n∈N＋，所以n＝5.8．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1－1))，则关于an的最大项、最小项叙述正确的是(A)A．最大项为a1，最小项为a3B．最大项为a1，最小项不存在C．最大项不存在，最小项为a3D．最大项为a1，最小项为a4解析：令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1，则它在N＋上递减且0<t≤1，而an＝t2－t，在0<t≤eq\f(1,2)时递减，在t>eq\f(1,2)时递增，且n＝1时，t＝1，n＝2时，t＝eq\f(3,4)，n＝3时，t＝eq\f(9,16)，n＝4时，t＝eq\f(27,64)，且a4>a3，故选A.二、填空题9．已知数列{an}中，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)满意a1＝2，a2＝4，则a3＝2.解析：a1＝2，a2＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝b＋m,4＝b2＋m))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2,m＝0))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1,m＝3))，∴a3＝(－1)3＋3＝2.10．数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋5，则它的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n＝1，,2n－3n≥2)).解析：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋5－(n－1)2＋2(n－1)－5＝2n－3，n＝1时，a1＝S1＝4，不适合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n＝1,2n－3n≥2)).11．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值；(4)－70是该数列中的一项．其中正确的说法有(2)(4)．(把全部正确的序号都填上)解析：令－2n2＋13n>0，得0<n<eq\f(13,2)，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项．当n＝3时，数列{an}取到最大值，而当x＝3.25时，函数f(x)取到最大值．令－2n2＋13n＝－70，得n＝10，或n＝－eq\f(7,2)(舍去)．即－70是该数列的第10项．三、解答题12．依据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来．(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图像如图1.(2)a1＝2，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,3)，a4＝eq\f(5,4)，a5＝eq\f(6,5).图像如图2.13．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋7.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解：数列的通项an与n之间构成二次函数关系，可结合二次函数学问去进行探求，同时要留意n的取值范围．(1)由n2－8n＋7<0，得1<n<7，∵n∈N＋，∴n＝2,3,4,5,6，∴{an}有5项是负数．(2)∵an＝n2－8n＋7＝(n－4)2－9，∴n＝4时，an取最小值，其最小值为－9.——实力提升类——14．数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn(n≤2018)，若数列{an}递减，则t的取值范围是(－∞，－4_035)．解析：解法一：由数列递减知，an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t<0对于n＝1,2，…，2017恒成立，即t<－(2n＋1)对于n＝1,2，…，2017恒成立，所以t<－4035.故t的取值范围是(－∞，－4035)．解法二：数列{an}的图像，即函数y＝x2＋tx的图像上，当x＝1,2，…，2018时对应的离散的点，而函数y＝x2＋tx的图像是开口向上的抛物线，其对称轴为x＝－eq\f(t,2)，结合函数图像即得若数列{an}递减，则－eq\f(t,2)>eq\f(2017＋2018,2)，即t<－4035，故t的取值范围是(－∞，－4035)．15．数列{an}中，an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1).(1)求这个数列的第10项；(2)eq\f(99,100)是否为该数列的项，为什么？(3)求证：an∈(0,1)；(4)在区间(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))内有多数列{an}的项，若有，有几项？若无，说明理由．解：(1)∵an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－2,3n＋1)，∴a10＝eq\f(28,31).(2)假设eq\f(99,100)是数列{an}中的项，则eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(99,100)⇒3n＝299，此方程无整数解，∴eq\f(99,100)不是该数列的项．(3)证明：∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，n∈N＋，∴0<eq\f(3,3n＋1)<1，∴an∈(0,1)．(4)由e