2024年高考数学试题和模拟题分类汇编：坐标系与参数方程（含解析）

专题18坐标系与参数方程

解答题

1.（2024•高考全国甲卷•理T22）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=20^05。.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为°,°）,M为C上的动点，点尸满意,写出2的轨

迹G的参数方程，并推断C与G是否有公共点.

【解析】（1）由曲线C的极坐标方程夕=2、历cosS可得0?=2j5/7cos。，

将1=00»。4=05桁。代入可得/+3;2=2直%,即卜_亚）一+y2=2,

即曲线C的直角坐标方程为（x—应）2+/=2;

（2）设P（x,y）,设M（0+0cose,0sine）

AP=>[2AM，

（x-1,y）=0（后+应cos8-L0sine）=（2+2cos8-&,2sine）,

,x-l=2+2cos。-0[X=3-A/2+2COS6）

则<，即1,

y=2sin。[y=2sin，

故P的轨迹G的参数方程为——3-后+2c°s’（。为参数）

y=2sin6

・曲线C的圆心为（3,0）,半径为0,曲线G的圆心为（3-0,0）,半径为2,

则圆心距为3-20，3-2后<2-拒，二两圆内含，

故曲线C与G没有公共点.

2.（2024•高考全国乙卷•文T22）在直角坐标系x，y中，匚。的圆心为C（2,l）,半径为1.

（1）写出。的一个参数方程；

（2）过点尸（4,1）作.C的两条切线.以坐标原点为极点,无轴正半轴为极轴建立极坐标系，

求这两条切线的极坐标方程.

【解析】（1）由题意，LC的一般方程为（x-2）2+（丁-1>=1,

x=2+cos。

所以「C的参数方程为〈1.，（。为参数）

y=1+sin。

(2)由题意，切线的斜率肯定存在，设切线方程为,一1=左(％—4),即依—y+1—4左=0,

\-2k\,

由圆心到直线的距离等于1可得/,=1

J1+&2

解得左=±g，所以切线方程为Gx—3y+3-46=0或6x+3y—3—46=0,

将％=/7cos，，y=〃sin，代入化简得

2/?cos（9+W）=4-g或2/7cos（e—g）=4+6.

3.(2024•河南郑州三模•理T22)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴

为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为pcos(e-ky)=券，曲线C的极坐标方

程为p2（l+3sin2。）=4.

(I)写出直线/和曲线C的直角坐标方程;

|AP|+|AQ|

(II)已知点A(l,0),若直线/与曲C线交于P,Q两点，PQ中点为M,求

lAMl

的值.

【解析】(1)直线的极坐标方程为pcos(6=^-,整理得pcose-psine-1=0,

'x=Pcos0

依据＜y=Psine,转换为直角坐标方程为x-y-1=0.

d+y2=p2

X=PCOS0

曲线C的极坐标方程为p2(l+3sin2。)=4.依据＜y=Psine,转换为直角坐标方程

Y+y2=p2

2,

为亍+y2=].

(2)把直线方程x-y-1=0转换为参数方程为.*为参数)，代入直角坐

2,

标方程为幻+丫2=].

得到5t2+2&t-6=0，点P和Q对应的参数为羊和t2,

所以t1+t^=-24^,t＜t点M对应的参数为-=-^^-

25

|AP|+|AQI7^l+t2^2-4tlt2（咯）

=8

故f-=一五三一V2―--

121—

4.（2024•河南开封三模•文理T22）已知在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为

（Y=+CnsCl

.。为参数）.以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

ly=2+tsinCI

23

曲线。的极坐标方程为P

l+2sin20

（1）求曲线。的直角坐标方程；

（2）设点尸（0,2）,若直线/与曲线。交于不同的两点A,B,求|P4|+|P8|的取值范围.

23

【解析】（1）曲线C的极坐标方程为P=-------忘"，整理得p2+2p2sin20=3,

l+2sin0

'x=Pcos0

依据（y=Psin8，整理得9+3^2=3,

x2+y2=P2

2,

化简得曲线C的直角坐标方程为"+y2=].

3

（2）联立直线I的参数方程与曲线C的直角坐标方程得：（rcosa）2+3（2+fsina）2=3,

化简得（l+Zsi/a）?2+12?sina+9=0,

12sina9

则匕+弋2=,t-1t9-9>0,

1+2sin2al+2sina

且△=144sin2a-36(l+2sin2a)>0,2sin2a-l>0,

则有|sina|€(乎'，1]，

12|sinCI|

则|PA|+|PB|=|ti+t21

l+2sin2a

-a[L零，i],有lPAl+网式54,3V2),

N—十Nm

m

所以|P4|+|PB|的取值范围为[4,3版）.

（Y=2COS0

5.（2024•河南焦作三模•理T22）在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为1/（cp

ly=sin（P

（Y=1++cn^a

为参数），直线/的参数方程为4。为参数，OWaVit）.

ly=tsmO.

（I）若曲线C与y轴负半轴的交点在直线/上，求a；

（II）若tana=返，求曲线C上与直线/距离最大的点的坐标.

2

【解析】（I）曲线C的参数方程为卜=2c。即（叩为参数），

ly=sinQ

2°

转换为直角坐标方程为彳+y2=>

曲线C与y轴的负半轴交于点（0,-1）,

由于直线/的参数方程为1（/为参数，0—）,

Iv二tsina

所以直线/恒过点（1,0）.

所以直线的斜率k=\,即tana=1,

整理得ay.

4

（II）若tana=^^-,

2

所以直线的I的一般方程为y^G-l），即«x-2y-«=0，

|2V3cos6-2sin6-V3I14cos（8用I

曲线C上的点到直线/的距离仁-------/L2D-------=111，

V（V3）2+22------------77-------------

5兀

当6月一+2k兀（依Z）,

6

所以/ax=4）胃'即2cos8=_«,sin6

故P（M,•

（Y=l+tcosCL

6.（2024•四川内江三模•理T22.）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为1（t

（y=tsinO.

为参数）,以原点。为极点，曲线C的极坐标方程为p=2、/^cos（8-"）・

（1）求曲线c的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

JT

（2）设直线/与曲线C交于4B两点，若点P的直角坐标为（1,0）a「•时，|PA|+|PB|

4

的值.

【解析】（1）曲线C2：p=2\[2cos（8+4），可以化为P2=5^2Pcos（8+4），

p7=2pcos0-2psin0,

因此，曲线C的直角坐标方程为x3+y2-2x+2y=0-

它表示以（7,-1）为圆心、血.

t

⑵当a4时，直线的参数方程为

x=3+亨t

点P（1,0）在直线上，把《

V4

y亍

代入x2+y2-2x+2y=6中得t2+V2t-5=0

设两个实数根为t8,t2,则4B两点所对应的参数为tl,t8,

3

则ti+t2=-V§,tit2=-5--,.|PAI+|PBI=It1-13I=7(t1+t2)-4t1t4=V6-

7.（2024•安徽蚌埠三模•文T22.）在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为

'2九

X=tCOSrs

<,。为参数），以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标

c.2兀

y=3+tsin—T—

O

系，曲线C的极坐标方程为P=2asin0（a>0）,曲线C与/有且只有一个公共点.

（1）求实数。的值；

（2）若A,B为曲线C上的两点，且/4。2=木，求|。川・|。3|的最大值.

O

2兀

x=tcos«

【解析】（1）直线/的参数方程为Ia为参数），转换为一般方程为

c.2兀

y=3+tsin~

V3x+y-3=0.

x=Pcos6

曲线C的极坐标方程为p=2asin。（a>0）,依据，y=PsinQ

222

,x+y=P

转换为直角坐标方程为N+（y-a）2=出，

因为曲线C与/有且只有一个公共点

所以圆心（0,a）至ij直线«x+y-3=0的距离d==a.

解得〃=1，故4=1.

(2)设A(pi,e),B(p2，0

所以|。4||。用=|pj||p2|=|2sine・2sin(9+y-)|=|l+2sin(20《)|W3,

当时，|。4卜|。8|的最大值为3.

8.（2024*贵州毕节三模•文T22.）如图，在极坐标系Ox中，

A（4,-2-）,B（2^2），C,D（4,—）,弧此，弧BO弧CD所

在圆的圆心分别是（2,£）,（2,0）,（2,等），曲线G是弧金，曲线C2是弧能，

曲线C3是弧而，曲线c：f（p,0）=o（owe<2it）由a.,c2,C3构成.

jr

（i）写出曲线c的极坐标方程，并求曲线c与直线e可（「eR）所围成图形的面积；

（II）若点M在曲线c上，且|OM|=2在，求点M的极坐标.

【解析】（1）在极坐标系。X中，

A（4,-2-）,B（2>C（2-y2»-），D（4,—）,弧此，弧BO弧CD所

在圆的圆心分别是（2,-y）,（2,0）,（2,等），

4sin9（于<8

曲线C的极坐标方程为P=<4COS0（0<8<子或等<8<2兀）.

-4sin0（等484亨

所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成，

所以面积为：S^T>K-22-2+T-K-22+2X4=471+8.

42

（2）设曲线c上一点p（p,e）,

TTTT

由题设若8由4sin0=2A/3,

得sinB=噂，8=^-；

若0484T•或g<e<2兀，由4cos8=2近，

得cose="，8d■或e1尹；

266

若6由-4sin8=2«，

得sin8=-除，8=-^»；

・••点M的极坐标为：（2V3»（2j^,-^-）,（2A/3»兀），（2/，51-）.

9.（2024•河南济源平顶山许昌三模•文T22.）已知在平面直角坐标系x°y中，曲线C的参数

'1+t2

.—2

方程为ktG为参数）.以原点。为极点，兀轴正半轴为极轴建立极坐标系，直

t

y=—i-t27

线/的极坐标方程为pcos（0+-^-）=1.

O

（1）求曲线c和直线/的直角坐标方程；

扁■的值・

（2）若直线/交曲线C于A,2两点，交x轴于点P,求1

iPAl

（l+t2

X=_2

【解析】（1）曲线C的参数方程为J1-tG为参数）.转换为直角坐标方程为N

-4y2=1（«-1）,

'X=PCOS0

直线/的极坐标方程为pcos（0+4-）=1.依据｛y=Psin8,转换为直角坐标方程

[x2+y2=P2

^-^x-^yy-l=0-

（2）直线/交交x轴于点尸，所以尸（2,0）,

x=2+零t

所以直线的参数方程为I/G为参数），

把直线我的参数方程代入%2-4产=1,

得到t2-8“t-12=0，

故t]+t2=8V5，t\ti=-12,

J(t[+tt)24t]t]

所以11

TPATTPBIIt[t?I3

10.（2024•四川泸州三模•理T22.）在平面直角坐标系中，圆Ci的参数方程为

fX=V^（-1+COS。）

，一人（叩为参数），以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极

[W3sin。

坐标系，圆C2的极坐标方程为p=2sin。，记圆G与圆C2异于原点的交点为A.

（I）求点A的极坐标；

（II）若过点A的直线/分别交圆Cl和C2于M、N两点，求也0]的最大值.

x=V^（T+cos。）

【解析】（I）,圆Ci的参数方程为”人（平为参数），转换为一般方

内3sinQ

程为x2+y2+2V3x=0;

'x=Pcos0

依据<y=PsinB，转换为极坐标方程为p=-2向cos。，

d+y2=p2

圆C2的极坐标方程为p=2sin0,

P）魏:e，解得…5

由

所以8=2k兀+■等~，P=V3>

o

故A2k兀+24一）（依Z）.

o

设直线的倾斜角为a,

X=~+tcos^

则直线的参数方程为V/a为参数），代入圆ci的一般方程为

_3.d

y^+tsinCl

x2+y2+2V3x=0；

故t2+G/^cosa+3sina)t=C'

所以tM+tN=-^V3cosO-+3sin1),

X="~+tCOS（J-

将直线的参数方程为4乙Qt为参数），代入圆Q的一般方程N+y2-2y

_3.r

y巧+tsina

=0,

得至Ut2+(sind-«cosa)t=0.

所以tjn+tf(V§cosa-sinCI),

建立方程组，解得tju=-(百cosa+3sina),tN=V3cosd.-sinCL,

所以|M7V|=|fM-加=|24^cosa+2sina|=14sin(a4-^-)|,

当ad时，|MV|的最大值为4.

0

11.(2024•宁夏中卫三模•理T22.)在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为

\(x=3+s；in0—2c比osO(中为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立

|y=cos0+2sin中

极坐标系，曲线C2的极坐标方程为pcos0+2=0.

(1)求曲线Ci的极坐标方程并推断Ci,C2的位置关系；

(2)设直线e=a(令<a<^,peR)分别与曲线Cl交于A,B两点,与C2交于

点P,若|AB|=3|OA|,求|OP|的值.

・/、,M/=|x-3=sin0-2cos0

【解析】(1)由曲线。得：<小C.小，

[y=cos$+2sin(P

平方相加得(X-3)2+y2=5,

即N+y2_6X+4=0,又p2=N+y2,x=pcos。，

得曲线Cl的极坐标方程为p2-6pcos0+4=O.

联立|P-6Pcos8+4=0,得「2+16=0,此方程无解，

LPcos0+2=0

Ci,C2相离；

⑵由[p2-6pcos8+4=0,得p2_6pcosa+4=0.

e=a

:直线e=a与曲线Ci有两个交点A,B,

n

A=36cos2a-16>0,即cosa>—.

o

'p1+p9=6COSa〉0

设方程的两根分别为pi,P2,贝M，①

IP/2=4

•：\AB\^3\OA\,：.\OB\^4\OA\,即p2=4pi,

联立①式解得pi=l,p2=4,cosa=二，满意△>(),

6

联立(Pc°se+2=0=p3_=_A

I9=Qcosa5

•'­|0P|=|P1^--

12.(2024•江西南昌三模♦理T22.)在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为:

(Y=1CL

(a为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,

(y=2sina

曲线C2的极坐标方程为：0=00(6oe[O,TT),peR).

(I)求曲线Ci的极坐标方程；

少114

(II)设A,8是曲线G、C2的公共点,右国砌节'求曲线C2的直角坐标方

程.

Iv=1Q.

【解析】(I)曲线Cl的参数方程为：4(a为参数)，整理得曲线C1的

[y=2smCl

直角坐标方程为x2+y2-2x-3=0,

'X=PCOS0

依据，y=Psin0,曲线Cl的极坐标方程为p2-2pcose-3=0.

l+y2=p2

P2-2Pcos8-3=0

(II)因为曲线C2的极坐标方程为。=。0,由＜

8=6。

得至Up2-2pcos0o-3=0,

设|OA|=|p5,\OB\=\pB\,

则PA+PB=2COS8O,pA,QB=-3,

则pA,PB异号，不妨设PA>O,PB<O,

则|0AI+|0BI=IpgpBI=>\/(PB=A/^OS^-0^+12»

所以1,1/0A|+|0BIJ4cos26『I2小但28。+12

b==

|0A||0B||0A||0B|-IPAPB|--3

则cosOo=±l,因为OoRO,Ti),

所以0o=O,

所以曲线C2的直角坐标方程为y=0.

13.(2024•江西上饶三模•理T22.)在平面直角坐标系xOy中，曲线Q是过点P(3,0)且

倾斜角为a的直线，以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐

标方程为p=4cos0-2sin9.

(1)求曲线G的参数方程及曲线C2的直角坐标方程；

(2)设曲线G、C2交于A,B两点，求当11•最大时，曲线C的直角坐标方程.

WTTPBT

【解析】(1)曲线C1是过点P(3,0)且倾斜角为a的直线，转换为参数方程为

(x=3+tcosa

(a为参数).

1y=tsinCl

'X=pCOS0

曲线C2的极坐标方程为p=4cose-2sin。.依据，y=Psin0,转换为直角坐标方程

222

,x+y=P

为(x-2)2+(y+1)2=5.

(T=3+tcosa

(2)把直线的参数方程4代入(x-2)2+(y+1)2=5,

Iy=tsinCl

得至ljt2+2(cosa+sina)t-3=0,

故ti+h=-2（sina+cosa）,七由=-3,

2

所以1.1X（t[+，2）2_4t]=J8sin（Ct+12

|PATW=IMTI------------------

当aV时，（下」一切■工-）

4JPAliPBlmax

14.（2024•安徽宿州三模•文理T22.）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：

[x22cos（a为参数），已知直线/i：x-爪）/=0,直线京yf2x+y—O,以坐标原

ly=2sinQ.

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求曲线C以及直线/1,12的极坐标方程；

（II）若直线/I与曲线C分别交于0、A两点，直线/2与曲线C分别交于0、B两点，求

△AOB的面积.

（Y=P+Pcn^a

【解析】（I）依题意，由曲线C的参数方程4（a为参数）

Iy=2sinCL

消参得（x-2）2+y2=4,

故曲线C的一般方程为x2+y2-4x=0.

'x=Pcos0

依据＜Y=PsinQ,

222

,x+y=P

曲线C的极坐标方程为：p=4cosO.

直线/i的极坐标方程分别为ed（peR），直线L和的极坐标方程为8==（pER）.

（II）把8d■代入p=4cos0,得所以八（2«,3），

60

OTTJT

把0代入P=4cos0,得P2=-2,所以B（2,——）.

OO

1兀兀1

所以S^AOB节”P1IIPlsin（.■+„）=yX2V3X2=2V3-

乙002

15.（2024•安徽马鞍山三模•文理T22.）平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为

'x=l+&cosa,

\l“(a为参数)以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系

y=l+V2sina-

中，曲线。2的极坐标方程为p8)

(1)求曲线Ci的一般方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)设点M(0,-1),若曲线G,C2相交于A,8两点，求的值.

x=l+V2cosa，

【解析】(1)曲线Ci的参数方程为《V_(a为参数)，转换为一般方程

y=l+>72sina..

为(X-1)2+(y-1)2=2.

(x=Pcos8

曲线C2的极坐标方程为Psin(；-8)=*，依据<y=Psine,转换为直角坐标

4'09?

lx2+y=P2

方程为x-y-1=0.

(2)由于点M(0,-1)满意直线x-y-1=0的方程，

rx=---1

故12G为参数)，

y=-14t

代入(x-1)2+(y-1)2=2,

得到：t2-3V2t+3=0-

所以t1+t2=W^,?I?2=3,

ik\MA\+\MB\=|ti+tg|=3V2.

16.(2024•江西鹰潭二模•理T22.)在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的方程为：(x+正)

2+(y+l)2=4.以。为极点，龙轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2,C3的极坐

标方程分别为：p=2sin0,p=2cos(0+—-).

6

(1)若曲线C2,C3相交于异于极点的点。，求点。的直角坐标；

(2)若直线/：0=a(p£R)与Cl,C2相交于异于极点的A,B两点，求|AB|的最大值.

X

Cl

'x=Pcos0

【解析】（1）曲线C2的极坐标方程为p=2sin0,依据《y=PsinB转换为直角坐标

222

,x+y=P

方程为N+f=2y.

'X=pCOS0

曲线C3的极坐标方程为p=2cos（0+?），依据，y=Psin9转换为直角坐标方程

[x2+y2=P2

为（X---）2+（y+y）2=1-

，“畛，邛rx=o

（X弯）+（吗）=1y得1/=。

故。哈•

(2)曲线G的方程为：(x+J^)2+(y+1)2=4,转换为x?+y2+2^^x+2y=0，

'X=PCOS0

依据，Y=Psin©转换为极坐标方程为p+2«cos8+2sin8二C，

222

x+y=P

直线/：e=a（peR）与Cl,C2相交于异于极点的A,3两点,

e=a

所以整理得pA=2sina,

P=2sin0

e=a

整理得Pf—s(8*).

，c兀、

P=-4cos(0-7-)

b

所以|AB|=IPA-pB\=|4sin0-2«cos0|=|2五sin(8-CI)|,

=

当sin(B-a)=±1时，|ABImax2y/7.

17.(2024•江西上饶二模•理T22.)在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为

(__2_

x=------2

,1+t。为参数)，以原点。为极点，尤轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2

2t

y=—7

l+t2

的极坐标方程为p=2«sin。，直线/的极坐标方程为9=a(p€R,OWa<n).

(1)求曲线Ci的极坐标方程；

(2)直线/与曲线G交于点A,与曲线C2交于。，B两点,求|AB|的最大值.

(__2_

x=------2

【解析】(1)曲线Ci的参数方程为程为J。为参数)(r为参数，且f<0),

2t

y=—

l+t2

整理得>=比，所以/=工，

X

代入关系式得到N+y2-2x=o,

依据■x=pcos。，y=psin。，转换为极坐标方程为p=2cos。.

(2)直线/8=a与曲线C的交点为A,

所以，解得pA=2cosa,

直线/：e=a与曲线Q的交点坐标为3,

故［P=T；n0，所以PB=2百sina,

所以|AB|=|pA-ps|=12V^sina-2cosa|=14sin(Q-~)l»

b

由于OWaVm

OTT

当CL*一时，所以|A8M"=4.

o

18.(2024•江西九江二模•理T22.)在极坐标系Ox中，射线/的极坐标方程为8=3(p》

O

0),曲线。的极坐标方程为p2-4psin8=产-4(r>0),且射线/与曲线。有异于点O

的两个交点尸，Q.

(I)求r的取值范围；

(11)求—+由的取值范围.

【解析】(I)射线/的极坐标方程为e=；(p20),转换为直角坐标方程为yfqQx

(x20).

'x=Pcos0

曲线C的极坐标方程为p2-4psin0=2-4(r>0),依据，Y=Psin0,转换为直角

222

,x+y=P

坐标方程为N+(y-2)2=产.

且射线/与曲线。有异于点。的两个交点P,Q.

、、-1-21_

所以圆心(0,2)到直线y=的距禺d=2]一)

所以l<r<2.

(II)把为0=-代入p2-4psin0=r2-4,

O

得到p2-2V3P+4-r2=0-

=2

所以P1+P2=2V§，PtP24-r，

由于(1,2),

所以4-产E(0,3)

所以得T+房=普€挈'3).

19.(2024•河南郑州二模•文T22.)在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程是

=c

\|Y+Clr。是参数，ae[0,2TT))，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立

[y=5+tsina2

极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p=4&sin(8-2cos0.

(I)写出曲线C2的直角坐标方程；

(II)若曲线Ci与C2有且仅有一个公共点，求sin2a-sinacosa的值.

TT

【解析】(I)曲线。2的极坐标方程是p=4j，sin(84^4-)-2cos0,

'X=PCOS0

依据<y=psin0转换为直角坐标方程为12+y2=2x+4y,

d+y2=p2

即(x-1)2+(y-2)2=5.

(II)曲线Cl的参数方程是尸:c°saG是参数，ae[0,3)),

[y=5+tsina2

转换为直角坐标方程为丫=依+5,*>0),

|k-2+51/—

利用圆心(1,2)到直线的距离公式)]+卜2W5,

解得太=4或2,(负值舍去)，

故k=2,

即tana=2,

21

所以sinCI=-T=-,cosa=/—

v5N5

22、,1_2

故sin2a-sinacosa

V5V55

_2

%=2Q----

20.(2024•山西调研二模•文T22)已知曲线Q：1为参数)，曲线C2：p=pcos28+

y=—I----

'2t+l

cos。.

(1)求G的一般方程与C2的直角坐标方程；

(2)设曲线G，C2的公共点为A,B,。为坐标原点，求△。力B的面积.

%=2--

【解析】⑴曲线6“1个《为参数)，消去参数转换为一般方程为％+2)7-3=0(%4

—I----

Vy7=2t+i

2).

x=pcosO

y=psind,转换为直角坐标方程为y2=%.

x2+y2=p2

⑵由｛才］；”。，化简为!*+2"3=3

解得仁；咪二3.

故|AB|=,82+42=4V5,

则：点。到直线AB的距离d=方』=%

V1Z+2ZV5

所以SAOAB=|X4V5X3=6.

【解析】(1)干脆利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

(2)利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三三角形的面积公式的应用求出结果.

本题考查的学问要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离

公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算实力和数学思维实力，属于基础

题.

21.(2024•宁夏银川二模•文T22.)在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为

(x=l+2cos6

(0为参数)，以原点为极点无轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/1的极

]y=l+2sinP

71

坐标方程为:e=a,直线/2的极坐标方程为e=a

(I)写出曲线"的极坐标方程，并指出它是何种曲线；

(II)设与曲线M交于A,C两点，/2与曲线M交于3,。两点，求四边形A8CD面

积的取值范围.

【解析】（1）由卜=1+：8$£（0为参数）消去参数0得：（尤-1）2+（y-1）2=%

ly=l+2sinp

绽开可得：x2+y2-2x-2y-2=0.

将曲线M的方程化成极坐标方程得：p2-2p（cos0+sin0）-2=0,

・•・曲线M是以（1,1）为圆心，2为半径的圆.

(II)设|O4|=pi,|OC|=p2,由/i与圆M联立方程可得p?-2p(sina+cosa)-2=0,

.•・pi+p2=2(sina+cosa),pi*p2=-2,

OAC三点共线，则

2