2024-2025学年高二数学试题（人教A版2019）312椭圆的简单几何性质（十大题型）

3．1．2椭圆的简单几何性质目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：椭圆的几何性质 2题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值 4题型三：求离心率的值 6题型四：求离心率的范围 8题型五：点与椭圆的位置关系 10题型六：直线与椭圆的位置关系 13题型七：弦长问题 14题型八：中点弦问题 18题型九：椭圆的实际应用 20题型十：定点定值问题 23【重难点集训】 27【高考真题】 41

【题型归纳】题型一：椭圆的几何性质1．（多选题）（2024·高二·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，所以，即，对于A，，则，所以，所以A正确，对于B，，则，所以，所以B错误，对于C，，则，所以，所以C正确，对于D，，则，所以，所以D错误，故选：AC2．（多选题）（2024·高一·浙江宁波·期末）已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（

）A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3C．不可能是直角 D．当时，的面积为【答案】AD【解析】由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上，由.所以椭圆的离心率，故A正确；根据椭圆的定义，的周长为，故B错误；如图：取为椭圆的上顶点，则,所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误；如图：当时，设，，则，所以，故D正确.故选：AD3．（多选题）（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（

）A．C的焦距为2 B．C的短轴长为C．C的离心率为 D．的周长为8【答案】ABD【解析】由于，所以,故，因此，故，所以椭圆，对于A，焦距为，故A正确，对于B，短轴长为，B正确，对于C，离心率为，C错误，对于D，的周长为，D正确，故选：ABD4．（多选题）（2024·高二·四川广元·阶段练习）已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（

）A．的周长为10 B．面积的最大值为25C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为【答案】AD【解析】由题意可知：，则，，对于选项A：的周长为，故A正确；对于选项B：当P为短轴顶点时，面积取到最大值为，故B错误；对于选项C：PF1的最小值为，此时P但本题取不到长轴顶点，故没有最小值，故C错误；对于选项D：椭圆C的离心率为，故D正确；故选：AD.题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值5．（2024·高二·辽宁·期中）已知是椭圆上一点，，则的最小值为.【答案】【解析】设,所以,由于，故当，取最小值，故答案为：6．（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最小值为，最大值为．【答案】【解析】设椭圆上一点，所以，点到直线的距离为，当时，取最小值，即；当时，取最大值，即.故答案为：；.7．（2024·高二·上海普陀·期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为．【答案】12【解析】由椭圆，得，，．方法一：当轴时，为椭圆的短轴，；当与轴不垂直时，设直线，由，得，解得，得，设，不妨取，所以；综上所述：的面积的最大值为12．方法二：设点，则，故的面积.故答案为：12.8．（2024·高二·上海浦东新·期末）以为焦点的椭圆x2a2+y23=1【答案】3【解析】因为为椭圆x2a所以，，所以由a2所以椭圆的标准方程为：，如图所示：因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，故当处于右顶点时最大，且最大值为MF故答案为：3.题型三：求离心率的值9．（2024·高二·全国·专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为．【答案】55/【解析】令椭圆：（）的半焦距为，设，则，由点在轴上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，而，所以椭圆的离心率为．故答案为：．10．（2024·高三·广东惠州·阶段练习）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为.【答案】【解析】由题意知，，，所以，解得；又，所以，所以椭圆的离心率为．故答案为：．11．（2024·高二·全国·课后作业）体外碎石技术在医学上一般用来治疗肾结石，其治疗原理为电极放电产生冲击波，经椭圆形反射体反射聚焦（将某个焦点发出的冲击波全部反射到另一个焦点处），能量积累增强到一定值时达到结石粉碎的目的．若椭圆的方程为，冲击波从椭圆的左焦点出发，经过反射后首次回到该焦点所经过的路程为，则的离心率为．【答案】或或【解析】情况1：冲击波沿着轴向左出发经反射回到点，此时，即；情况2：冲击波沿着轴向右出发经反射回到点，此时，即；情况3：冲击波以与轴成夹角不为0的角度出发经反射回到点，此时，即．故答案为：或或题型四：求离心率的范围12．（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题得：，所以故选：A．13．（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，即，所以点P落在以为直径的圆上，所以有解，即有解，所以.即，所以，所以，又椭圆的离心率，所以.故选：D14．（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，当点落在上顶点时，恰好有6个直角三角形，此时，，当椭圆变扁时，椭圆越扁，离心率越大，，此时为直角三角形点P有8个，故选：C15．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】联立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，因为直线l与椭圆C相离或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，∴1<a2≤3，设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），则点到直线l的距离，其中，d的最小值､最大值分别为：，，满足最大值与最小值之和为，∴1<a2≤3，.故选：A.题型五：点与椭圆的位置关系16．（2024·全国·二模）已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，设C的左焦点为，则，因为，且，则，即，于是，解得，而，点为椭圆C内一点，即有，，整理得，又，解得，所以a的取值范围是.故选：D17．（2024·高二·全国·课后作业）设点是曲线上的点，又点，，下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】曲线，化为，它表示顶点分别为的菱形，以，为焦点，长轴长为10，短轴长为6的椭圆方程，在直角坐标系中，作出曲线和椭圆的图形，如下图所示：由图形以及椭圆的定义可知：若在椭圆上，又在曲线上时，即或时，；若在椭圆内部，又在曲线上时，则，综上，.故选：C.18．（2024·高二·湖北荆州·阶段练习）已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】椭圆，即：，设椭圆上两点关于直线对称，中点为，则，，所以，∴，∴，代入直线方程得，即，因为在椭圆内部，∴，解得，即的取值范围是．故选：A．19．（2024·高二·山东青岛·学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【解析】圆的圆心，半径为，因为直线与圆没有公共点，所以圆心到直线的距离大于半径，得，即，所以，则点在椭圆内部，所以过点的直线与椭圆必有2个公共点.故选：C.题型六：直线与椭圆的位置关系20．（2024·高三·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；(2)求证：直线与椭圆C相切；【解析】（1）由椭圆，可得，则，所以椭圆的离心率为，左焦点为.（2）由椭圆，可得，即当时，直线的方程为或，此时直线与椭圆相切；当时，联立方程组，可得，即，则，所以直线与椭圆相切，综上可得，直线与椭圆相切.21．判断直线与椭圆是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这两个公共点为端点的线段长．【解析】联立直线与椭圆的方程，可得方程组，消化简得，，解得，或，故方程组的解为或因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为，．从而可知所求线段长为．22．（2024·高二·全国·课后作业）试判断直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由.【解析】直线与椭圆的公共点的个数为个，理由如下：根据题意，直线，恒过定点，把点代入椭圆，则点在椭圆的内部，则直线与椭圆必相交，有个交点，即直线与椭圆的公共点的个数为个.题型七：弦长问题23．（2024·高二·江苏镇江·期末）已知椭圆的焦点为F，椭圆上M，N满足：，则（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】设、，不妨设为右焦点，据题意得，因为，所以，所以，将点代入椭圆方程得由，得，所以，所以，所以，所以，所以.故选：D24．（2024·高三·广东茂名·阶段练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，与在第一象限的交点为，且.(1)求与的方程；(2)记的上顶点为的左顶点为，直线与的另一个交点为，求.【解析】（1）因为，所以，记，则.由椭圆的定义可得，.由双曲线的定义可得，.所以的方程为的方程为.（2）由题意得，则直线的方程为.设.联立得，所以.所以，所以.25．（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.(1)求C的标准方程；(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.【解析】（1）由题意得，，，又，则，则，所以C的标准方程为.（2）由题意设，，如图所示：联立，整理得，，则，，故.设直线l与x轴的交点为，又，则，故，结合，解得.26．（2024·高二·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率.【解析】（1）由题意得：F1-c,0，，，，，，即，；当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令，由得：，，由得：，椭圆的方程为：.（2）由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，设，则，，，又B-2,0，，，解得：，直线的斜率.题型八：中点弦问题27．（2024·高二·吉林·期中）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为-3,2，求直线的方程.【解析】（1）由题意可知，则.因为，所以椭圆的方程为.（2）设Ax1两式相减得，整理可得.因为线段的中点坐标为-3,2，所以，所以直线的斜率，故直线的方程为，即.直线和轴的交点为，该点在椭圆内，故直线和椭圆相交，满足条件.28．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为．【答案】3【解析】设坐标为，则，作差可得，则，根据题意可得，，则，解得.当时，联立，可得，其，满足题意；故.故答案为：.29．（2024·高二·重庆江北·阶段练习）若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为．【答案】【解析】由于，所以点在椭圆内部，设，，由已知，，，两式相减得，∴．故答案为：30．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程．【解析】（1）由的最大值为3，最小值为得，则，可得，所以椭圆方程为（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，设,，,，所以，，两式作差，得，由于是的中点，故，所以，所以，所以，所以中点弦的方程为，所求的直线方程．题型九：椭圆的实际应用31．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，设椭圆方程为，令，即，解得，依题意可得，所以，所以，所以．故选：D．32．（2024·高二·福建福州·期中）“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为千米.【答案】【解析】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则，两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米.故答案为：85.33．（2024·高二·湖北武汉·期末）在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为．【答案】32【解析】，，离心率，故，，不妨设椭圆方程为：，设圆半径为，椭圆与圆相切于左顶点或者右顶点时有最大值，圆方程为：，联立方程：，消去得到，，解得.故答案为：.34．（2024·高二·江苏常州·期末）某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米.现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为米.【答案】【解析】由题意可知，即，所以椭圆方程为，则椭圆的参数方程为，所以矩形在第一象限的顶点坐标可设为（），根据对称性可知矩形的长为，宽为，所以矩形的面积为，当且仅当时，面积取得最大值，所以此时，矩形的周长为，故答案为：题型十：定点定值问题35．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．（2）设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．36．（2024·黑龙江大庆·一模）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．【解析】（1）由得，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.所以直线斜率存在，设直线的方程为.设、，由得，所以，.

因为，所以，即，整理得化简得，所以直线的方程为，所以直线过定点.37．（2024·高三·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.【解析】（1）∵抛物线的焦点为，∴椭圆的半焦距为，又，得，.∴椭圆的方程为（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，得.，即，设，，则，，∴，∴.∴为定值38．（2024·高二·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.【解析】（1）由题意可知：，又，解得，所以椭圆方程为（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，直线的方程为：，联立直线与椭圆方程：，设，则，，将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.【重难点集训】1．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设，则切线，即，切线的斜率，直线的斜率，则，所以.故选：C2．（2024·高二·重庆渝中·阶段练习）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆与轴相切于焦点，轴，可设，在椭圆上，，解得：，圆的半径为；作轴，垂足为，，，为直角三角形，，，，即，又，所以，故选：D.3．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，在椭圆上，且，当时，由，得，设线段PQ的中点为，所以，所以线段PQ的垂直平分线的方程为，即，该直线恒过定点当时，线段PQ的垂直平分线也过定点，故线段PQ的垂直平分线恒过定点故选：A．4．（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设平行且距离为的直线方程为，所以，解得或（结合图象舍去）设直线与平行且它们之间的距离为，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短距离不小于，所以与椭圆相切或没有交点，所以，整理得，由椭圆的离心率为，可知，所以，所以，则，所以.故选：C.5．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为，所以，因为在椭圆上，所以①，两式相减，得，根据，上式可化简为，整理得，又，所以，即，所以.故选：B.6．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（

）A．的面积为B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9C．点P的纵坐标为D．内切圆的面积为【答案】D【解析】对A，根据椭圆定义可得，则①，在中，由余弦定理②，由①②可得，所以的面积为，故A错误；对B，设，则，，，则当时，取得最大值为5，故B错误；对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误；对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，所以，即，解得，所以内切圆的面积为，故D正确.故选：D.7．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是（

）A．点的轨迹方程是B．直线是“最远距离直线”C．平面上有一点，则的最小值为D．点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（即没有交点）【答案】D【解析】设Px,y，因为动点到点的距离是点到直线的距离的一半，所以，整理得，A说法正确；联立可得，解得，所以存在点，直线是“最远距离直线”，B说法正确；过作垂直于直线，垂足为，由题意得，则，由图可知的最小值即为点到直线的距离，C说法正确；由得，圆圆心为1,0，半径为，易得点的轨迹与圆交于点2,0，D说法错误；故选：D8．（2024·高二·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，取的中点，连接,则易得，，在中，，则,又，在中，由余弦定理，，即，整理得，，解得或（舍去），则.故选:B.9．（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）2024年3月，某科技公司启用具备“超椭圆”数学之美的新logo．设计师的灵感来源于曲线C：．其中星形线E：常用于超轻材料的设计．则下列关于星形线说法错误的是（

）A．E关于y轴对称 B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过C．曲线E所围成图形的面积小于2 D．E上的点到原点距离的最小值为【答案】D【解析】对于A，若在星形线E上，则也在E上，故E关于轴对称，A正确；对于B，由，则，当且仅当时等号成立，B正确；对于C，曲线E过点，在所围成的区域内部，而所围成的面积为2，故曲线E所围成的面积小于2，C选项正确；对于D，由，当且仅当时等号成立，故上的点到原点的距离最小值为，故D选项错误.故选：D10．（多选题）（2024·高二·江西抚州·阶段练习）已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．椭圆离心率为B．C．若，则的面积为D．最大值为【答案】BC【解析】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误；由椭圆定义知，故B正确；又，因为，所以，，解得：，所以的面积为，故C正确；因为，，所以，当且仅当，即，时取等号.所以最大值为，故D错误.故选：BC.11．（多选题）（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（

）A． B．离心率为C．的面积为6 D．的面积为12【答案】ABC【解析】由，得，则，因为是椭圆上一点，所以，因为，所以，，故A正确；对于B，离心率为，故B正确；对于CD，因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确，D错误．故选：ABC12．（多选题）（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（

）A．的面积为B．的离心率为C．点到轴的距离为D．【答案】ACD【解析】如图，设，，延长交于点.由题意知，为的中点，则为的中点，又，所以是等边三角形，则化简得即在中，由余弦定理得，所以，即.因为，所以，，所以，，故B错误.的面积为，故A正确.设点到轴的距离为，所以，则，故C正确.因为是的平分线，所以，所以，则，故D正确.故选：ACD13．（2024·高三·云南德宏·阶段练习）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为.【答案】【解析】因为,所以,所以椭圆方程为,设,椭圆的上、下顶点,所以且，所以，所以即得.故答案为：.14．（2024·高二·江苏镇江·期中）已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】直线恒过定点0,1，要使直线与椭圆恒有公共点，则0,1在椭圆内部或在椭圆上，若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则；若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则．实数的取值范围是：．故答案为：．15．（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意可知：直线的斜率，设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为，可得，且，，因为点在上，则，两式相减得，整理可得，可得，即，则，联立方程，解得，即，因为点在椭圆内，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.16．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点.(1)若是线段的中点，求直线的方程；(2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值.【解析】（1）设，则有，且，作差可得，所以，由点斜式得，，整理得即为直线的方程.（2）不妨设的直线方程为，联立，消去整理得，由韦达定理得，所以，因为，所以为定值.17．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值.【解析】（1）因为椭圆椭圆经过点2,0和点，，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）得，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，联立，解得或，则，所以.18．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱.返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”.如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与.(1)写出图中“果圆”的方程；(2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度.【解析】（1）设上半椭圆的标准方程为，因为椭圆的一个焦点为和短轴的两个顶点为与，所以，所以，所以上半椭圆的标准方程为：.由题意得，圆弧过点，和.设圆弧所在圆的方程为，则，解得，所以圆弧的方程为：.（2）由，解得，得，由，解得，得，所以.19．（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线，①求直线和直线的斜率之积；②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）由题可知，一定在椭圆上，其中一个在椭圆上，当椭圆过点可得，则椭圆的方程为；当椭圆过点可得，方程组无解，综上，椭圆的方程为；（2）①由题可设,，当时，设,、,，显然，联立，则，即，因为为线段的中点，所以，又，所以，即直线和直线的斜率之积为；②由①可得直线的斜率为，又，所以直线的方程为，即，显然恒过定点,，当时，直线即，此时为轴亦过点,；综上所述，恒过定点,．【高考真题】1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因此，而，所以.故选：A2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.3．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.5．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.6．（2024年上海市1月春考数学试题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、