2024-2025学年高二数学试题（人教A版2019）431等比数列的概念（八大题型）

4．3．1等比数列的概念目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：等比数列的判断 2题型二：等比数列的通项公式及其应用 3题型三：等比数列的证明 5题型四：等比中项及应用 6题型五：等比数列的实际应用 7题型六：等比数列通项公式的推广及应用 8题型七：等比数列性质的应用 10题型八：灵活设元求解等比数列问题 11【重难点集训】 12【高考真题】 20【题型归纳】题型一：等比数列的判断1．（2024·高二·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为，对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误；对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误；对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误；对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；故选：D2．（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（

）A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列【答案】D【解析】因为数列是等差数列，设其通项公式为，所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确;因为数列为等比数列，设其通项公式为，所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确;因为，所以，所以数列一定是等差数列，选项正确;当时，，则不是等比数列，选项错误，故选:.3．（2024·高二·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设的公比为，的公比为，对于A，令，则，显然不是等比数列；对于B，，故是等比数列；对于C，，故是等比数列；对于D，，故是等比数列.故选：A.4．（2024·高三·山东济宁·开学考试）“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若数列都是等比数列，设其公比分别为为常数)，则，所以当时，，为常数，由等比数列的定义知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故充分性成立；若数列是等比数列，设，当，时，满足，但都不是等比数列，故必要性不成立.所以“数列、都是等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.故选：A题型二：等比数列的通项公式及其应用5．（2024·高二·全国·课后作业）已知，是等比数列图象上的两点，则．【答案】【解析】由题意知，，∴，∴，∴．故答案为：6．（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中，(1)已知，求(2)已知，求.【解析】（1）设公比为，则，所以，解得，由，所以可知或；（2）设公比为q，由题意得：，两式相除得：，所以，又因为，所以，解得.7．（2024·高二·全国·课前预习）在等比数列中：(1)若，，求和；(2)若，，求．【解析】（1）因为，则，解得，当时，；当时，．综上所述：或.（2）因为，则，即．又因为，则，即．两式相除得，所以．题型三：等比数列的证明8．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，．(1)求，并猜想的通项公式（不需证明）；(2)证明：数列是等比数列．【解析】（1）由得．结合可猜想数列的通项公式为．（2）因为，所以为正项递增数列，所以，所以，故数列是等比数列．9．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数.(1)证明：对任意实数，数列不是等比数列；(2)试判断数列是否为等比数列.【解析】（1）∵且，∴，．假设存在一个实数，使数列是等比数列，则，即，即，得，矛盾．故对任意实数，数列不是等比数列．（2）∵，∴，∵，∴当时，，此时数列不是等比数列；当时，，此时，数列是等比数列．10．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列.【解析】由，，可得．因为，，所以，，所以是首项为1，公比为3的等比数列．题型四：等比中项及应用11．（2024·高二·四川绵阳·期中）已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（

）A．或 B．3或 C． D．9或【答案】B【解析】不妨设这三个数分别为，且，三个数的乘积为，由三个数的平方和为91，所以，解得，或，又，所以，或，故选：B12．（2024·高二·福建厦门·期末）已知等比数列满足，，则（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】因为数列是等比数列，所以，所以或，因为，，所以.故选：C.13．（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知，，以下结论中错误的是（

）A．若三个数成等差数列，则B．若五个数成等差数列，则C．若三个数成等比数列，则D．若三个数成等比数列，则【答案】C【解析】对于A，若三个数成等差数列，则，故A不符合题意；对于B，若五个数成等差数列，则，且当时，即成等差数列，故B不符合题意；对于CD，若三个数成等比数列，则，即，故C符合题意，D不符合题意.故选：C.题型五：等比数列的实际应用14．（2024·高二·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（

）A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断【答案】C【解析】第一种可以领取报酬元；第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列，则第二种可以领取报酬元；第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列，则第三种可以领取报酬元，因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬．故选：C．15．（2024·高二·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（

）元．A．B．C．D．【答案】D【解析】设小明每个月所要还款的钱数为元，根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：，第二个月末所欠银行贷款数为：；．．．，第12个月末所欠银行贷款为：；由于分12次还清所有的欠款，所以，解得.故选：D．16．（2024·高二·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（

）A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元【答案】B【解析】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低，所以6年后，价格降低为（元），故选：B题型六：等比数列通项公式的推广及应用17．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列{an}中，公比q＝2，若，则等于（

A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设，，则且q＝2，则，而.故选：B18．（2024·高二·浙江·期末）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当时，如下图所示，当公差时，如下图所示，如图可知当时，，，，.故选：D19．（2024·高一·湖北·阶段练习）等比数列为递减数列，若，，则（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】，可得与为方程的两个根，又，解得，，再利用通项公式即可得出.∵等比数列为递减数列，，，∴与为方程的两个根，解得，或，，∵，∴，，∴，则，故选:A.题型七：等比数列性质的应用20．（2024·高二·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则.【答案】【解析】，可得，所以，数列是公比为的等比数列，因为，且，则，所以.故答案为：.21．（2024·高二·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为.【答案】【解析】由已知数列为等比数列，则，即，所以，又，所以，故答案为：.22．（2024·高二·贵州贵阳·竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为.【答案】【解析】因为数列为正项等比数列，，设，则，则，由于是等比数列，所以也成等比数列，因此，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.23．（2024·高二·河南周口·阶段练习）若等比数列满足，，则．【答案】112【解析】，故，解得，故．故答案为：11224．（2024·高二·江苏扬州·期中）已知数列1，,9是等比数列，数列1,9是等差数列，则=______．．【答案】【解析】数列1,,9是等比数列，可得=1×9，解得，由于1，，9均为奇数项，可得，即，数列1,9是等差数列，可得,则=．故答案为．25．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则.【答案】【解析】设等比数列的公比为，因为是与的等差中项，所以，所以，解得，所以故答案为：.题型八：灵活设元求解等比数列问题26．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求此四个数．【解析】设前三个数为.所以前三个数为因为后三个数成等比数列，所以，所以或.当时，不满足题意，所以舍去.所以这四个数为.27．（2024·高二·陕西延安·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为36，后三数成等比数列，其积为108.求这四个数.【解析】设四个正数分别为a，b，c，d，根据等差数列和等比数列的性质可得，解得，所以这四个数分别为，12，，.28．（2024·高二·全国·专题练习）已知三个数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，求这三个数．【解析】不妨设这三个数分别为、、，则这三个数的乘积为，这三个数的平方和为，整理可得，解得或.若，则这三个数分别为、、；若，则这三个数分别为、、；若，则这三个数分别为、、；若，则这三个数分别为、、.综上，这三个数分别为、、或、、或、、或、、.【重难点集训】1．已知数列,均为正项等比数列，,分别为数列,的前项积，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】数列均为正项等比数列，设公比分别为；,分别为数列,的前项积，，,则.故选：A2．等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．12 B．10 C．5 D．【答案】B【解析】由和可得，故，故选：B3．等比数列中，已知，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】因为数列是等比数列，所以，，，成等比数列，且公比为，所以．故选：A4．在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，即，解得或（舍去）．因为，所以，即，所以，所以或或所以的值为或或，所以的最小值为．故选：A．5．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”已知是“和差等比数列”，，，则满足使不等式的的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】依题意，，化简得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，令，即，又，则，即，所以满足使不等式的的最小值是8.故选：A.6．高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（

）A．1010 B．2024 C．1012 D．2020【答案】C【解析】根据可得，所以；由等比数列性质可得，因此可得.故选：C7．数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（

）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】D【解析】当时，取，则，显然不是严格增数列，所以“”不能推出“数列是严格增数列”；当数列是严格增数列时，设，当时，是摆动数列，不符合要求，所以，若，则，若，则，所以“数列是严格增数列”不能推出“”；综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件，故选：D.8．已知数列，，，则（

）A．8 B．16 C．24 D．64【答案】D【解析】因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以数列为等比数列，（），所以.故选：D.9．（多选题）下列说法正确的有（

）A．若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列B．若数列为等比数列，其公比，则数列是递减数列C．若数列为等差数列，则数列为等比数列D．若数列的前n项和为，且，则数列是等差数列【答案】ACD【解析】对于A，由，可得，故单调递增，正确；对于B，取，此时，由于，此时数列是递增数列，错误；对于C：等差数列公差为，由，为常数，故数列为等比数列，正确；对于D：由，令，可得：，可得：即：，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，正确，故选：ACD10．（多选题）已知数列是等差数列，是等比数列，.（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AC【解析】设等差数列的公差为，当时，，故A正确；当公差时，是常数列，，但与不一定相等，故B不正确；设等比数列的公比为，若“”，则，故C正确；当公比时，是常数列，，但与不一定相等，故D不正确.故选：AC.11．（多选题）已知等比数列中，，，则（

）A．公比为 B．C．当时， D．的前10项积为1【答案】ABD【解析】对于A项，设等比数列的公比为，由，得，解得，故A正确；对于B项，，则，故B正确；对于C项，，当时，，则，故C错误；对于D项，由，可得的前10项积为，故D正确．故选：ABD.12．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为，级雪花曲线的周长为．【答案】/【解析】设级雪花曲线的边长为，则数列是首项为，公比为的等比数列，故级雪花曲线的边长为；设级雪花曲线的边数为，则数列是首项为，公比为的等比数列，故级雪花曲线的边数为，则级雪花曲线的周长为，故答案为：；．13．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为.【答案】【解析】由，得，又，故数列为首项为，公比为的等比数列，所以，则不等式可化为，令，当时，；当时，；又，则当时，，当时，，所以，则，即实数的最小值为.故答案为：.14．已知数列满足，若，则的通项公式为.【答案】【解析】当时，，因为，所以，当时，，则，即，，所以是从以首项公比为3的等比数列，则，此时，令，，所以，故答案为：.15．已知数列满足且成等比数列，(1)求的通项公式：(2)设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值．【解析】（1）由知为等差数列，设的公差为，则，成等比数列，所以，即，解得，又，所以的通项公式为；（2）由（1）得，所以当时，取得最小值，最小值为16．已知数列是递增的等比数列，并且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，是数列的前n项和，证明：．【解析】（1）设数列的公比为，由，，得，两式相除，得，即，解得或（舍去），所以，所以．（2）证明：，所以，所以，所以．因为，所以，所以．17．1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分．第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了．以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理．问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？【解析】设最初的桃子数为，5只猴子分剩的桃子数依次为，由题意得

①，设，即，对照①式，得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以，所以，即．由于为整数，所以的最小值为，所以的最小值为．即最初至少有3121个桃子，从而最后至少剩下（个）桃子．18．已知数列的各项均为正实数，，且.(1)求证：数列是等比数列；(2)若数列满足，求数列的前项和的最小值.【解析】（1）∵，∴，其中，∴数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得，，∴，∵，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴，数列为递增数列，∴当时，有最小值，最小值为.【高考真题】1．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.【答案】①③④【解析】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.对于②，取则均为等比数列，但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，方程至多一个偶数解，当有奇数解，此方程即为，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，方程至多一个奇数解，因为，不可能同时成立，故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个