2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共14小题，共70分。1.若AB=(−1,2,3),BC=1,−1,−4，则A.2 B.5 C.5 2.已知a=x,1,3，b=1,3,9，如果a与b为共线向量，则A.1 B.12 C.13 3.若长方体的三条棱长分别是1，2，3，则它的外接球的表面积(

)A.28π B.14π C.56π D.32π4.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A.若m//α,n//α,则m//n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若m//α，m⊥n，则n⊥α5.如图所示，三棱锥O−ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示NM，则A.12(−a+b+c) 6.已知A2,−4,1,B2,−1,4,C1,−3,1，则AC与A.30∘ B.60∘ C.7.已知两条不同的直线m，n和平面α满足m⊥α，则“m//n”是“n⊥α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1A.64π B.48π C.36π D.32π9.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(

)

A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(4) D.(1)(5)10.在正三棱锥P−ABC中，AB=3，PA=23，则直线PA与平面ABC所成角的大小为(

)A.30° B.45° C.60° D.75°11.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，折起后点D记为D′.若BD′=1，则四面体ABCD′的体积为(

)A.212 B.223 12.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，AB=AD=2，则点A到平面PBD的距离为(

)A.23 B.63 C.13.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，▵ABC是边长为4的正三角形，AA1=2，N为棱A1B1上的中点，M为棱CC1上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点OA.π6 B.π4 C.π314.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1，∠GPI=∠IPK=∠KPG=θ，则上顶的面积为(

)

A.3sinθ B.32tanθ2 C.二、填空题：本大题共6小题，共30分。15.已知三角形ABC的三个顶点分别为A3,3,1，B1,1,5，C0,1,0，则AB的中点坐标为

；AB边上的中线长为

16.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥的表面积为

．17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=1，AB=2，则点D1到点B的距离等于18.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为CC19.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为C1D1，BC的中点，点P在正方体表面上运动，且DB1⊥平面20.如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直．P为棱AB上的动点，DQ⊥平面EPC，Q为垂足.给出下列四个结论：①EQ=CQ；②线段DQ的长随线段BP的长减小而增大；③存在点P，使得PQ//平面EDA；④存在点P，使得AQ⋅其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.设x,y∈R，向量a=(1,1,1),b=(1,y,1),c(1)求|a(2)求向量a+b与b22.如图，在三棱锥P−ABC中，▵PBC为等边三角形，点O为BC的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．(1)求证：直线AC⊥平面PBC；(2)已知E为PO的中点，F是线段AB上的点，AF=λAB.若EF⊥BC，求λ的值．23.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BD1(1)求证：EF//平面B1(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(i)平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；(ii)点A到平面CEF的距离．条件①：CE⊥B条件②：B1D与平面ADD注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．24.已知▵ABC中，AB⊥BC，BC=6，AB=3，分别取边AB,AC的点D,E，使得AD=2,DE//BC，将▵ADE沿DE折起到▵A1DE的位置，设点M为棱A1D的中点，点P为的A1B中点，棱(1)求证：MN//平面A1(2)试探究在▵ADE的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥N−PCE的体积为36，若存在，求出二面角A25.已知集合Rn=x1,xBb1,(1)当n=2时，以下命题正确的有__________(不需证明)：①若A1,2，B4,6，则②在▵ABC中，若∠C=90∘，则③在▵ABC中，若dA,B=d(2)当n=2时，证明R2中任意三点A,B,C满足关系d(3)当n=3时，设A0,0,0，B4,4,4，Px,y,zdA,P+dP,B=dA,B.求满足P点的个数n，并证明从这n个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.D

10.C

11.A

12.B

13.C

14.D

15.2,2,3

；

；

；

；

；

；16.3π

17.6

；318.319.320.①②③

21.(1)向量a=(1,1,1),b=(1,y,1),故1+y+1=0，解得y=−2．由于b//所以1z=1故b=(1,−2,1),所以a+故|a(2)由于b=(1,−2,1),c=(2,−4,2)故cosa

22.(1)因为▵PBC为等边三角形，点O为BC的中点，所以PO⊥BC，又平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PO⊂平面PBC，所以PO⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC，又AC⊥PB，PO∩PB=P,PO,PB⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC；(2)由(1)知，PO⊥BC，又EF⊥BC,PO∩EF=E,PO,EF⊂平面EOF，所以BC⊥平面EOF，又OF⊂平面EOF，所以OF⊥BC，又AC⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，则AC⊥BC，所以AC//OF，由O为BC中点，可得F为AB中点，由AF=λAB，可得λ=1

23.(1)连接BC1,B1C,相交于点G，连接由长方体的性质知，点E是BD所以EG//C1D而F是AB的中点，且AB//C1D所以BF//EG,BF=EG，所以四边形BFEG是平行四边形，所以EF//BG，又EF⊄平面B1BCC1，所以EF//平面B1(2)选择条件①：CE⊥B以D为原点建立空间直角坐标系，设DC=t(t>0)，则D(0,0,0),C(0,t,0),E1,所以CE=若CE⊥B1D，则CE(ⅰ)C(0,2所以CE=(1,−设平面CEF的法向量为n=(x,y,z)，则令x=1，则y=2,z=1设平面BCE的法向量为m=(a,b,c)，则令b=1，则a=0,c=2，所以所以cosn故平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为6(ⅱ)AF由(ⅰ)平面CEF的法向量为n=(1,所以点A到平面CEF的距离为|AF选择条件②：B1D与平面ADD以D为原点建立空间直角坐标系，设DC=t(t>0)，则D(0,0,0)，B1所以DB平面ADD1A因为B1D与平面ADD所以cosDB1(ⅰ)C(0,2所以CE=(1,−设平面CEF的法向量为n=(x,y,z)，则令x=1，则y=2,z=1设平面BCE的法向量为m=(a,b,c)，则令b=1，则a=0,c=2，所以所以cosn故平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为6(ⅱ)AF由(ⅰ)平面CEF的法向量为n=(1,所以点A到平面CEF的距离为|AF

24.(1)取A1E中点F，连接MF，如图所示：

∵M为棱A1D的中点，∴MF//DE且而▵ABC中，AB=3，AD=2，则DE//BC，且DE=23BC=4，∴MF//DE且MF=13BC=NC，∴四边形MFCN∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1(2)在▵ADE的折起过程中，存在一个位置，满足二面角A1−DE−B的大小为π3或2π3，使得三棱锥在▵ABC中，DE//BC，AB⊥BC，DE⊥AB；所以在立体图中，DE⊥A1D，DE⊥BD，A1D∩BD=D∴∠A1DB且DE⊥平面A1DB，∵DE⊂平面BCED，∴平面A在面A1DB内作PO⊥BD于则PO⊥平面BCED，∴PO为三棱锥P−NCE的高．S▵NCE=12NC⋅BD=所以A1到BD的距离为当∠A1DB为锐角时，sin所以符合要求的▵ADE的位置存在且二面角A1−DE−B的大小为π3

25.(1)当n=2时，①若A1,2，B4,6，则dA,B②在▵ABC中，若∠C=90∘，则AC2所以(而dA,BdA,C但2(x1③在▵ABC中，若dA,B=dA,C，在②中的点坐标，有x1−x2+y空格处填①(2)证明：设A(xx1−x所以d(A,C)+d(B,C)≥d(A,B).，(3)d(A,B)=12，x+x−4≥4,y又由已知dA,P+dP,B又x,y,z∈Z，∴x,y,z=0,1,2,3,4，5×5×5=125，点P是以AB为对角线的正方体内部(含面上)的整数点，共125个，n=125．这125个点在z=0,z=1,z=2,z=3,z=4这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为V=1现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点(显然不共线)，若这三点在z=1,z=2,z=3这三个平面中的