2024-2025学年高中数学第三章概率单元质量评估二习题含解析新人教A版必修3

第三章单元质量评估(二)eq\o(\s\up7(时间：120分钟满分：150分),\s\do5())一、选择题(每小题5分，共60分)1．抛掷一枚骰子，记事务A为“落地时向上的点数是奇数”，事务B为“落地时向上的点数是偶数”，事务C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事务D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事务是互斥事务但不是对立事务的是(C)A．A与BB．B与CC．A与DD．C与D解析：A与B是对立事务，B与C既不是互斥事务也不是对立事务，A与D是互斥事务但不是对立事务，C与D既不是互斥事务也不是对立事务，选C.2．在给连体婴儿动手术之前，外科医生会告知病人家属一些状况，其中有一项是这种手术的胜利的概率大约是65%.下列说明正确的是(D)A．65%的医生能做这个手术，另外35%的医生不能做这个手术B．这个手术肯定胜利C．100个手术有65个手术胜利，有35个手术失败D．这个手术胜利的可能性大小是65%解析：胜利的概率大约是65%，说明手术胜利的可能性大小是65%，故选D.3．某地区中学达标校分为三个等级，一级达标校共有3000名学生，二级达标校共有3900名学生，三级达标校共有4100名学生，若实行分层抽样的方法抽取1000名学生，则一级达标校中的学生甲被抽到的概率为(B)A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,11)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,3000)解析：因为总体的个数为3000＋3900＋4100＝11000，实行分层抽样的方法抽取1000名学生，由于每个个体被抽到的概率都相等，所以一级达标校中的学生甲被抽到的概率P＝eq\f(1000,11000)＝eq\f(1,11)，故选B.4．小陈与小李两人相约去游玩，他们约定各自独立地从1～5号景点中任选4个进行巡游，每个景点参观1小时，则最终1小时他们在同一个景点的概率为(C)A.eq\f(1,25)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5)D.eq\f(2,5)解析：若用1,2,3,4,5代表5个景点，明显最终1小时，小陈、小李两人各选择一个景点巡游的结果数为25，其中两人在同一个景点有5种结果，所以最终1小时他们在同一个景点的概率为eq\f(5,25)＝eq\f(1,5)，故选C.5．已知函数f(x)＝log2x，x∈[1,8]，则1≤f(x)≤2成立的概率是(B)A.eq\f(1,7)B.eq\f(2,7)C.eq\f(3,7)D.eq\f(4,7)解析：由1≤f(x)≤2可知1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，由几何概型可知P＝eq\f(2,7)，选B.6．如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是eq\f(1,3)，则小狗图案的面积是(D)A.eq\f(π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(8π,3)D.eq\f(16π,3)解析：设小狗图案的面积为S1，圆的面积S＝π×42＝16π，由几何概型的概率计算公式得eq\f(S1,S)＝eq\f(1,3)，得S1＝eq\f(16π,3).故选D.7．在五个数字5,6,7,8,9中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是(B)A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5)D.eq\f(7,10)解析：列举出从五个已知数字中随机取出三个数字后剩下两个数字的全部可能状况：{5,6}，{5,7}，{5,8}，{5,9}，{6,7}，{6,8}，{6,9}，{7,8}，{7,9}，{8,9}，共有10种状况，剩下两个数字都是奇数的可能状况：{5,7}，{5,9}，{7,9}，共有3种状况，所以所求概率P＝eq\f(3,10)，故选B.8．一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是(A)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：设3只白兔分别为b1，b2，b3,2只灰兔分别为h1，h2，则全部可能的状况有(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1，b3)，(h2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共20种，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的状况有12种，∴所求概率为eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).9．有一个边长为2米的正方体房间，每个墙角都安装有一个可歼灭四周1米范围内的蚊子的灭蚊器(自身体积可忽视)，若一只蚊子随机出现在该房间的某处，则它被灭蚊器歼灭的概率为(A)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：设“蚊子被灭蚊器歼灭”为事务A，由题知，墙角安装有一个可歼灭四周1米范围内的蚊子的灭蚊器，其覆盖区域为eq\f(1,8)个以正方体顶点为球心，1为半径的球体，正方体的8个顶点覆盖区域合计为1个球体．则P(A)＝eq\f(V球,V正)＝eq\f(\f(4,3)π,8)＝eq\f(π,6).10．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，全部人同时抛起自己的硬币．硬币落下后若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人接着坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为(B)A.eq\f(1,4)B.eq\f(7,16)C.eq\f(1,2)D.eq\f(9,16)解析：由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率．四个人同时抛硬币，共有24＝16种不同的状况，其中两个人的硬币同为正面时须要站起来的状况有4种，三个人须要站起来有4种状况，四个人都站起来有1种状况，所以有相邻的两个人站起来的概率P＝eq\f(4＋4＋1,16)＝eq\f(9,16).故没有相邻的两人站起来的概率P＝1－eq\f(9,16)＝eq\f(7,16).11．从区间[－1,1]上随机抽取实数x，y，则|x|＋2|y|≤1的概率为(B)A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：由几何概型得，|x|＋2|y|≤1在区间[－1,1]上所形成的区域的面积S1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，总面积S＝2×2＝4，则所求概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(1,4)，故选B.12．周三下午第一节40分钟的自习课，小聪和小明分别去老师办公室单独请罗老师讲解数学疑难问题，两人在自习课内的任何时刻去是等可能的，若罗老师给每个人讲解的时间都是10分钟，则罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突的概率为(C)A.eq\f(7,16)B.eq\f(3,4)C.eq\f(9,16)D.eq\f(1,2)解析：设上课起先的时刻为第0分钟，小聪和小明到达老师办公室的时刻分别为第x分钟和第y分钟，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤40，,0≤y≤40，))若罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突，则x，y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤40，,0≤y≤40，,|x－y|>10，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤40，,0≤y≤40，,x－y>10，,y－x>10，))令事务A为罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突，则总的基本领件空间为如图所示的正方形，其中事务A构成的基本领件空间为正方形中的阴影部分．于是P(A)＝eq\f(\f(1,2)×30×30×2,40×40)＝eq\f(9,16)，即罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突的概率为eq\f(9,16)，故选C.二、填空题(每小题5分，共20分)13．在区间[－3,5]上随机地取一个数x，则关于x的不等式2－m≤x≤1＋m成立的概率为eq\f(3,8)，则实数m的值为2.解析：依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m≤1＋m，,\f(1＋m－2－m,5－－3)＝\f(3,8)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥\f(1,2)，,m＝2，))解得m＝2.14．某县打算从5名报名者(其中男性3名，女性2名)中选2人参与副局长职务的竞选，则所选2人均为女性的概率为eq\f(1,10).解析：设5人中的3名男性分别为a，b，c,2名女性分别为D，E，所以从这5人中选2人的全部基本领件有{a，b}，{a，c}，{a，D}，{a，E}，{b，c}，{b，D}，{b，E}，{c，D}，{c，E}，{D，E}，共10个，其中2人均为女性的基本领件有{D，E}，共1个，所以所选2人均为女性的概率为eq\f(1,10).15．某棋类嬉戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如玩家一起先掷出的骰子点数为3，则走到炸弹所在位置)，若踩到炸弹，则返回起点重新起先，若达到终点，则嬉戏结束．现在已知小明掷完三次骰子后嬉戏恰好结束，则全部不同的状况种数为21.解析：全部不同的状况种数有(3,4,5)，(3,6,3)，(3,5,4)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1,2)，(6,2,1)．共21种．16．关于圆周率π，数学发展史上出现过很多很有创意的求法，如闻名的蒲丰试验和查理斯试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个两数都小于1的正实数对(x，y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边长的数对(x，y)的个数m；最终再依据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝56，那么可以估计π≈eq\f(78,25).(用分数表示)解析：由题意知，200个两数都小于1的正实数对(x，y)满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，))对应图形面积为1，两个数能与1构成钝角三角形的三边长的数对(x，y)满意x2＋y2<1且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,x＋y>1，))对应图形的面积为eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，因为统计两数能与1构成钝角三角形三边长的数对(x，y)的个数m＝56，所以eq\f(56,200)≈eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，∴π≈eq\f(78,25).三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)某医院一天内派出下乡医疗的医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.18．(本小题12分)在甲、乙等5位学生参与的一次社区专场演唱会中，每位学生的节目集中支配在一起演出，若采纳抽签的方法随机确定各位学生的演出依次(序号为1,2,3,4,5)．(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率；(2)甲、乙两人的演出序号不相邻的概率．解：甲、乙两人可能被排在1,2号；1,3号；1,4号；1,5号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4号；3,5号；4,5号，共10种情形．其中甲、乙两人至少有一人被支配在偶数号的情形有：1,2号；1,4号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4号；4,5号，共7种．甲、乙两人被支配在不相邻的演出序号的情形有：1,3号；1,4号；1,5号；2,4号；2,5号；3,5号，共6种．(1)记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”为事务A，则P(A)＝eq\f(7,10).(2)记“甲、乙两人的演出序号不相邻”为事务B，则P(B)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).19．(本小题12分)某市为了成为宜商、宜居的国际化现代新城，在该市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对这两个城区的16个厂家进行评估，综合得分状况如茎叶图所示．(1)依据茎叶图推断哪个城区的厂家的平均分较高；(2)规定85分以上(含85分)为优秀厂家，若从这两个城区各选1个优秀厂家，求得分差距不超过4的概率．解：(1)依据茎叶图，可知东城区的厂家的平均分为eq\f(1,8)×(78＋79＋79＋87＋88＋89＋93＋94)＝85.875.西城区的厂家的平均分为eq\f(1,8)×(72＋79＋81＋83＋84＋85＋94＋95)＝84.125.因为85.875>84.125，所以东城区的厂家的平均分较高．(2)东城区、西城区的优秀厂家分别有5家、3家．从这两个区域各选一个优秀厂家，共有15种不同的取法，其基本领件分别为(东87，西85)，(东87，西94)，(东87，西95)，(东88，西85)，(东88，西94)，(东88，西95)，(东89，西85)，(东89，西94)，(东89，西95)，(东93，西85)，(东93，西94)，(东93，西95)，(东94，西85)，(东94，西94)，(东94，西95)．其中满意得分差距不超过4的基本领件有7种，分别为(东87，西85)，(东88，西85)，(东89，西85)，(东93，西94)，(东93，西95)，(东94，西94)，(东94，西95)．所以所求概率P＝eq\f(7,15).20．(本小题12分)某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：小时)，停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：停靠时间2.533.544.555.56轮船数量12121720151383(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船须要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必需等待的概率．解：(1)a＝eq\f(1,100)×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.(2)设甲船到达的时间为x时，乙船到达的时间为y时，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤24，,0≤y≤24，))若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船须要等待，则|y－x|<4，|y－x|<4表示的区域如图中阴影部分所示，所以必需等待的概率P＝1－eq\f(202,242)＝eq\f(11,36).21．(本小题12分)x的取值范围为[0,10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x.(1)请写出程序框图所表示的函数表达式；(2)求输出的y满意y<5的概率；(3)求输出的y满意6<y≤8的概率．解：(1)由已知可得程序框图所表示的函数表达式是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，7<x≤10，,x＋1，0≤x≤7.))(2)当y<5时，若输出y＝x＋1(0≤x