2024-2025学年高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式学案含解析北师大版必修3

PAGE§2古典概型2．1古典概型的特征和概率计算公式学问点古典概型及基本领件[填一填]1．古典概型定义假如一个概率模型满意：(1)试验的全部可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个结果出现的可能性相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．2．基本领件在一次试验中，全部可能发生的基本结果中不能再分的最简洁的随机事务称为该次试验中的基本领件．试验中其他的事务(除不行能事务外)都可以用基本领件来描绘．3．古典概型的概率计算公式对于古典概型，假如试验的全部可能结果(基本领件)数为n，随机事务A包含的基本领件数为m，那么事务A的概率规定为P(A)＝eq\f(m,n).[答一答]利用古典概型计算公式求等可能事务概率的步骤是什么？提示：第一步：“读”，即反复阅读题目，收集题目中的各种信息；其次步：“判”，推断试验是否为古典概型，若为古典概型，则进行第三步；第三步：“列”，列举出全部基本领件，并数出试验的基本领件总数及所求事务包含的基本领件数；第四步：“算”，利用古典概型的概率计算公式计算所求事务的概率．P(A)＝eq\f(m,n)是计算古典概型概率的基本公式．依据这个公式计算概率时，关键在于求出n、m，因此，首先要正确理解基本领件与事务A的相互关系．基本领件是一次试验中不能再分的最简洁的随机事务，其他事务可以用它来描绘．假如同时抛掷两枚匀称硬币，一共出现四个等可能的结果：正正、反反、正反、反正，不能把一正一反看做一个基本领件(因为这一事务包括“正反”“反正”这两种结果)，否则基本领件就不等可能了．而事务A则不同，它可能仅含一个基本领件，也可能包含多个基本领件．因此在求n时必需强调n个基本领件必需等可能，同时在求m时，事务A中包含的每个基本领件也必需是等可能的.类型一古典概型的推断【例1】袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区分于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？假如把每个球的编号看作是一个基本领件概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为基本领件，有多少个基本领件？以这些基本领件建立概率模型，该模型是不是古典概型？【思路探究】由题目可获得以下主要信息：①袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球．②每球有一个区分于其他球的编号，现从中摸一球．解答本题可先确立概率模型以及它是由哪些基本领件所构成，然后再推断该模型是否满意古典概型的特点，进而确定是否为古典概型．【解】(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为全部球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本领件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本领件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为全部球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为eq\f(1,11)，而白球有5个，故一次摸球摸中白球的可能性为eq\f(5,11)，同理可知摸中黑球、红球的可能性均为eq\f(3,11)，明显这三个基本领件出现的可能性不相等，所以以颜色为基本领件的概率模型不是古典概型．规律方法针对这个类型的题目，首先看这个概率模型是由哪些基本领件所构成的，然后再探讨这些基本领件的个数是否有限，出现的可能性是否相等．另外需留意的是基本领件的选择不同，结果可能有所不同．(1)在数轴的0～3之间任取一点，你认为该试验是古典概型吗？为什么？若是，则求此点的坐标小于1的概率．(2)从1,2,3,4四个数中随意取出两个数，你认为该试验是古典概型吗？为什么？若是，则求所取两数之一是2的概率．解：(1)在数轴的0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满意古典概型的特征“有限性”，因此不属于古典概型．(2)因为此试验的全部基本领件共6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事务的出现是等可能的，因此属于古典概型，两数之一是2的概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).类型二基本领件的个数推断【例2】一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个基本领件？(2)“2个都是白球”包含几个基本领件？【思路探究】将结果一一列举，再计算基本领件数．【解】(1)方法1：采纳列举法．分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则基本领件如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共10个(其中{1,2}表示摸到1号球和2号球)．方法2：采纳列表法．设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：abcdea{a，b}{a，c}{a，d}{a，e}b{b，a}{b，c}{b，d}{b，e}c{c，a}{c，b}{c，d}{c，e}d{d，a}{d，b}{d，c}{d，e}e{e，a}{e，b}{e，c}{e，d}由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到{b，a}与{a，b}是相同的事务，故共有10个基本领件．(2)由(1)中方法1知，“2个都是白球”包含{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个基本领件；由(1)中方法2知，“2个都是白球”包含{a，b}，{b，c}，{a，c}，共3个基本领件．规律方法探求基本领件个数的三种方法(1)列举法：适用于基本领件个数不是许多，可以把基本领件一一列举出来的状况，但列举时必需依据肯定的依次，做到不重不漏．(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的基本领件个数的求解问题．通常把基本领件归结为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是精确、全面、不易遗漏．(3)树状图法：适合较困难问题中基本领件的探求．一般须要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．树状图法若是有依次问题，只需作一个树状图然后乘以元素个数即可．留意：(1)基本领件是最简洁的随机事务；(2)不同的基本领件不行能同时发生．口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按依次依次从中摸出1个球，求基本领件的个数．解：我们把2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4，于是4个人按依次依次从袋中摸出1个球的全部可能结果用树状图表示如图所示．由图知共24个基本领件．类型三古典概型的概率计算【例3】从3名男同学和2名女同学中选一名学生代表，假如每个同学当选的可能性相同．(1)共有多少种选举结果？(2)男同学当选的结果有几种？计算男同学当选的概率．(3)女同学当选的结果有几种？计算女同学当选的概率．【思路探究】由条件知，每个同学当选的可能性相同，所以是古典概型．【解】(1)∵每个同学都有可能当选．∴共有5种选举结果．(2)∵共有3个男同学．∴男同学当选的结果有3种，记男同学当选为事务A，∵5个基本领件是等可能事务，A中包含其中3个，∴P(A)＝eq\f(3,5).(3)∵共有2个女同学，∴女同学当选的结果为2种，记女同学当选为事务B，∵5个基本领件是等可能事务，B中含有其中2个，∴P(B)＝eq\f(2,5).规律方法求古典概型的概率的步骤：①反复阅读题目，收集整理题目中各种信息；②推断试验是否属于古典概率，并用字母表示全部基本领件；③计算基本领件的个数n及事务A中包含的基本领件的个数m；④计算事务A的概率P(A)＝eq\f(m,n).从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的肯定值为2的概率是(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：本题考查古典概型的概率，从1、2、3、4中任取两个不同的数共有6种不同结果(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满意差的肯定值为2的结果有(1,3)和(2,4)两种，所以概率为eq\f(1,3)，选B.弄清题目所考查的是哪一类概率问题是本题的关键，在求解过程中不要数重或漏数．类型四古典概型与其他学问的综合【例4】随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图，如图．(1)依据茎叶图推断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．【解】(1)由茎叶图可知，甲班身高集中在162～179cm之间，而乙班身高集中在170～179cm之间．因此乙班平均身高高于甲班．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182,10)＝170，甲班的样本方差为eq\f(1,10)[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设“身高为176cm的同学被抽中”的事务为A.从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本领件，而事务A包含4个基本领件，所以P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).规律方法概率问题常与统计问题结合在一起考查，在此类问题中，概率与频率的区分并不是非常明显，通常干脆用题目中的频率代替概率进行计算．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事务A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根意味着Δ＝(2a)2－4b2≥0，即a≥b基本领件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个，其中第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值，而事务A包含9个基本领件，故事务A发生的概率为P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).——规范解答——数形结合思想巧解古典概型概率【例5】(12分)先后抛掷两枚大小相同的骰子．(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；【思路点拨】明确先后掷两枚骰子的基本领件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本领件状况．【满分样板】如图所示，从图中简洁看出基本领件与所描点一一对应，共36种.3分(1)记“点数之和出现7点”为事务A，从图中可以看出，事务A包含的基本领件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).8分(2)记“出现两个4点”为事务B，从图中可以看出，事务B包含的基本领件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝eq\f(1,36).12分【思维启迪】1.在求概率时，若事务可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本领件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们精确地找出某事务所包含的基本领件个数．2．数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来便利．抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．解：如图，基本领件共有36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事务为A，从图中可以看出，事务A包含的基本领件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A)＝eq\f(1,4).(2)记“点数之和大于5小于10”的事务为B，从图中可以看出，事务B包含的基本领件共有20个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)＝eq\f(5,9).一、选择题1．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，假如允许生育两胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是(C)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：事务“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本领件，即(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故两胎均为女孩的概率是eq\f(1,4).2．下列是古典概型的为(C)A．随意抛掷两枚骰子，所得点数之和为基本领件B．为求随意的正整数的平方的个