2024-2025学年高中数学第三章概率3.2.1古典概型学案含解析新人教A版必修3

PAGE3．2古典概型3．2.1古典概型[目标]1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会用列举法计算一些随机事务所含的基本领件数及事务发生的概率；3.驾驭利用概率的性质求古典概型的概率的方法．[重点]古典概型的概率及其概率计算．[难点]应用列举法求古典概型的概率．学问点一基本领件[填一填]1．基本领件的定义在一次试验中，列举出试验完成可能发生并且不能再细分的随机事务；其他事务(不行能事务除外)都可以用它们来表示．这样的随机事务叫这个试验的基本领件．2．基本领件的特点(1)任何两个基本领件是互斥的；(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成基本领件的和．[答一答]1．基本领件是最简洁的随机事务吗？提示：基本领件是试验中不能再分的最简洁的随机事务．学问点二古典概型[填一填]1．古典概型的特点①试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；②每个基本领件出现的可能性相等．2．古典概型的概率公式对任何事务A，P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数).[答一答]2．在区间[2013,2014]上任取一个实数的试验，是不是古典概型？提示：不是，因为在区间[2013,2014]上任取一个实数，是无限的．不符合试验结果有有限个的古典概型特点．3．掷一枚不匀称的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？提示：不是．因为骰子不匀称，所以每个基本领件出现的可能性不相等，不满意特点②.4．如何用集合的观点理解古典概型的概率公式？提示：在一次试验中，等可能出现的n个结果可以组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素．各个基本领件都对应着集合I的只含1个元素的子集，包含m个结果的事务A就对应着集合I的包含m个元素的子集A′.从集合的角度看，如图所示，事务A的概率就是子集A′的元素个数card(A′)与集合I的元素个数card(I)之比，即P(A)＝eq\f(cardA′,cardI)＝eq\f(m,n).类型一古典概型的推断[例1]推断下列试验是否为古典概型：(1)在数学的标准化考试中，选择题都是单选题，一般从A，B，C，D四个选项中选择一个正确的答案．若一位考生遇到一道题，他能确定地解除一个选项，他必需从其他的三个选项中选出正确的答案；(2)连续投掷一枚硬币两次．基本领件为：两次都是正面朝上，一次正面朝上一次反面朝上，一次反面朝上一次正面朝上，两次都是反面朝上；(3)同时投掷两枚完全相同的骰子，全部可能的结果记为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)共21个基本领件．[解](1)不是，因为四个选项被选出的概率不同．被解除的选项被选取的概率为0，另外三个选项被选取的概率为eq\f(1,3)；(2)是；(3)不是，因为构造的21个事务不是等可能事务，如事务(1,1)，(1,2)的概率分别为eq\f(1,36)，eq\f(1,18).推断一个试验是否是古典概型必需满意两个条件：试验中全部可能出现的基本领件是有限个；每个基本领件发生的可能性相等，两个条件缺一不行，特殊是其次个条件很简洁被忽视.[变式训练1]一个长为2m，宽为1m的纱窗，由于某种缘由，纱窗上有一个半径为10cm的小孔，现随机向纱窗投一粒沙子，求小沙子恰好从孔中飞出的概率，问此试验是否属于古典概型，为什么？解：不是古典概型，缘由是随机向纱窗投一粒沙子，沙子可以击在纱窗的任一位置，试验结果有无限多种可能，不满意古典概型的条件①，即不满意试验的可能结果是有限的．故不是古典概型．类型二简洁的古典概型的问题[例2]有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；(2)从这些一等品中，随机抽取2个零件，①用零件的编号列出全部可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．[解](1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事务A，则P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)①一等品的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品中随机抽取2个，全部可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事务B，则B包含的基本领件有{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共6种，∴P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).依据古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本领件个数,基本领件总数)＝eq\f(m,n)进行解题．[变式训练2]抛掷两颗骰子，求点数之和大于或等于9的概率．解：将抛掷两颗骰子的全部结果列表如下：可知基本领件共有6×6＝36个．记“点数之和大于或等于9”的事务为A，则从表中可以得出，事务A包含的基本领件有10个，即(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，故P(A)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).类型三较困难的古典概型问题[例3]某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动．参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.嘉奖规则如下：①若xy≤3，则嘉奖玩具一个；②若xy≥8，则嘉奖水杯一个；③其余状况嘉奖饮料一瓶．假设转盘质地匀称，四个区域划分匀称．小亮打算参与此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率．(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解]用数对(x，y)表示儿童两次转动转盘记录的数，其活动记录与嘉奖状况如下：明显，基本领件总数为16.(1)xy≤3状况有5种，所以小亮获得玩具的概率＝eq\f(5,16).(2)xy≥8状况有6种，所以获得水杯的概率＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).所以小亮获得饮料的概率＝1－eq\f(5,16)－eq\f(3,8)＝eq\f(5,16)<eq\f(3,8)，即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．解决有序和无序问题应留意两点(1)关于不放回抽样，计算基本领件个数时，既可以看作是有依次的，也可以看作是无依次的，其最终结果是一样的．但不论选择哪一种方式，视察的角度必需一样，否则会产生错误．(2)关于有放回抽样，应留意在连续取出两次的过程中，因为先后依次不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本领件．[变式训练3]某商场实行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，登记编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率．(2)求中奖的概率．解：设“中三等奖”为事务A，“中奖”为事务B，从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A)＝eq\f(7,16).(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)；两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．则中奖概率为P(B)＝eq\f(7＋2＋1,16)＝eq\f(5,8).1．下列不是古典概型的是(C)A．从6名同学中，选出4人参与数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：C中每种结果出现的可能性不相等，故选C.2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(B)A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：5个点中任取2个点共有10种方法，若2个点之间的距离小于边长，则这2个点中必需有1个为中心点，有4种方法，于是所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故选B.3．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为eq\f(2,3).解析：甲、乙、丙三人随机地站成一排有6种方法：甲乙丙、甲丙乙、乙丙甲、乙甲丙、丙甲乙、丙乙甲，其中甲、乙相邻的有4种．故所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).4．将一枚硬币先后抛掷两次，恰好出现一次正面的概率是eq\f(1,2).解析：先后抛掷一枚硬币的全部基本领件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共四个基本领件，“恰好出现一次正面”包含2个基本领件，∴P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).5．某地区有小学21所，中学14所，高校7所，现实行分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、高校中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出全部可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)从小学、中学、高校中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所高校记为A6，则抽取2所学校的全部可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A