2024-2025学年重庆市高二年级上册第三次（12月）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市高二上学期第三次（12月）数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.如图所示，两条异面直线。力所成的角为60。，在直线。力上分别取点4,E和点

A,F,使且44U6.已知HE=3,/尸=4,"=7,则线段44'的长为（）

A.2cB.4C.6或2芯D.4或26

2.如图，在多面体防-/BCD中，底面48。是边长为1的正方形，M为底面

48CD内的一个动点（包括边界），底面底面且

AE=CF=2,则施.砺的最小值与最大值分别为（）

7C.1,557

A.—,4B.3,4D.

2252

3.经过点-0,-1）作直线/,若直线/与连接/（T2）,8（2,1）两点的线段总有公共点，

则直线/的倾斜角&的取值范围是（）

A.[0,兀）B.0,：上仁，兀j

兀3兀]「兀兀、（兀3兀

_44J|_42J（24」

4.已知两直线4:3%+4>-14=0,/2：（。一2）%+4》+。=0,若（〃"，则4与4间的距离为

5.已知点"（2,0）,N（6,4）,则以MN为直径的圆的方程为（）

A.(X+4)2+(J-2)2=16B.(x-4)2+(y+2)2=8

C.(X-4)2+(J；-2)2=16D.(JC-4)2+(J-2)2-8

22

6.已知椭圆C:\+4=l(a>6>0)的右焦点为尸，过点尸且斜率为1的直线与。交于

ab

48两点，若SQF=2S.OBF(。为坐标原点，S表示面积)，则。的离心率为

()

A.yB.—C.—D.—

2233

22

7.已知双曲线C：十的左、右焦点分别为耳，区,过百的直线与

。的左支交于4,3两点，且丽=2踮，ZABF2=90°,则C的渐近线为()

A_2723亚「_V6口

A.y—i+------xD•y—i------xC.y=±+xD.v=±------x

3422

8.已知抛物线V=2px(0>O)的焦点为尸，准线/与x轴交于点H,过焦点厂的直线

交抛物线于A,5两点，分别过点A,B作准线/的垂线，垂足分别为4，B、,如图

所示，则

①以线段43为直径的圆与准线/相切；

②以44为直径的圆经过焦点厂；

③A,O,Bl(其中点O为坐标原点)三点共线；

④若已知点A的横坐标为m,且已知点-0),则直线。与该抛物线相切;

则以上说法中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、多选题(本大题共3小题)

9.已知直三棱柱43C-48G中，4B=AC=A^=2,4B_LAC,点E为Bg的中点，则

下列说法正确的是（）

B.48"/平面4CE

C.异面直线/£与4c所成的角的余弦值为心D.点4到平面/CE的距

12

离为空

5

10.已知点4（0,2）,60,；］,曲线C1是满足口划=2憾可的点M的轨迹，R。分别是曲

线G与圆。2：（》-3）2+5+4）2=/&>0）上的动点，则下列说法正确的是（）

A.若曲线G与圆G有公共点，贝IJ4VT6

B.若r=2百，则两曲线交点所在直线的方程为3x-4y-7=0

C.若r=3,则|尸。|的取值范围为［L9］

D.若厂=2,过点尸作圆G的两条切线，切点分别为E,尸，则存在点尸，使得

NEPF=三

2

11.在平面直角坐标系中，已知点/（-1,0）,8（1,0）,点加是平面内的一个动点，则下

列说法正确的是（）

A.若||拓i|-|祓||=1,则点"的轨迹是双曲线

B.若|而|+|而|=2,则点M的轨迹是椭圆

C.若|疝|=|砺则点M的轨迹是一条直线

D.若疝.砺=2，则点M的轨迹是圆

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知平面内的动点尸到两定点/(2,0),8(4,0)的距离分别为|尸国和忸同，且

PA1

渴=5，则点尸到直线3x-4y+6=0的距离d的取值范围为_.

22q

13.已知椭圆3+乙=1,>2#)的左、右焦点分别为片，F2,若过片且斜率为:的

直线与椭圆在第一象限交于点P,且电・M=0,则。的值为.

14.如图，在空间四边形CM3C中，2丽=况，点E为40的中点，设

OA=a,OB=b,OC^c,OA=OC=4,OB=\AAOC=ZBOC=ZAOB=60°,则试用向量

1,3,1表示向量瓦=；OEAC=.

四、解答题(本大题共5小题)

15.如图，在棱长为2的平行六面体/BCD-44G4中，ZAlAB=AAXAD=ABAD=60°.

(i)求线段的长度；

(2)求直线4。与直线GO的夹角的余弦值.

16.已知过抛物线「=2px(p>0)的焦点，斜率为2夜的直线交抛物线于/(国,%)，

Q

2(%，%)(西<X2)两点，且网=

(1)求该抛物线的方程；

(2)0为坐标原点，求△CUB的面积.

17.在平面直角坐标系xOy中，己知/(3,0),满足|尸。|=2|取|的点尸(xj)形成的曲

线记为£

(1)求曲线E的方程；

(2)0是直线2x-y+2=0上的动点，过点0作曲线E的切线，切点分别为3,C.求切

线长|”|的最小值，并求出此时直线BC的方程.

18.若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每

一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，

则称该圆为集合A的包络圆.

⑴若圆£:#+y=4是集合［={(x,y)|"+勿=2}的包络圆.

(i)求a,b满足的关系式；

(ii)若3a+4b+f=0,求f的取值范围；

(2)若集合/={(x,y)|尤cose+(y+6)sine+60=O,eeR}的包络圆为C,尸是。上任意一

点，判断歹轴上是否存在定点N,使得?=42,若存在，求出点M,N的坐

|尸N|3

标；若不存在，请说明理由.

22

19.定义：若椭圆C京+方=l(a>b>0)上的两个点Z(Xl，%),8(x2，y2)满足

华+噜=0,则称48为该椭圆的一个“共甄点对”.

ab

22

如图，48为椭圆。：巳+3=1的“共粗点对”，己知/(3,1),且点3在直线/上，直线/

过原点.

(1)求直线/的方程；

⑵已知R。是椭圆C上的两点，。为坐标原点，且尸。〃CM.

(i)求证：线段P。被直线/平分；

(ii)若点B在第二象限，直线/与相交于点点N为尸B的中点，求△印0V面

积的最大值.

答案

1.【正确答案】C

【详解】过A作直线/,使得///a,在直线/上取/O=/'E,连接。瓦。尸，如下图:

因为a〃/,且AA'la,所以AA'11,

因为44'_L6,lcb=A,设l,bua,所以443a,

因为4E///O,且/'£=/。，所以44"/。£,AA'=OE,则OE_La,

由图可知。尸ua,则。E_L。尸，

因为异面直线。,6所成的角为60。，且〃/a,所以/CUb=60。或NQ4F=120。,

当NCUb=60。时，在AOE4中，由余弦定理可得

OF2=OA2+AF2-2-OA-AF-cosZOAF,贝UO尸=店，

在RSEO尸中，OE-+OF-=EF-,解得44'=。£=6；

当NQ4尸=120。时，在AOE4中，由余弦定理可得

OF2=OA2+AF2-2-OA-AF-cosZOAF,贝I。尸=历，

在RSEOb中，OE2+OF2=EF2,解得44'=O£=2G.

故选：C.

2.【正确答案】A

【详解】因为底面48aU248u平面

所以/E_LAD,/E_L,

因为四边形/BCD为正方形，所以4DJ.AB,

所以/。,48,4£两两垂直，

所以以42,NE所在的直线分别为龙产,2轴建立空间直角坐标系，

则E(0,0,2),F(l,L2),

设M(a,6,0)(0<a<l,0<b<l),则标=(一a,-6,2),/=(1一a,1-6,2),

所以标•访=_。(1_。)_6(1_力+4=/j+62_6+4

因为0Wa41,0V641,

17

所以当=5时，症.砺取得最小值1；

当“=0或1,6=0或1时，ME-MF取得最大值4.

故选：A

3.【正确答案】C

【详解】

如图所示，设直线/的倾斜角为a,ee[0,7i),

-1-2,-1-1

贝Ukpq———1,kPPRB=-1,

人JPA0-(-3)0-2

•・•直线/与连接4-3,2),8(2,1)的线段总有公共点,

:.k>l^k<-l,BPtana>1aKtana<-1,

又ae(0,it],则有ae[丁1].

故选：C.

4.【正确答案】D

3X4=4("2)

【详解】因为4〃4，所以4^(-14)x4>解得-5,

所以4:3x+4>-14=0,4：3x+4y+5=0,

19

由平行线之间的距离公式可得.△=

A/32+42y

故选：D.

5.【正确答案】D

【详解】因为M(2,0),N(6,4),

线段MV的中点为(4,2),|AGV|=J(6-2『+(4-0/=4府,

所以以线段"N为直径的圆的圆心坐标为(4,2),半径厂=2/,

所以线段跖V为直径的圆的方程为(x-4『+(y-2)2=8.

故选：D.

6.【正确答案】D

【详解】设椭圆C的半焦距为。(c>0)I(c,0),则直线N8的方程为》=>+。,

x=y+c,

设力(当)1),8(>242)，由

L2b2'

得(/+〃)/+2620一/=0,因为点尸在c的内部，所以

262cb4

\>0,y+y

t2=―/Z必/%一滔T庐

又S&OAF=2sqBF,所以M=—2%，

2b2c2b2c462c

将y\二—2%代入%+%=—,可得%=

a2+b2a1+b2

A4

再将弘,为代入—z—7TJ可得/+62=8/,a2=b2+c2,所以2/=9/,

一a+b

故C的离心率e=£=包.

a3

故选：D.

7.【正确答案】A

【分析】由题意设忸耳|=x,则|月片|=2x,根据双曲线定义可得|/用=2a+2x,

\BF^2a+x,在WB，48月工中分别利用勾股定理可求得答案.

【详解】如图.设忸图=x,\AFt\=2x,则I盟|=2a+2x,

\BF2\=2a+x,在△/S工中由勾股定理：

(3x『+(2a+x『=(2a+2x)2,解得：x=^a,

在△瓦笆中，由勾股定理：+[2。+：，=4c2

c228

所

以

解得----

a229

所以渐近线方程为.y=±，x

3

故选：A.

8.【正确答案】D

【详解】对于①，设M典=〃,忸尸1=6,MOH|=a,\BB]=b,

所以线段48的中点到准线的距离为山=四，

22

所以以线段为直径的圆与准线/相切，故①正确；

对于②，连接4尸,耳尸，如图，

因为|同=|阳,\BB\=\BF\,DBAAt+B4BB(=180°,

所以180°-2B/F4+180。-2DBFBi=180°,所以2(44%+/BF3J=180°,

所以i)AFAl+SBFBi=90°即//尸⑸=90°,

所以以4月为直径的圆经过焦点尸，故②正确;

对于③，设直线48：x=%y+f,4（%,乃）,8（々,%）,

将直线方程代入抛物线方程化简得「一20叩-"=o,A〉。，贝ij弘%=一22

2

又为二&,乂)二P

6

因为三=T必力必，

2p2

所以厉=-、；砺，所以A,

。，用三点共线，故③正确;

P

对于④，不妨设4k0,^2。/),则左.2px。

2%

,代入抛物线方程化简得/-201^|^+2川。=0,

贝罐线"：x=一X。

贝必=\20伶

•px0=0，

所以直线刀4与该抛物线相切，故④正确.

故选：D.

9.【正确答案】ABD

【详解】如图，建立空间直角坐标系/-孙z,

则3(0,2,0),C(2,0,0),4(0,2,2)<(2,0,2),4(0,0,2),幻,1,2).

A:AE=(1X2),AB=(0,2,0),AC=(2,0,0),才产(0,0,2),

所以:罚+；就+苞=(0,1,0)+(1,0,0)+(0,0,1)=(1,1,1)=灰,故A正确;

B:4c=(2,0,-2),4E=(1,1,0),43=(0,2,2),

设平面4CE的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-A,C=2x-2z=0一

则__.，令X=l,则J>=T,2=l,所以〃=(1,一1,1),

n-AiE=x+y=Q

UULL±_____.一

所以4历〃=0，即43，"，又平面所以4台〃平面4°£，故B正确;

C:ZE=(l,l,2)，4C=(2,0,-2),贝|赤布=-2,羽=痛，国=2近

I/.——.\i4E•A©2-x/6

所以.(/E，4C上同而=京7rK，

即异面直线/£与4c所成的角的余弦值为器，故C错误；

D：设平面ACE的一个法向量为加=(a/,c),

万ia4C-2cl—0

则—,，令。=1,则。=0,6=-2,所以而=(0,-2,1)，

m-AE=a+b+2c=0

___IAC-mlo

得4。加=-2,所以点4到平面ZCE的距离为d=故D正确.

\m\V55

故选：ABD

10.【正确答案】AC

【详解】设M(x,y),由|九例=2|九制，可得J/+(y-2)2=2卜+(,

整理得一+/=1,所以曲线。的方程为/+/=],表示圆心为q(o,o),半径q=i的

圆.

2

圆C2:(x-3)+(y+4)2=r2(f>0)的圆心为点(3,一4),半径々=厂，

两圆的圆心距iQQl=A/9+16=5.

对于A,若圆G与圆a有公共点，则今+々，

BP|r-l|<5<r+l,解得4VrW6,故A正确；

对于B,若厂=2百，由A选项知两圆没有交点，故B错误；

对于C,若厂=3,则也|>八+2,两圆外离,则有|CG|-4引尸。闫CC|+4,

即1V|PQ|V9,故C正确；

对于D,若r=2/EPF=£,则四边形尸EQ尸为正方形，|pQ=2四，

如图,又为C。2Tspc2闫。©|+1，即|尸。2回4,6],而20M4,6],

TT

所以不存在这样的点。使得⑷尸7，故D错误.

故选：AC

11.【正确答案】ACD

【详解】因为4-1,0),2(1,0),所以卜耳;2,

对于A：因为||7H砺归1<卜引，所以点M是以A、3为焦点的双曲线，故A正

确；

对于B：因为|疝|+|前|=2=|/可，所以点M的轨迹为线段N8,故B错误；

对于C：设M(尤,y),则A£4=(T-x,_y),MB=(1—x,~y)>

因为|疝|=|标I，所以J./,+㈠)2=J(1)2+㈠)2,整理得尤=o,

所以点M的轨迹是一条直线，故C正确；

对于D：因为血.丽=(一1一x)(l-x)+(->)2=2,即无2+「=3,

所以点M的轨迹是以原点为圆心，目为半径的圆，故D正确.

故选：ACD

12.【正确答案】

【分析】先求得点尸的轨迹为圆，再利用圆的性质即可求得点尸到直线3x-4y+6=0

的距离d的取值范围.

【详解】设尸(xj),

—2)2+/整理得[x-g]+72=:

两边平方得

(x-4)2+y2

则点尸在以为圆心半径为：的圆上运动,

圆心至IJ直线3x-4y+6=o的距离为

则点尸到直线3x-4y+6=0的距离”的取值范围为

13.【正确答案】4

【详解】

3

又直线3的斜率为:，

34

则tan/PF1F?=—,/.cos/PFR=—,

22_________

又椭圆方程为：.+猾=l(a>26),优耳|=2及2_12.

PF.

tanAPFF=_1^1

X2FE2"2_12

F*

COSZPF}F2=■

PR

又|尸国+|尸41=2。，.•.4,/-12=2。，a2=16,即a=4.

故4.

8

14.【正确答案】-a+-b+-c

2363

----1---*,由2丽=反，则丽=g前,

【详解】由£为/。的中点，贝UE7",

OE=OA+AE=OA+-AD=OA+^-(益+丽OB^OA^^BC^

2

^OA+^OB-OA+-^OC-OB^方^属区上+力+上0,

2|_3、{]236236

AC=OC-OA=-a+c^

a-b=\a\|ft|cosZAOB=6,5-c=|3||c|cosZ.AOC=8,ft-c=|^|\c\cosZBOC=6,

无•衣=•(-a+c)

1I-12I——1-r1r-1一一1i_i2

=——\a\+-a-c——a-b+—b-c——a-c+—\c\

2112336611

333

^-a+-b+-c；--

2363

15.【正确答案】（1）2几

⑵逑

3

【详解】（1）如图所示：

DxG

AB

由图可知为=N5+万Q+西=N5+N5+五4，

因此由题意有I布|=|五§+而+五4=J方2+诟,+您+2万•茄+2方•怒+2益.怒

=J2?+2?+2?+2x2x2x—F2X2X2X—F2X2X2X—=2y.

V222

（2）如图所示：

AG

AB

所以西=加+西=万+石，

由（1）可知数=与+通+苍，

所以由题意有莺•西=（存+石+石）•（赤+9）

,2»2»»,»»,

=AB+AAX+2AB-AAX+AD•AB+AD-AAX，

-2?+2?+2x2x2x—F2x2x—F2X2X―=16,

222

2222

^^DC^^AB+AAt+2AB-AAt=^2+2+2x2x2x1=273,

且⑴可知西|=2口,

不妨设直线/£与直线G。的夹角为e,

4cl-DG162V2

所以cos6=

J西H同276x2733

故直线鸣与直线G。的夹角的余弦值为半

16.【正确答案】⑴尸=4x

⑵百

【详解】（1）抛物线/=2px的焦点为多0，

_£

所以直线的方程为^=

_£

y=

由＜2/消去V得4x2-5px+p2=0,

y=2px,

所以西+工2=子，

Q

由抛物线定义得M4=石+%+2=5,

即学+°=0，所以P=2.

所以抛物线的方程为V=4x.

(2)由。=2知，方程4x2-5px+p2-0,

可化为2尤2-5X+2=0,

解得再=5，x2=2,故必=-2A/2,y2=V2.

所以《,5(2,2>/2).

则面积S=；xlx|乂—％1=孚

17.【正确答案】（1»2+，_8》+12=0

⑵|0|的最小值为4,此时直线2C的方程为2x-y-6=0

【详解】(1)由题意得：\PO\=^x2+y2,\PA\=/x-3f+y2,

因为|尸O|=2|P/|,所以jY+丁=2j(x_3『+y2,

所以/+/=41(x-3)2+/],

化简得：X2+/-8X+12=0.

(2)

所以（》-盯+必=4,所以圆心E的坐标为（4,0）,半径厂=忸同=2,

所以磔「=|。叶-麻『=|鹿「-4,

所以当取最小值时，|。目有最小值，

因为。是直线2》7+2=0上的动点，所以。E与直线2x7+2=。垂直时，坦因有最

小值，

40+2|

此时阂的最小值为圆心E到直线2x-y+2=0的距离d,d7-=275

MT),’

有最小值《2百j-4=4,

因为直线。E与直线2x-y+2=0垂直，所以直线。E的斜率上=-g,

所以直线。E的方程为：y-0=-1（x-4）,化简得：x+2y-4=0,

x+2y-4=0Ix=0/、

联立解得［=2‘所以。（°，2），

2x—y+2=0

所以以点。（0,2）为圆心，为半径的圆的方程为Y+（y-2）2=16,

因为直线8c为圆（x-4）2+/=4与圆/一2『=16的公共弦所在直线,

所以两方程相减可得直线2C的方程为：2x-.y-6=0.

18.【正确答案】⑴(i)a2+b2=l(ii)[-5,5]

（2）M（0,2）,N（0,3）或M（0,-14）,2V（O,-15）

【详解】（1）⑴因为圆E:，+J?=4是集合/=｛（x,y）|ax+6y=2｝的包络圆,

所以圆心仪0,0）到直线6+力=2的距离为2,

2

即=2,化简得/+〃二1，

y/a2+b2

即。，6满足的关系式为力+人、］.

(ii)由/+/=1及3。+4b+，=0,

可得圆Y+/=i与直线/+4歹+/=0有公共点,

所以百L解得-5W/W5，

故，的取值范围是［-5,5］.

（2）设。（加〃）,

由题意可知点C到直线xcose+（y+6）sine+6/=0的距离为与6无关的定值,

|”cos6+(〃+6)sin夕+6V?|

即公为与e无关的定值,

Jsiif0+cos20

所以机=0,〃+6=0.故C（0,-6）,此时，d=6近.

所以C的方程为x?+(y+6)2=72,

22

设尸(苍田，贝！］x?+(.y+6)2=72,x+y=36-12y,

I尸A/125

假设歹轴上存在定点”，N,使得IPMI=q,设〃(。，必),N(0，V2),

\^\3

2

则四「=一+(yf)_/+/_2%了+火

222

x+(y-y2^x+y-2y2y+y}

-2(必+6)y++368

-2(%+6)y+y；+369'

%+6=(%+6)x

所以

yf+36=(y；+36)x1,

解得二或K=-14,

=-15,

所以可（0,2）,N（0,3）或M（0,-14）,#（0,-15）.

19.【正确答案】（i）y=-x；

9

⑵⑴证明见解析；⑴“

【分析】⑴根据“共趣点对”的定义可得；