专升本(高等数学一)模拟试卷97(题后含答案及解析)资料

专升本（高等数学一）模拟试卷97(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题1．设函数y=ax2+c在区间(0，+∞)上单调增加，则()A．a＜0且c=0B．a＞0且c为任意实数C．a＜0且c≠0D．a＜0且c为任意实数正确答案：B解析：由题设有y’=2ax，则在(0，+∞)上2ax＞0．所以必有a＞0且c为任意实数．故选B.2．微分方程y”+y=0的通解为()A．C1cosx+C2sinxB．(C1+C2x)exC．(C1+C2x)e-xD．C1e-x+C2ex正确答案：A解析：由题意得微分方程的特征方程为r2+1=0，故r=±i为共轭复根，于是通解为y=C1cosx+C2sinx．3．设f(x)为连续函数，则积分A．0B．1C．nD．正确答案：A解析：故选A4．平面x+2y—z+3=0与空间直线的位置关系是()A．互相垂直B．互相平行但直线不在平面上C．既不平行也不垂直D．直线在平面上正确答案：D解析：平面π：x+2y—z+3=0的法向量n={1，2，一1}，的方向向量s={3，一1，1}，(x0，y0，z0)=(1，一1，2)．因为3×1+(一1)×2+1×(-1)=0，所以直线与平面平行，又点(1，一1，2)满足平面方程(即直线l上的点在平面π上)，因此直线在平面上．故选D．5．设a＜x＜b，f’(x)＜0，f”(x)＜0，则在区间(a，b)内曲线弧y=f(x)的图形()A．沿x轴正向下降且向上凹B．沿x轴正向下降且向下凹C．沿x轴正向上升且向上凹D．沿x轴正向上升且向下凹正确答案：B解析：当a＜x＜b时，f’(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下降．由于在(a，b)内f”(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下凹．故选B6．设f(x)=一1，g(x)=x2，则当x→0时()A．f(x)是比g(x)高阶的无穷小B．f(x)是比g(x)低阶的无穷小C．f(x)与g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小D．f(x)与g(x)是等价无穷小正确答案：C解析：7．中心在(一1，2，一2)且与xOy平面相切的球面方程是()A．(x+1)2+(y一2)2+(z+2)2=4B．(x+1)2+(y一2)2+(z+2)2=2C．x2+y2+z2=4D．x2+y2+z2=2正确答案：A解析：已知球心为(-1，2，一2)，则代入球面标准方程为(x+1)2+(y一2)2+(z+2)2=r2．又与xOy平面相切，则r=2．故选A8．函数z=xy在点(0，0)处()A．有极大值B．有极小值C．不是驻点D．无极值正确答案：D解析：由z=xy得解得驻点(0．0)．又因为A=z”xx|(0,0)=0，B=z”xy|(0,0)=1，C=z”yy|(0,0)=0，B2一AC=1＞0，所以在(0，0)处无极值．故选D．9．已知曲线y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线x—y+6=0，又y=yy(x)满足微分方程(y”)2=1一(y’)2，则此曲线方程是y=()A．一sinxB．sinxC．cosxD．一cosx正确答案：B解析：要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率k=1，(3)代入(y”)2=1一(y’)2应成立．故逐个验证后应选B。10．设f(x，y)为连续，二次积分∫02dx∫x2f(x，y)dy交换积分次序后等于()A．∫02dy∫0yf(x，y)dxB．∫01dy∫0yf(x，y)dxC．∫02dy∫y2f(x，y)dxD．∫02dy∫02f(x，y)dx正确答案：A解析：积分区域D可以表示为0≤x≤2，x≤y≤2，其图形如图中阴影部分所示．交换积分次序，D也可以表示为0≤y≤2，0≤x≤y，因此∫02dx∫x2f(x，y)dy=∫02dy∫0yf(x，y)dx，故选A.填空题11．若，则k=______．正确答案：2解析：这是检查第二类重要极限的题．因为所以由条件等式有e-5k=一e-10，即5k=10，k=2．12．要使y=arcsinau(a＞0)，u=2+x2能构成复合函数，则a取值范围是______．正确答案：解析：因为由常见函数y=arcsinQ(x)，这里的|Q(x)|≤1，一1≤Q(x)≤1，即一1≤au≤1，0＜a(2+x2)≤1，有0＜2a≤a(2+x2)≤1，得又由a＞0可知a的取值范围为0＜a≤13．设f(x)=且f(x)在点x=0处连续，则a=______．正确答案：0解析：由．可知当f(x)在x=0处连续时，必有从而a=0．14．已知由方程x2+y2=e确定函数y=y(x)，则正确答案：解析：此题是隐函数求导数的题．且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数.具体解法是：在x2+y2=e两侧关于x求导数，得2x+2yy’=0，y’=15．已知∫f(x)dx=2x+sinx+C，则f(x)=______．正确答案：2xln2+cosx解析：这是求原函数的题，等式右侧的导数应该为f(x)．即f(x)=(2x+sinx+C)’=2xln2+cosx．16．设f(2)=1，∫02f(x)dx=1，则∫02xf’(x)dx=_______．正确答案：1解析：由分部积分公式有：∫02xf’(x)dx=∫02xdf(x)=xf(x)|02—∫02f(x)dx=2f(2)一∫02f(x)dx=2×1—1=1．17．过原点且与平面2x—y+3z+5=0平行的平面方程为_________．正确答案：2x—y+3z=0解析：已知平面π1：2x一y+3z+5=0的法向量n1={2，一1，3}．所求平面π∥π1，则平面π的法向量n∥n1，可以取n=n1={2，一1，3}．由于所求平面过原点，由平面的点法式方程，得2x—y+3z=0为所求平面方程．18．函数f(x，y)=x3+y3一9xy+27的极小值点是_______．正确答案：(3，3)解析：这是二元函数求极值的题．令解得驻点为(3，3)，(0，0)．f”xx=6x，f”xy=一9，f”yy=6y.当时，A=fxx”(3，3)=18，B=f”xy(3，3)=一9，C=f”yy(3，3)=18，B2一AC＜0，且A=18＞0，所以在(3，3)处f(x，y)取得极小值；当时，A=f”xx(0，0)=0，B=f”xy(0．0)=一9，C=f”yy(0，0)=0，B2一AC＞0，所以点(0，0)不是f(c，y)的极值点．19．级数绝对收敛的充要条件是________．正确答案：|a|＜120．微分方程x(y’)2一2xy’+x=0的阶数是_______．正确答案：1解答题21．正确答案：令，则x=t2，dx=2tdt．当x=1时，t=1；当x=4时，t=2．22．试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞正确答案：先证x＞sinx(x＞0)．设f(x)=x—sinx，则f’(x)=1一cosx≥0(x＞0)，所以f(x)为单调递增函数，于是对x＞0有f(x)＞f(0)=0，即x—sinx＞0，亦即x＞sinx(x＞0)．g’(x)=cosx-1+x则g”(x)=-sinx+1≥0所以g’(x)单调递增，又g’(0)=0，可知g’(x)＞g’(0)=0(x＞0)，那么有g(x)单调递增．又g(0)=0，可知g(x)＞g(0)=0(x＞0)，综上可得：当x＞0时，x＞sinx＞23．已知直线L：平面π：一πx+2y—z+4=0，试确定m，n的值，使得直线L在平面π上．正确答案：要使直线L在平面π上，只要直线L平行于平面π，且有一点在平面π上即可．直线L的方向向量为s={2，一1，m}，平面丌的法线向量为n={一n，2，一1}，由直线平行于平面丌得s.n=0，即一2n一2一m=0①又点P(1，一2，一1)为直线L上的点，把此点的坐标代入平面π的方程得一n—4+1+4=0②24．已知f(π)=1，且∫0π[f(x)+f”(x)]sinxdx=3，求f(0)．正确答案：因为∫0π[f(x)+f”(x)]sinxdx=∫0πf(x)sinxdx+∫0πf”(x)sinxdx，而∫0πf”(x)sinxdx=∫0πsinxdf’(x)=sinx.f’(x)|0π一∫0πf’(x)cosxdx=一∫0πcosxdf(x)=一f(x)cosx|0π—∫0πf(x)sinxdx=f(π)+f(0)一∫0πf(x)sinxdx，所以∫0π[f(x)+f”(x)]sinxdx=f(π)+f(0)=3．又f(π)=1，所以f(0)=2．25．设f(x，y)=cos(x2y)，求正确答案：26．求函数y=x3一3x2一9x+1的极值．正确答案：由于y=x3一3x2一9x+1的定义域为(一∞．+∞)．y’=3x2一6x一9，令y’=0，得驻点x1=一1，x2=3，y”=6x一6，y”(一1)＜0，y”(3)＞0，故f(一1)=6为极大值，f(3)=一26为极小值．27．将函数f(x)=ln(1+x一2x2)展开为x0=0的幂级数．正确答案：因为1+x一2x2=(1+2x)(1一x)，所以ln(1+x一2x2)=ln(1+2x)+ln(1一x)．28．设f(x)为连续函数，且满足f(x)=x∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt+x3，试求f(x)．正确答案：由所给关系式两边求导，得f’(x)=∫0xf(t)dt+xf(x)一xf(x)+3x2=∫0xf(t)dt+3x2，上式再次求导，得f”(x)=f(x)+6x，即f”(x)一f(x)=6x，这是二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次方程为f”(x)一f(x)=0，其特征方程为λ2一1=0，有两个根λ1=1，λ2=一1