2024-2025学年陕西省榆林市七校联考高二年级上册期中数学试题及答案

2024〜2025学年第一学期高二年级七校期中联考试题

皿「、、九

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线彳+8y+2=°的倾斜角为()

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.已知圆C的方程是V+y2+4x—2y-11=0,则圆心C的坐标是()

A.(-2,1)B.(2,-1)C.(-4,2)D.(4,-2)

3.某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点0(0,0,0)

处起飞，6秒后到达点A(o,0,90)处，15秒后到达点2处，若丽=(120,0,0),则|砺|=()

A.30j7B.120C.150D.210

4.两平行直线八x-2y-V10=0,/2：2%-4丁+3而=0之间的距离为()

A.*B.3C.75D.272

2

5.已知圆M：(x+l)2+(y+2)2=1与圆N(x—3)2+(y+4)2=1关于直线/对称，则/的方程为()

A.x+2y+5=0B,x-2y-5=0

C.2%+y+5=0D.2x-y-5=0

6.已知向量方=(2,-3,0),B=(0,3,4),则向量五在向量3上的投影向量的坐标为()

182718_27

B51313，-13

36

25

7.已知圆C:Y+y2—8x+12=0,点尸在圆C上，点A（6,0）,M为AP的中点，。为坐标原点，则

tan/"。4的最大值为（）

8.如图，在四棱锥S-A3CD中，底面A5CD是矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P为棱AD的中

点，且SPLAB,AM=2AS（O<2<1）,若点M到平面SBC的距离为无，则实数X的值为（）

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若直线（a—2）x+4y+a=0与直线（a—2）x+（4+2a+4）y—2=0平行，则。的值可以是（）

C.-2

10.已知正方体A3CD—4与。]2的棱长为2,若A4，5c的中点分别为M,N,则（）

A.MN±CQB.平面A、BC\11平面AD{C

D.点D到平面D[MN的距离为包里

C.B[N人D[M

29

11.已知点直线/：尤=1及圆。：/+丁=i,则下列结论正确的是（）

A.若点P在C上，贝U与C相切

B.若点尸在圆V+y2=4上，贝I]/被圆C截得的弦长为立

2

C.若点尸在圆C外，过点尸作圆C的切线，贝H为过两切点的直线

D.若点尸在圆C内，过点P的直线与圆C交于点M,N,则圆C在",N处的切线的交点在/上

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设向量方=（1,2,加）石=（2,0,—1）,若'IB，则加=.

13.已知圆C与两直线x—2y+2=0,x+2y+2=0都相切，且圆C经过点（1,1）,则圆C的半径为

14.已知两点A（4,0）,3（0,4）,从点P（2,0）射出的光线经直线A5反射后射到直线上，再经直线

OB反射后射到尸点,则光线所经过的路程1PM|+\MN\+|NP|等于.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知直线/:x—ay+2。—1=0及点4（—2,2）.

（1）若与/垂直的直线3尤-切+2=。过点A,求相与。的值；

（2）若点A与点8（1,-1）到直线/的距离相等，求/的斜截式方程.

16.在正四棱柱ABC。—A31G2中，AAi=2AB=2,E为。〃的中点，尸为上靠近8的三等分

点.

（1）求异面直线CP与GE所成角的余弦值；

（2）求直线CP与平面AGE所成角的正弦值.

17.已知圆。]：X2+,2=户（/>0）,圆—3）2+/=16.

(i)讨论圆。与圆c2的位置关系；

(2)当r=2时，求圆。与圆c2的公切线的方程.

18.如图，在四棱锥ABCD中，底面A5CD是边长为6的正方形，是等边三角形，平面

平面A5CD.

(1)求平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值；

121

(2)已知2RG分别是线段AM,DM,C。上一点，且AE=—AM,DE=—OM,CG=—CD,若H

333

是线段上的一点，且点H到平面ERG的距离为百，求翳的值.

PA

19.已知点A5是平面内不同的两点，若点P满足诟=2(2〉0,且XW1),则点P的轨迹是以有序点

对(A,B)为“稳点”的2-阿波罗尼斯圆.若点Q满足|。山•=〃(〃>0),则点Q的轨迹是以(A8)为

“稳点”的〃-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，A(-2,0),6(心耳(。丰-2).

(1)若以(AB)为“稳点”的2-阿波罗尼斯圆的方程为/+,2-12%+4=0,求a,。"的值；

(2)在(1)的条件下，若点Q在以(AB)为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求|。。|(。为原点)的取值

范围；

(3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若6=0,4=行，求证：不存在实数。，〃，

使得以(A8)为“稳点”的V2—阿波罗尼斯圆与〃一卡西尼卵形线都关于同一个点对称.

2024〜2025学年第一学期高二年级七校期中联考试题

数学答案

1.【答案】A

可得斜率为左=—3=—走,

【详解】由题意直线x+&y+2=0

V33

设直线尤+6>+2=0的倾斜角为a,其中04a<180°，

可得tana=—所以a=150°，即直线尤+6y+2=0的倾斜角为150°.

3

故选：A.

2.【答案】A

【详解】圆C的方程可化为(X+2)2+(>—1)2=16,圆心C的坐标是(—2,1).

故选：A.

3.【答案】C

【详解】因为丽=(0,0,90),通=(120,0,0),

所以无=厉+丽=(120,0,90),

所以|砺卜V1202+02+902=150.

故选：C.

4.【答案】A

【详解】由题意得：

,•,直线乙：=0,Z2:2%-4y+3A/10=0,

k,=-,k,两直线为平行直线，

2'42

直线/j:x-2y-Vid=0=4:2x-4y-2丽=0,

两平行直线之间的距离为d='用一卜2啊|=5V|.

V4+162

故选：A

5.【答案】D

【详解】圆M:(x+1)2+(y+2)2=1的圆心为M(-1,-2),

圆N:(九一3)2+(y+4)2=1的圆心为N(3,-4),所以线段的中点坐标为(1,-3),

d,-4+21,1

又=则nI「一9’

所以直线/的方程为y+3=2(x—1),即2x—y—5=0.

故选：D.

6.【答案】D

【详解】因为五二(2,-3,0),b=(0,3,4),

所以76=2x0—3x3+0x4=—9，忖=加+9+16=5,

a-bb-9b9(2736

则向量&在向量B上的投影向量为：=1-X5=-250,3,4=t°，-25，-25

故选：D.

7.【答案】A

【详解】由题意知圆C的方程为(x—4『+>2=4,设PR,%)，M(x,y),

6+%_丫

「丁

xn=2x-6,

则《c，所以c，又尸在圆。上,所以(％0-4)一+y；=4,

O+y〔为=2%

-^―o=y,

即(2x—10)2+(2y)2=4,即M的轨迹方程为(x—5『+V=1.如图所示,

当QW与圆(x—5)?+;/=1相切时，tanNMOA取得最大值,

此时|OM|=J25-1=2几,tanZMOA=-^=—,所以tan/MOA的最大值为亚

112a1212

故选:A

8.【答案】A

【详解】解：由题意得:

因为SA=SD,P为AD中点

所以SPLA。

又SPLAB,AB与交于点A,ABcnABCD,AOu平面A3CD

所以SPJL平面ABC。

以点P为原点，PA，丽的方向分别为x,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则

P(0,0,0),A(l,0,0),5(1,1,0),c(-l,l,o),5(0,0,V3)

故丽=(0,-1,0),AS=(-1,O,V3)

所以加=2诟=卜40,后)(0«；141)

所以丽=丽+加=(一4_1,后)

—►//-\—►/、_/、市•SB=x+y73

又S3=1,1,—J3,CB=(2,0,0),设平面SBC的法向量加=(%y,z),贝"_一

[m'CB=2x=0

令z=l,则%=0,y=<3,所以加=(0,/3,1）.点M到平面SBC的距离为

两晶-V3+V32G

d=L^=J—-—[=1~,解得2=二:或2=g（舍）

mzJ33

故选：A.

jr

二、多选题：

9.【答案】AB

a-2a-2

【详解】因为两直线平行，由斜率相等得-一“=2c，，所以a2=0或优+2a+4-4，解

4〃+2a+4

得a=2或0或—2,当a=—2时两直线重合,舍去.

故选：AB.

10.【答案】BCD

【详解】因为A&/CG，且AA=CG，则A&G。为平行四边形，

可得4G〃AC,且aa•平面AC，，ACu平面AC£\,

所以4G〃平面AC，，因为AB〃a。，且A3=CA，则ABGS为平行四边形,

可得ADX〃BC],且BG<Z平面ACDX,ADXu平面ACDl,

所以BG〃平面AC',又BGCAG=G，BG，AGu平面4。田，

所以平面4GB〃平面AC，，故B正确；

如图,

分别以D4,DC,。，为X,%Z轴建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),

2(0,0,2),8(2,2,0),£(0,2,2),男(2,2,2),A(2,0,2),M(2,0,l),N(l,2,0),

MN=(-1,2,-1),CQ=(0,0,2),丽=(-1,0,-2),D^M=(2,0,-1),

丽•西=-200,B^N-D^M=-2+0+2=0,

故MNLCG不成立，成立，故A错误，C正确;

设平面D{MN的法向量;=(x,y,z)，方M=(2,0,-1),MN=(-1,2,-1),

h-D,M=2x-z=0

则,令x=2,则z=4,y=3,即元=(2,3,4),

n-MN=-x+2y—z=Q

又西=(0,3,0),

所以d=随9,故点。到平面2“N的距离为随9,故D正确.

\n\V292929

故选：BCD

11.【答案】ACD

【详解】对于A,点P在。上，则片+y；=l,圆C的圆心(0,0)至I]/的距离d=

故/与C相切，A正确；

对于B,点P在圆Y+y2=4上，则片+y；=4,圆C的圆心(0,0)至卜的距离:

所以/被圆C截得的弦长为2.=V3.B错误;

对于C,设两切点分别为A®,%),3(%,%)，由A选项分析可知:

圆C在点A3处的切线方程分别为再％+y}y=l,x2x+y2y=1,

因为点尸在两切线上，所以玉%+%为=1,%2%)+%%=1，

所以点4,3都在直线/%+%丁=1上，C正确；

对于D,由选项C知，设圆C在M,N处的切线的交点为

则A/N的方程为/0+%'丁=1,由点P在该直线上，所以/毛'+%%'=1，

所以点(毛'，为')在直线/%+为丁=1上，D正确.

故选：ACD.

三、填空题：

12.【答案】2

【详解】因为所以益/=0,即1x2-m=0,故根=2.

故答案为：2.

13.【答案】且或逐

2

结合图象，易知直线x—2y+2=0与x+2y+2=0关于x轴对称或关于％=-2对称,

又当圆心在x=-2上时，圆C不可能经过点(1,1),所以圆C的圆心在x轴上,

设圆C的方程为（x—a）2+V=/，

\ci+2|I；T1

由题意可知，J3+（2）2，=\（"D+（°一1），整理得2a2—7a+3=o，解得。=万或a=3,

当a=—时，r=——，当a=3时，r=.

22

故答案为：更~或逐

2

14.【答案】2M

【详解】解：作出点尸关于直线03的对称点C,作出点尸关于直线AB的对称点。，

则N,M,。三点共线，N,M,。三点共线，即N,M,D,C四点共线，

得|PM+|M/|+[NP]=|C£）|,易得C（—2,0）,尸（2,0）,

直线AB的方程是x+y—4=0,

n-Q.

---------11r

m—2m=4

设。（九〃）,则《得,即0(4,2),

m+2n+0n=2

22

:.\CD\=J(4+2)2+(2-0『=2M.

四,解答题：

3

15.【答案】(1)m=-2,a=-

2

(2)y=x+l或y=-x+3

【解析】

【小问1详解】

因为直线3x-阳+2=0过点A(-2,2),

所以一6—2m+2=0,解得m=-2,

因为3%+2y+2=0与/垂直，

123

所以一二一,〃=一.

a32

【小问2详解】

因为点A与点3(1,-1)到直线I的距离相等，

由点到直线的距离公式得^.

7a~+1'yci~+1

解得a=±l,

当。=一1时，/的斜截式方程为y=-x+3,

当。=1时，/的斜截式方程为y=x+L

16.【答案】(1)也(2)B

69

【解析】

【小问1详解】

解：以。为原点，分别以方，皮，两方向为x，y，z轴，建立如下所示的空间坐标系,

则由题意可知：D(0,0,0),C(0,l,0),E(0,0,l),A(1,0,2),C/0,1,2),D/0,0,2),

/•Ip=(1,1,-2),甲=(0,-1,-1),

设F(x,j,z),

则D1F=(x,y,z-2),

・・・尸为5。上靠近5的三等分点,

—*2—►

・・.D]F=—D[B,

3

2224

(x,》,z-2)=§(1,1,-2)=(j,j,-j),

222

.,•尸(|,总,

,..C£,CF=-l,

3

7T

设异面直线CF与C[E所成角为a且ae（0,/,

GECF141

贝Ucosa=

QE-CF3xV2xl6'

【小问2详解】

解：由(1)可求得：E\=(1,0,1),ECX=(0,1,1),

设A=（1,y,z）为平面E&G的法向量，

方.西=0

则

H-EQ=0

冗+z=0

即＜

y+z=0'

解得：x=l,y=l,z=-l,

,n=1)»

而二二二」

3333

设直线CF与平面AGE所成角为夕,

CF1V3

|M|.|CF|3X6X19'

17.【答案】（1）答案见解析（2）2x—而+6=0,或2x+6y+6=0.

【解析】

【小问1详解】

由题意知G：（0,0）,。2：（3,0），

\QC2\=3,两圆的半径分别为r和4,

①当4，即3<卜—4],

解得0<厂<1或厂>7时，圆G与圆G内含；

②当|CC|=|-4，即3=卜-4|,

解得厂=1或厂=7时，圆G与圆C2内切；

③当上一4|<IGC2I<厂+4，Bp|r-4|<3<r+4,

解得1</<7时，圆G与圆G相交；

④当|GG|*+4时，3>r+4,无解，

即圆a与圆c?不可能外切也不可能外离.

综上所述，当0</<1或r>7时，圆G与圆G内含;

当厂=1或厂=7时，圆G与圆G内切;

当1<「<7时，圆a与圆G相交.

【小问2详解】

当r=2时，由（I）得圆G与圆G相交，由图可知公切线的斜率存在,

法一：设圆G，圆G的公切线的方程为、=履+机，即米一丁+加=0,

则由直线与两圆都相切可得,

，所以2帆=|3左+时,

3k+m\

则2m=3k+m,或2m+3左+加=0

\m\

即加=3左或加=一左，分别代入/=2,

r+1

得£^=2或上尘=2（无解），解得％=±毡,

r+1k2+i

则公切线方程为y=^5x+述或＞=_拽x—逆，

■55-55

即为2%-＞/^+6=0,或2x+&y+6=0.

法二：因为两圆圆心都在％轴上，

则由对称性可知，两公切线关于％轴对称，且交点在％轴上，设为点尸,

如图，QM//C.N,贝KPG"与DPGN相似，

得|PC21=|PG|+|CC|=|PG|+3,所以有时太=5,

解得pG|=3,即P（—3,0）,

设公切线方程为y=k（x+3）,即日—y+3左=0,

则圆心G（0,0）到切线的距离=2,解得七=±撞,

“2+15

则公切线方程为丁=竽（》+3）或＞=—竽（x+3）,

即为2%-+6=0,或2元+石丁+6=0.

18.【答案】（1）RZ

7

、BH5

（2）----=一

BM6

【解析】

【小问1详解】

取AB,的中点分别为0,01,连接。。1,

因为底面A3CD是正方形，所以。&LAB,

因为是正三角形，。为AB的中点，所以LAB,

又平面MAB±平面ABCD,平面MABn平面ABCD=AB,MOu平面MAB,

所以平面ABCD,又AB,。。u平面A3CD,所以V。，AB,M。，。已，

以。点为原点，以OB,。。1,。“所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

由题意：0（0,0,0）,A（—3,0,0）,3（3,0,0）,。（3,6,0）,。（一3,6,0）,“（0,0,36上

CD=（-6,0,0）,CM=（-3,-6,3A/3）,

CDn=0

设平面COM的法向量为元=（x,y,z）,所以〈.,

CM-n=Q

-6x-0

即〈i—，令y=3,则x=0,z=2V3，

-3x-6y+36z=0

即平面COM的一个法向量为为=（0,3,2g）,

易知平面ABM的一个法向量为行=（04,0），

设平面CDM与平面ABM所成二面角为0,

则Icos'l=cos<^->l=fS=vfe=V

所以Sind=Vl-cos2^=空，即平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值为2也.

77

【小问2详解】

因为瓦£G分别是线段,DM,CD上一点,

333

所以E卜2,0,6),歹卜1,2,26),6(1,6,0),

所以方=