2024-2025学年陕西省西安市高三年级上册第三次模拟考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年陕西省西安市高三上学期第三次模拟考试数学

检测试题

1、单选题

2z—1

=l+z

1、已知复数Z满足Z，则Z=）

_2_1-1.11.11.

A.一万一T—+—1——I——i-------1

2C.22D.22

等"°}则（）

1Mi3>1}7=,snr=

y10<J<

（i}B,^<,<1}C,D.0

3、设非零向量满足:+目=卜―6|,则（）

A同明B同州ca//bD51b

sin（8+—）=cos（e--）=

4、已知63,贝ij3（）

A/373V6季

A.石B.-TC.可D.-T

x|M皿21d\b\

-------------1--------------JL------------------1------------------

5、已知点P（1.*）在曲线时网上，则同一I网一2的最小值为（）

A.4B.2*C.4*D.3+2也

6.当x>l时，函数产(kK)2+alnx+l的图象在直线产x的下方，则实数a的取值范围是

()

e?-5

A.(-00,e)B.(-00,2)

4G5

C.(-00,2)D.(-00,e-2)

7.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子出现的点数可能为1,2,3,4,5,6),并分别

记录自己每次出现的点数，四人根据统计结果对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判

断一定出现6点的描述是（）

A.中位数为4,众数为4B.中位数为3,极差为4

C.平均数为3,方差为2D.平均数为4,第25百分位数为2

22

C・上+匕=1

8.已知P是椭圆［612上的动点，且与C的四个顶点不重合，耳月分别是椭圆的左、

右焦点，若点“在/月产鸟的平分线上，且砒•而^0,则1。田的取值范围是（）

从（。,2）B.（°,26）c.W一28）D.（0.1）

2、多选题

9、设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F,点M（x。⑹在抛物线c上，且|MF|=10,则抛物线

C的方程可以为（）

2

Ay2=3xBy2=4xcy2=36xDy=18x

10.上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华,

天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面

体ABCD-48cA,设矩形ABCD和44。口的中心分别为&和。2,若1平面ABCD,

。1。2=6,4B=10,4D=2近,=84A=4,BCUBG,AD//A.D,

CDHCR,则（）

A.这个六面体是棱台

B.该六面体的外接球体积是288兀

C.直线/c与4G异面

D.二面角/一8C-C|的正切值是6

11、设।是正项数列£"｝的前n项和,且对任意正整数n,都有C，J5=9,则下列命题正

确的是()

2

A.。2<eB.c〃+1-*Cn+2

1

(\ck<-------

C.是递减数列D.存在正整数k,使得2024

3、填空题

12、记Sn为等差数列乱｝的前n项和，若6s5=5S$-15,则公差d=.

13.在(°+2x)0+')4展开式中，x的偶数次事项的系数之和为32,则。=.

=/、父+(4〃-3)x+3a,x<0

14.己知函数[loga(x+l)+l,x..O(。>0且awl)在&上单调递减，且关于

x的方程2一x恰有两个不相等的实数解，则〃的取值范围是.

三、解答题

15.记V/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知/sin?

(1)求tan4tan5.

A=-

⑵若4,VN3C的面积为3,求a.

尸尸，将

16.已知中心在坐标原点°,以坐标轴为对称轴的双曲线石经过点IA且其渐近

+是

线的斜率为2.

(1)求E的方程.

兀—

⑵若动直线/与£交于48两点，且408=鼻，证明：|^|为定值.

17.在底面是菱形的四棱锥S-/5CO中，已知4?=/S=石,8S=4,过。作侧面的垂

线，垂足°恰为棱8S的中点.

(1)证明在棱/。上存在一点后，使得侧面S2C,并求。£的长；

⑵求平面SBC与平面SCD夹角的余弦值.

18.某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛.在竞赛

中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答

错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分,

教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为万，每次答题是否答对互不影响.

（1）求甲前3次答题的得分之和为70分的概率.

（2）记甲第，次答题所得分数X小N）的数学期望为E（X）

（i）求&凡），2区），并猜想当此2时，E（X）与"（Xi）之间的关系式；

邙（乂）＞320

（ii）若I,求〃的最小值.

19.阅读以下材料：

①设/'（X）为函数/（X）的导函数.若/'（X）在区间。单调递增；则称/（X）为区。上的凹函数;

若''（X）在区间。上单调递减，则称/（X）为区间。上的凸函数.

②平面直角坐标系中的点尸称为函数/G）的“左切点”，当且仅当过点尸恰好能作曲线

y="x）的左条切线，其中左CN.

⑴已知函数/（x）="U-3（2a+l）x2-x+3.

（i）当。时，讨论工（X）的凹凸性；

（ii）当。=°时，点尸在了轴右侧且为了（X）的“3切点”，求点P的集合；

⑵已知函数g（'）=xe',点。在y轴左侧且为g（x）的“3切点，，，写出点°的集合（不需要写

出求解过程）.

答案:

题号123456768109

答案CBDADDDDABCDBC

1、c

11

2z-l——11

【详解】z=l+i,则2・z=i+i,所以z=i・*因此z=2+5i

2、B

【详解】s={yIy>o},T={yI。<y<i},则sn丁=B

3、D

->4—>—>—>—>,—>

【详解】％人则两边同时平方得：a6=0.则选择D

4、A

/八兀、/八兀冗、./4万、

cos(6-----)=cos(8+---------)=sin(8H■一)=——

【详解】36263

x|x|y|X

-i-；--1--：---二1

5、D【详解】P(1,")在曲线HW12

上'则wr】

2时@_2时-2+2网-2+2,22

丽1―2一|«|-1网—2一+同—1+同一2

+TTJ=贝I77=1一而,因止匕时=出Ic

同\b\1«1网.2

3+-一+一一=3+也|-2+一一23+2后

|a|-l\b\-21।\b\-2

当且仅当网=/+2取等号

6.D

【分析】根据中位数，众数和极差的定义举例即可判断AB,根据平均数和方差的定义利用

反证法即可判断C,根据百分位数和平均数的定义利用反证法即可判断D.

【详解】解：对于A,中位数为4,众数为4,

则这5个数可以为4,4,4,4,4,故A不符题意;

对于B,中位数为3,极差为4,

则这5个数可以是11，3,4,5,故B不符题意；

对于C,平均数为3,方差为2,

设这5个数分别为玉，/，马,七*三,

（［（±-3）2+（X?一3）2+G-3）2+（匕-3）2+（三一3）1=2

若取玉=仙则工2+/+匕+%=9,

所以

所以工2，三，七，三这四个数可以为4,3,3,3与2,3,3,3,

这与迎+鼻+七+毛=9矛盾，所以6不存在，故C不符题意；

对于D,按从小到大的顺序设这5个数为a,b,c,d,e,

因为5x25%=1.25,

所以第25百分位数为5个数中从小到大排列的第二个数，

又第25百分位数为2,

所以a=l,6=2,

因为平均数为4,

所^以a+b+c+d+e=20,贝|c+d+e=17,

若c,4,e三个数都不是6,贝uc+d+eV15,

这与c+4+e=17矛盾，故c/，e三个数一定会出现6,故D符合题意.

故选：D.

7.D

【分析】分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到。的取

值范围.

a<―—--lnx,(x>1),尸(x)=——--lux,(x>1)

【详解】由题意知，构造函数'',

户'()皿共产2令g(x)*im则g'(x)=T>o，g(x)>g(i)=。，故当

l<x<e时,。)<°，尸(%)单调递减；当x>e时/6)>0,尸3单调递增，所以

F(x)…F(e)=e-2,所以Q<e—2,

故选：D.

8.A

【分析】延长尸工交KM的延长线于点A,由已知条件可证加为△耳鸟/的中位线，根据椭

圆的定义转化成°阳=1咫-《求出焦半径归川的取值范围，即可得的取值范围.

【详解】

如图所示，延长阴交耳”的延长线于点A,

2.2

土+匕=1

点P在椭圆1612上，由椭圆的性质可知尸£+尸8=2。=8,

因为耳鸟分别是椭圆的左、右焦点，

所以点片的坐标为(一2，°)、点外的坐标为(2，°),

因为点”是/4巡的角平分线上的一点，

所以4PM=芽尸河，

又硒•砺=0则

所以APF\M=APAM(ASA),

则PFX=PAF1M=AM

又因为点。为线段片区的中点,

所以。M为△耳鸟/的中位线，

即O"=g与八千助_%|=；|3_（8_3卜32打；_8闫幽_4|

当点尸在椭圆右顶点时，咫取最大值，最大值为6,

当点尸在椭圆左顶点时，即取最小值，最小值为2,

当点尸在椭圆上顶点或下顶点时，尸片=回五=4,

U-+J1

又因为点P是椭圆“612上的动点，且与C的四个顶点不重合，

则M的取值范围为（2,4）。（4,6）,

结合函数了=卜一4|函数的性质可得，口”1的取值范围是（°，2）,

故选：A.

9.BC

【详解】由定义可知，当点M在焦点左侧时，p=18,则方程为y2=36x

当点M在焦点右侧时，p=2,则方程为V=4x

综上，选择BC为正确答案

10.BCD

4—1w42

【分析】选项A：ABND,这个六面体不是棱台，错误；

选项B：这个六面体的外接球球心°在直线002上，结合勾股定理，计算六面体的外接球半

径R=6,从而求得体积288无，正确；

选项c：/C和4G显然不相交，结合题意证得/C与4G不平行，所以/C和4cl不在同一

平面内，正确；

选项D：取3C和瓦G的中点分别为“，N,即所求二面角的平面角，解得

cos/O\MN=

37,tan/qw=6正确；

【详解】

44.4〃

-------丰---------

因为ABAD,所以四条侧棱的延长线不能交于一点,

所以这个六面体不是棱台，所以A错误.

由题意可知，这个六面体的外接球球心°在直线002上，且。/=4及,。24=2石，因为

2

0/2+OQ=Qi+（6_）2=r2

4

CC_O—TIR3=288兀

解得°Q=2,所以六面体的外接球半径火=6,所以这个六面体的外接球体积是3

B正确.

NC和4G显然不相交，因为

tanZCAB=黑=],tanZC/4=tan/C/8丰tan/C/q

所以NC与4G不平行，所以NC和4a不在同一平面内，c正确.

取3c和4G的中点分别为“，N,连接OWMNQ'M,则即所求二面角的平面角,

cosgMN=,"=息

。阳=5RN=4,所以由。；+（。也-。*T,'an/。阳「6

D正确.故选：BCD.

12.1

655=556-15

6>5>；23=5'6>(4;+/6)一]5,30x(%+2d)=15x(%+&)-15,

2%+4d—2%+5d—l,d=1

13.2

A+B=f(l)

…=/(-1),

【分析】设％的偶数次幕项的系数之和为A,奇数次幕项的系数之和为6,则

解得,=16（。+1）,得到答案.

【详解】设/（x）=（"+2x）0+x）4展开式x的偶数次幕项的系数之和为A,奇数次幕项的系数

之和为B,

/+8=/（1）1

则I”"。「中。）+”*=8（。+2）,由口2得”2.

故2.

本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14.[3/

【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出。的大致范围，再根据/6）为减

函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出。的范围.

「/、\x2+(Aa-3)x+3a,x<0

【详解】函数[log〃(x+l)+l,xNO(q>0且awl).

<0<a<1

2

0+（4a-3）-0+3a>loga（0+l）+l

在A上单调递减，则：.

13

-<«<—

解得，34.

由图象可知，在1°，+00）上J，（X）=2-*有且仅有一个解，

故在（-°°，°）上」/（”=2r同样有且仅有一个解.

2

当3〃>2即时，联立W+（4”3）%+3〃卜2『

_3

则A=（4"2）-4（3"2）=0,解得”7或1（舍去）,

当1W3aW2时,由图象可知，符合条件，

£2

5

综上：。的取值范围为L33411

]_

故答案为5

本题考查函数的单调性和方程的零点，对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函

数以外，还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略，是一个易错点；复杂方程的解通常转化为

函数的零点，或两函数的交点,体现了数学结合思想，属于难题.

15.(1)2

⑵逐

【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，结合余弦函数的和差公式即可得解;

（2）利用正弦定理与条件得到上，关于。的表达式，从而利用三角形面积公式即可得解.

【详解】(1)由余弦定理c2=a2+〃-2a'cosC,得。?+/=c?+2a'cosC,

a_b

由正弦定理sin,sin5,得asinB=6sinZ,

因为。2+Z)2=c2+b2sin2A,所以。2+2abcosC=c2+absinAsinB,

则sinAsinB=2cosC=-2cos(/+8)=-2cosAcos5+2sin/sinB

即sinAsinB=2cosAcosB,显然cosAcos5w0,所以tan/tanB=2

Z,——兀

(2)因为4,所以tan4=l,则由tan/tan5=2,得tanB=2,

,八2

sinB=―『

因为0<8<兀，所以J5,_

bsin522272,272

——........-x—-........b-.......q

所以。sin4指血后，即下，

2222

a+b=c+-b

^a2+b2=c2+b2sin2^4,得、2,

°2=/+%=/+、)：2=-a2c=^=a

则2255,即代，

besinA—3

因为V/8c的面积为3,所以2一，

12723收。

则2J5J52,解得°=J5（负值舍去）,

所以"石.

£_^=1

16.(1)34

(2)证明见解析

，近

【分析】（1）由渐近线的斜率设4/一3/='（几二0）,再将

/代入求解即可;

（2）分两种情况证明，当直线/的斜率存在，设/：夕=.+机，与双曲线联立，根据韦达定理

ZAOB=-12八+左2、=加2

及2得出人,设点。到直线/的距离为d,则由等面积法即可证明；当直

线/的斜率不存在，设直线。”的斜率为1,分别求出用M用

,即可证明.

【详解】（1）由题可设双曲线E的方程为4/-3/="（2"°）

因为E经过点7

4x7-3x—=2

所以3，解得几=12,

,2

—=1

故E的方程为34.

（2）若直线/的斜率存在，设/：了=区+加,

y=kx+m

2

X

~，肖去y彳曰(442-3卜2+8痴X+4机2-12=0

由13

贝UA=64后2/-4(4入3)(4——12)>0,即/+彳入3>0,

_-8kmW-12

设451，%)凤%2必),则玉+超=4二—3'*24后2一3,

TI

因为4408=万，所以而.砺二0,即再々+%%=0,

22

所以西々+(g+m\kx2+加)=0,整理得12(1+k)=m

33」

设点。到直线/的距离为"，则由等面积法得叫=|/却"，所以\AB\

m\m2叨匕9=2右

d

l+k

又,所以

/Tv

若直线/的斜率不存在，则直线。/的斜率为±1,

不妨设直线3的斜率为1,则再=必，

22

匕一上=12n

将点A的坐标代入方程34，得毛=口,

所以3=1。同=2跖阕=46,

半牛=2逝

所以\AB\

网31

综上，\AB\为定值26.

DE=^i

17.(1)证明见解析，5

V30

⑵10

【分析】(1)连先证明面/OD,从而得出BSLOE,再由OELBC,结合线面

垂直判定证明1侧面S8C,再由等面积法以及勾股定理得出DE的长；

(2)分别以所在直线为x,八z轴，建立空间直角坐标系，结合向量法得出平面

SBC与平面SCD夹角的余弦值.

［详解］(1)解：连/°，；/2=NS,0是8S的中点，

又DO±面ABS,：.DO±BS

•/4。cDO=O,:.BSL^AOD,

过。作于£,则5S_L0E,

又BCHAD,:.OELBC,

又BScBC=B,所以面SBC.

在必△ZOD中，AO=I,DO=NAD2-AO?=2,

AOxOD222

E0=DE=>JDO-EO=~^=

AD―忑所以6

（2）分别以0408,°O所在直线为x/,z轴，建立空间直角坐标系,

则/（1,0,0）,8（0,2,0）,5（0,-2,0）,D（0,0,2）,.-.AD=（-1,0,2）,

1

砺=a+方=厉+：®=（1,0,0）+*1,0,2）=&,0。

故点石的坐标是

由（1）知面SBC,故面SBC的法向量可取々=（2，°，1）,

设面SCD的法向量是元=（x/，z）,而反=罚=（-1,2,0）,示=（0,-2,-2）,

Jn2-DS=0［-2y-2z=0

由［”2，℃=0,得［-x+2y=0令y=l,得工=2,2=-1,即

cos〈4,"2〉=患消=得叵

所以网网,从而平面S5C与平面SCO夹角的余弦值为10.

］_

18.（1）4

（2）⑴E（XJ=£（%T）+5/"2；（打）］o

【分析】（1）由题意，得到前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错）,

20（对），40（对），进而求得得分之和为70分的概率；

（2）⑴根据题意，分别求得£（g）=15,£（乜）=20,£（&）=25,结合题意，得到

E（X，）=E（X,T）+5,即可完成猜想；

邙⑶）=5/；25"方£区）=315

（ii）由⑴得到为等差数列，求得泊2,结合I和

£E（X）=375

日，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错）,

尸=2x（―）3=—

20（对），40（对），所以甲前3次答题的得分之和为70分的概率为24.

（2）解：（i）甲第1次答题得分20分，10分的概率分别为万，则

E（X1）=20x-+10xl=15

22.

_LJ_J_

甲第2次答题得分40分，20分，10分的概率分别为4'45,

£（X7）=40x-+20xl+10x-=20

则'"442

£]_j_j_

甲第3次答题得分80分，40分，20,10嗯分的概率分别为京8?4,2,

£（X,）=80xl+40x-+20x-+10x-=25

则'"8842

当后2时，因为甲第,_1次答题所得分数MT的数学期望为"（MT）,

所以第，.次答对题所得分数为2E（XT）,答错题所的分数为10分，其概率为

所以明）3小旦+】呜咫口）+5,

可猜想E（X）=E（XT）+5”2

（ii）由（i）知数列｛E（XJ｝是以15为首项，5为公差的等差数列,

yE（Xi）=].5n+-------x5=-------------

根据等差数列的求和公式，可得I22

910

孕区）=315<320±矶乂）=375>320

当〃=9时，I,当"=10时，；=1,

所以实数〃的最小值为10.

方法点睛：对于离散型随机变量的期望与方差的综合问题的求解策略:

I、理解随机变量X的意义，写出X可能取得得全部数值；

2、根据题意，求得随机变量X的每一个值对应的概率；

3、列出随机变量X的分布列，利用期望和方差的公式求得数学期望和方差；

4、注意期望与方差的性质E（aX+b）=a£（X）+"O（ax+6）=/D（X）的应用;

|（2）尸32

19.（1）（i）答案见解析；（ii）〔〔4-4x<"x-3x-x+3或

JO<x<11

［丁—3x?—x+3<j/<4—4xJ

-4<x<-2—2<%<0

p<-4

x*x+4,x+4v

（2）点。的集合为刈xe<y<-----—------<y<xe

<"0或e-或e-----------,

【分析】（1）（i）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数,（X）的单调性，可得其

凹凸性；

（ii）根据“上切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点尸的集合；

（2）根据函数g（x）=xe'利用，，上切点，，的定义，得出单调性即可得出结论.

【详解】（1）因为/（x）=a/+x3-3（2a+l）f-x+3,

所以广（x）=4办3+3%2-6（2Q+1）X-1

32

人h（x）=4ax+3x-6（2a+1）x-1

所以"（x）=12ax2+6x-6（2Q+1）=6（2QX+2Q+1）（X-1）

⑴当。=0时，"（X）=6（XT）,令"GV。，解得

令“（x）4°,解得E；

故/（x）为区间L+8）上的凹函数，为区间（一叫目上的凸函数；

1八〜,2。+1

一_7<〃<0h'（Y\>01«xW----------

当4时，令解得2a,

〉2a+\

令解得E或“2a,

12a+12Q+1+）

故"x）为区间「2a」上的凹函数，为区间（一应"和I2a'J上的凸函数;

当"K时，〃。）=-3（1）"0,故"x）为区间（一叫+00）上的凸函数;

1

当“<%时，令I”。，

解得2a,

2Q+1

令解得SI或X-一三二，

2a+1]（