高中数学讲义（人教B版2019选择性必修三）第01讲511数列的概念

数列的概念课程标准学习目标（1）通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征。（2）根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义。（3）知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。（4）掌握数列的表示方法。（5）通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律。通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法，了解数列是一种特殊的函数。知识点01数列的概念1、数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。2、数列的通项公式（1）数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为。（2）一般地，如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于的不含其它未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式。【即学即练1】（2023·陕西宝鸡·高二校考期末）（多选）下列结论中正确的是（）A．数列的项数是无限的B．数列通项公式的表达式不是唯一的C．数列1，3，5，7可表示为D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列【答案】BD【解析】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A错误；数列通项公式的表达式不是唯一的，例如，数列1，，1，，…的通项公式可以是，也可以是，故B正确；构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C错误；根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D正确．故选：BD.知识点02数列的分类及表示1、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列其中n∈N+递减数列常数列摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．【即学即练2】（2023·海南儋州·高二校考期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，…B．，，，C．，，，，…D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C．知识点03数列与函数的关系1、数列与函数的关系由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：所以，数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．2、数列的单调性：判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列．（2）作商比较法：ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列；ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列．（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．【即学即练3】（2022·高二课时练习）（多选）下列结论中正确的是（）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点C．数列的项数是无限的D．数列是递增数列【答案】ABD【解析】由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集，选项A，B正确；由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确；对于，得到，所以，数列是递增数列，D正确，故选：ABD【题型一：数列的概念及辨析】例1．（2023·高二课时练习）数列的通项公式是，，则它的图象是（）A．直线B．直线上孤立的点C．抛物线D．抛物线上孤立的点【答案】B【解析】数列对应点为，所以图象是直线上孤立的点，故选：B变式11．（2023·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A．数列可以用图象来表示B．数列的通项公式不唯一C．数列中的项不能相等D．数列可以用一群孤立的点表示【答案】ABD【解析】对于A，由数列定义知，数列是以项数为自变量，项为因变量的特殊函数，故可以用图象来表示，A正确；对于B，若数列有通项公式，则该数列的通项公式不一定唯一，例如：数列的通项公式可以为，也可以为，B正确；对于C，数列中的项可以相等，如常数列，C不正确；对于D，由数列是特殊的函数且知，数列可以用一群孤立的点表示，D正确.故选：ABD变式12．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（

）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列的项数一定是无限的C．数列的通项公式的形式是唯一的D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式【答案】A【解析】对于A，由数列定义知，A正确；对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误；对于C，数列的通项公式可以为，也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误；对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.故选：A变式13．（2023·高二课时练习）（多选）下列说法不正确的是（）A．数列可以表示为B．数列与数列是相同的数列C．数列的第项为1＋D．数列可记为【答案】ABD【解析】A选项，数列和数列，前者是有限项，后者是无限项，所以两个数列不一样，A选项错误.B选项，数列与数列的项的顺序不相同，所以不是相同数列，B选项错误.C选项，，所以数列的第项为1＋，C选项正确.D选项，数列可记为，所以D选项错误.故选：ABD变式14．（2023·云南曲靖·高二曲靖市民族中学校考期中）下列说法正确的是（）A．数列与是相同的B．数列可以表示为C．数列与是相同的数列D．数列的第项为【答案】D【解析】对于A项，数列与是不同的，表示数列，而表示数列中的第项，故A项错误；对于B项，是一个集合，故B项错误；对于C项，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C项错误；对于D项，，故D项正确.故选：D.【方法技巧与总结】掌握数列的概念辨析解题技巧需要明确数列的定义、数列是一种特殊的函数。题型二：数列的分类例2．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）A．1，，，，…B．sin，sin，sin，…C．－1，－，－，－，…D．1，，，…，【答案】C【解析】D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，C是无穷数列又是递增数列，故选：C.变式21．（2022·江苏南通·高二校考期中）下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（）A．1，2，3，…，20B．1，2，3，…，n，…C．1，2，3，2，5，6，…D．1，0，1，2，…，100，…【答案】D【解析】由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案：D变式22．（2022·重庆·高二永川北山中学校校考阶段练习）（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）．A．1，，，，…，，…B．，，，，…，，…C．，，，…，，…D．1，，，…，，…【答案】BD【解析】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误；对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确；对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误；对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确.故选：BD.变式23．（2023·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？（1）2017，2018，2019，2020，2021；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）9，9，9，9，9，9.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析（4）答案见解析；（5）答案见解析；（6）答案见解析【解析】（1）因数列（1）只有5项，且依次增大，故（1）为有穷数列，且为递增数列.（2）因数列（2）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，也增大，故为递增数列.（3）因数列（3）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，减小，故为递减数列.（4）因数列（4）有无限项，所以不是有穷数列，因数列正负交替，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.（5）因数列（5）有无限项，所以不是有穷数列，因数列为1，0，1，0循环，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.（6）因数列（6）只有5项，故（1）为有穷数列，且各项均为9，故为常数数列.【方法技巧与总结】判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项。若数列含有限项则是有穷数列，否则是无穷数列。而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足，则是递增数列；若满足，则是递减数列；若满足，则是常数列；若与的大小不确定时，则是摆动数列。题型三：由数列的前几项求通项公式例3．（2023·吉林长春·高二长春市第二中学校联考期末）数列，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】观察数列，，，，可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为，所以该数列的一个通项公式为.故选：A.变式31．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）（多选）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对于A，，符合题意，A是；对于B，，符合题意，B是；对于C，，符合题意，C是；对于D，，不符合题意，D不是.故选：ABC变式32．（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列，，，，的一个通项公式是an=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列，，，，的通项公式为，则数列，，，，的通项公式为，而数列，，，，的每一项都是上面数列对应项的，所以数列，，，，的通项公式为.故选：C.变式33．（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数（）

A．32B．35C．36D．42【答案】B【解析】由题意，，所以，根据规律，，所以，故选：B变式34．（2023·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式．（1）（2）（3）0，，，，…；（4）1，11，111，1111，….【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）观察数列中的数，可以看到所以它的一个通项公式是；（2）数列各项的绝对值为是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为；（3）因为所以数列的一个通项公式为；（4）原数列的各项可变为，易知数列9，99，999，9999，…，的一个通项公式为，所以原数列的一个通项公式为．【方法技巧与总结】由数列的前几项求数列的通项公式（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项．（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．（4）拆项、添项后的特征．（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.题型四：判断或写出数列中的项例4．（2022·黑龙江佳木斯·高二校考期末）已知数列满足：，则等于（）A．32B．64C．48D．128【答案】B【解析】由，令，得，故选：B.变式41．（2023·江苏南通·高二统考期末）在数列中，若，则的值为（）A．17B．23C．25D．41【答案】A【解析】依题意，.故选：A变式42．（2023·河北·高二校联考阶段练习）（多选）已知数列1，，，，…，，…，则下列说法正确的是（）A．是它的第3项B．是它的第4项C．是它的第9项D．是它的第16项【答案】CD【解析】当时，，C正确，A错误；当时，，故D正确，B错误．故选：CD．变式43．（2023·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知数列的通项，则.【答案】【解析】由于数列的通项，故，，所以.变式44．（2023·广东佛山·高二校考阶段练习）已知数列的通项公式为，则是该数列的第（）项A．10B．7C．5D．8【答案】D【解析】由已知，解得，负值舍去，则是该数列的第项.故选：D.【方法技巧与总结】（1）利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．（2）判断某数值是否为该数列的项的方法：先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．题型五：数列单调性的判断例5．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）下列数列是递减数列的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对选项A：为递增数列；对选项B：为递减数列；对选项C：，先增后减数列；对选项D：，先减后增数列.故选：B.变式51．（2023·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）已知数列，，为递减数列，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意可知，解得，故答案为：变式52．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，为递增数列，故，故，由于，故，因为，，故“为递增数列”是“”的必要不充分条件.故选：B变式53．（2023·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）使得“对于任意，是递减数列”为真命题的整数值是.（写出一个符合要求的答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】因为对于任意，是递减数列，所以，所以整数值可以为.变式54．（2023·天津·高二咸水沽第一中学校考阶段练习）已知数列中，（且）．若对任意的，都有成立，的取值范围是．【答案】【解析】，已知对任意的，都有成立，，函数在区间和单调递减，结合函数的单调性可得，得，因此实数的取值范围为.【方法技巧与总结】由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．题型六：数列中的最大项、最小项例6．（2023·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）（多选）已知在数列中，，则数列的最小项是（）A．第1项B．第2项C．第3项D．第4项【答案】BC【解析】依题意，，函数的开口向上，对称轴为，由于，所以当或时，取得最小值.故选：BC变式61．（2023·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（）A．2B．3C．2或3D．4【答案】C【解析】；；，，当时，，所以，所以数列中的最大项的项数或.故选：C变式62．（2023·上海·高二复旦附中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第项.【答案】【解析】依题意，，则，当时，，所以当时，，所以数列的最大项为第项.变式63．（2023·高二课时练习）已知，求该数列前30项中的最大项和最小项．【答案】最大项为，最小项为【解析】，，而，，若要最大，则需要取最小正数，则当时，最大，若要最小，则需要取最大负数，则当时，最小．所以该数列前30项中的最大项为，最小项为.变式64．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式是，判断该数列的单调性，并求出这个数列的最小项．【答案】答案见解析【解析】令，则，故时，所以，故该数列的先递减后递增，又，故数列最小项为第三、四项为.【方法技巧与总结】求数列最大(小)项的方法（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．（2）利用，求数列中的最大项；利用，求数列中的最小项.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．一、单选题1．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（）A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列C．数列的第k项为D．数列0，2，4，6，可记为【答案】C【解析】对A，数列可为常数数列，A错误；对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误；对C，当时，，C正确；对D，数列中的第一项不能用表示，D错误.故选：C2．（2018·陕西延安·高二阶段练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，…B．，，，C．，，，，…D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C．3．（2023·高二课时练习）已知函数，设，则下列说法中错误的是（）A．是无穷数列B．是递增数列C．不是常数列D．中有最大项【答案】D【解析】对于A，显然是无穷数列，故A正确；对于B，因为，即，即是递增数列，故B正确；对于C，因为，，，故不是常数列，故C正确；对于D，由B知，是递增数列，当趋近于无穷大时，也趋近于无穷大，所以中无最大项，故D错误.故选：D4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列{an}的通项公式，则a2a3的值是（）A．70B．28C．20D．16【答案】D【解析】依题意，，，则，所以a2a3的值是16.故选：D5．（2023·陕西安康·高二校考阶段练习）已知数列，则是这个数列的（）A．第21项B．第22项C．第23项D．第24项【答案】B【解析】由题意可得数列的通项公式为，又，解得，所以是这个数列的第22项．故选：B．6．（2023·河南·高二校联考阶段练习）数列1，，，…的通项公式可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，对于B中，当时，对于C中，对于D中，四个选项中只有同时满足，，.故选：A7．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）数列1，，，，…的一个通项公式为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】数列前4项的绝对值依次为1，，，，由此得数列第n项的绝对值为，而数列的奇数项为正，偶数项为负，可用表示数列的第n项的符号，因此.故选：B8．（2023·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习）已知的通项公式为（），若数列为递减数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由数列为递减数列，则，即恒成立，即，当时，的最小值为，即.故选：C二、多选题9．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式是，那么（）A．30是数列的一项B．45是数列的一项C．66是数列的一项D．90是数列的一项【答案】BC【解析】分别令的值为30，45，66，90，可知只有当时，或（舍去）

；当时，或（舍去），故45，66是数列的一项．故选：BC10．（2023·安徽芜湖·高二校考阶段练习）若数列的前项分别为，，，，则这个数列的通项公式可能是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对于A，当，，，时，分别对应的是，，，，正确；对于B，当，，，时，分别对应的是，，，，正确；对于C，当，，，时，分别对应的是，，，，正确；对于D，，，，，错误.所以这个数列的通项公式可能是ABC.故选：ABC11．（2023·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）已知数列的通项公式，若对恒成立，则满足条件的正整数k可以为（）A．6B．7C．8D．9【答案】BC【解析】，当且仅当，即时取等，因为，所以当时，，当时，，所以的最小值为和，因为对恒成立，所以或.故选：BC.12．（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”，下列选项正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则数列是间隔递增数列C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则【答案】BCD【解析】对于A：设等比数列的公比为，则，因为，所以当时，，故A错误；对于B：，对于函数，明显其在上单调递增，则，当，即时，，B正确；对于C：，当为奇数时，，存在，使成立，当为偶数时，，存在，使成立，综上，数列是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C正确；对于D：若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则对恒成立，即，解得，又该不等式的解为所以，解得，可以得到，D正确；故选：BCD.三、填空题13．（2023·甘肃临夏·高二校考阶段练习）数列中，，则125是这个数列的第项.【答案】8【解析】由，得，而，解得，所以125是这个数列的第8项.14．（2023·湖北武汉·高二校联考期中）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有个点.

【答案】57【解析】根据题意，图（1）中只有1个点，无分支；图（2）除中间一个点外，有两个分支，每个分支由1个点；图（3）除中间一个点外，有三个分支，每个分支由2个点；图（4）除中间一个点外，有四个分支，每个分支由3个点，则第个图形中除中间一个点外，有个分支，每个分支有个点，第个图形中有个点，故第8个图形中有个点．15．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则使成立的正整数的最大值为．【答案】【解析】由，解得，因为，所以正整数的最大值为.16．（2023·江苏宿迁·高二校考期中）已知数列的通项公式，记数列落在区间内项的个数为，则．【答案】23【解析】由题意为数列落在区间内项的个数，所以令，解得，所以.四、解答题17．（2023·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？（1），，，，…；（2）2，4，6，8，10，…；（3）7，7，7，7，…；（4），，，，…；（5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；（6），，，，，，….【答案】（1）无穷数列，递减数列；（2）无穷数列，递增数列；（3）无穷数列，常数列（4）无穷数列，递减数列；（5）有穷数列，递减数列；（6）无穷数列【解析】（1）数列有无穷多个项，从第2项起，每一项都小于它前面的一项，故该数列为无穷数