2024-2025学年广东省惠州市高二上册10月月考数学阶段性检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省惠州市高二上学期10月月考数学阶段性检测试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.【详解】解：因为点关于平面对称的点的坐标是，所以点关于平面对称的点的坐标是，故选：B.本题考查求点关于坐标平面对称的点的坐标，是基础题.2.已知空间向量，，若，则（）．A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据数量积求得，再根据向量的夹角公式求得答案.【详解】由得，，解得，则，，所以，故选：A．3.经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】求出圆的圆心坐标，根据所求直线与垂直，求其斜率，根据点斜式写出直线方程.【详解】圆圆心的坐标为，设所求直线斜率为，因为所求直线与直线垂直，所以，故，所以直线方程为，即故选：D.4.若直线的斜率大于，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】化一般式为斜截式得到直线的斜率，进而列出不等式求解即可.【详解】直线，即，则直线的斜率为，即，解得.所以的取值范围为.故选：A.5.，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：直线的斜率，直线的斜率，结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．故选：．本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题．6.已知直线的斜率是方程的两个根，则（）A. B.C.与相交但不垂直 D.与的位置关系不确定【正确答案】C【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论.【详解】设直线的斜率为，则，，不垂直，A错误；若，则，与矛盾，，不平行，B错误；不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误.故选：C.7.二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得，由此能求出的长．【详解】因为二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，所以，，又所以.所以的长为.故选：D.本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8.已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（） B. C. D.【正确答案】A【分析】设正方体的棱长为1，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可设，从而得到，，再根据向量的夹角公式即可求出，求函数值域即可．【详解】设正方体的棱长为1，如图所示，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有．设，则，，所以．又因，所以．故选：A．本题主要考查利用向量解决直线与直线所成角问题，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.以下四个命题中正确提（）A.空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B.若为空间向量的一组基底，则，，全不是零向量C.纵坐标为0的向量都共面D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底【正确答案】BC【分析】根据空间向量的基底的定义：任何三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基底，逐次分析A、B、D三个选项，可得出结论，纵坐标为0的向量都在平面中，可以判断C．【详解】空间的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示，A中忽略了基底必须为三个“不共面的向量”这个限制条件，故A错误；若为空间向量的一组基底，则三者中任意两个都不共线，故任何一个都不能为零向量，选项B正确；纵坐标为0的向量都在平面中，所以都共面，故选项C正确；任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，三个向量不共线时可能共面，故D错误．故选：BC．10.下列说法错误是（）A.平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示B.直线与y轴的交点到原点的距离为C.在x轴、y轴上截距分别为a，b的直线方程为D.两条直线中，斜率越大则倾斜角越大【正确答案】ACD【分析】对于A选项，利用垂直于x轴的直线；对于B选项，根据直线与y轴的交点坐标为判断；对于C选项，利用直线过坐标原点时不满足判断；对于D选项，举例两条直线的倾斜角分别为判断.【详解】解：对于A选项，垂直于x轴的直线不能用斜截式表示，故错误；对于B选项，由于直线与y轴的交点坐标为，故原点的距离为，故正确；对于C选项，当直线过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距均为0，不能用方程表示，故错误.对于D选项，若两条直线的倾斜角分别为，则斜率分别为，显然不满足，故错误.故选：ACD11.已知圆心为的圆与点，则（）A.圆的半径为2B.点在圆外C.点与圆上任一点距离的最大值为D.点与圆上任一点距离的最小值为【正确答案】BCD【分析】把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答.【详解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；因点，则，点在圆外，B正确；因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.点到直线的距离为______．【正确答案】【分析】利用点到直线的距离公式计算得解.【详解】点到直线的距离为.故13.已知平面的法向量，直线l的方向向量，若，则________．【正确答案】12【分析】由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解.【详解】∵．则，即，解得．答案：14.若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为______.【正确答案】【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解.【详解】圆：化为标准方程，得，因为，所以点在圆的内部，且，所以的取值范围为.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）求直线与的交点的坐标；（2）求两条直线与间的距离.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）联立直线方程求解即可得交点；（2）将方程化为，由平行直线间的距离公式求解.【详解】（1）联立，得，故直线与的交点的坐标为．（2）方程可化为，所以两条直线与间的距离.16.已知空间中三点，，.设，.（1）求；（2）若与互相垂直，求实数的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可；（2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可.【小问1详解】，，，，，，，于是，.【小问2详解】，，又与互相垂直，，即，，解得.17.圆C过点，，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.【详解】（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1.的中点的横坐标和纵坐标分别为，.因此，直线m的方程为.即.又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组，解得所以圆心坐标，又半径，则所求圆的方程是.（2）设线段的中点，M为线段的中点，则，解得代入圆C中得，即线段中点M的轨迹方程为.本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.18.如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，.（1）求点到直线的距离（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据给定条件，求出等腰三角形腰上的高即可求出点到直线的距离.（2）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）利用向量法可求出点P到平面的距离．【小问1详解】三棱锥中，平面，平面，则，又，，，则，，，于是等腰腰上的高，由，分别是棱，的中点，得，是的中位线，所以点到直线的距离为.【小问2详解】依题意：以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，又，，分别是棱，，的中点，，得，则，设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】由（2）知，，点P到平面的距离，所以点P到平面的距离为.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，Q为的中点，M是棱上的点，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点M，使二面角大小为？若存在，请指出点M的位置，若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，点M位于靠近点C的四等分处【分析】（1）由面面垂直证平面，再证平面平面；（2）以Q为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由向量法求线线角；（3）设，，由向量法利用二面角建立方程求解.【小问1详解】证明：因为，，Q为的中点，所以四边形为平行四边形，所以．所以，即．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．平面，所