清华北大自主招生模拟试题

清华北大自主招生摹拟试题

说明：第1一4题每题15分，第I题每题20分，试卷总分为100分.

1.求最小的正实数k，使得ab+bc+ca+k(-4-l+4>9对所有的正实数a,b,c都成立.

abc

3.设定义在［-1,1］上的函数f(x)=|"x2-h?bx+lc|的最大值为M,求M的最小值.

33

4.如图，O是边长为1的正六边形ABCDEF的中心,一条路径是指从点O出

发,沿着线段又回到点O,求长度为2022的路径条数.

5.已知北直角三角形ABC的最小边长为5,且tanA十tanB十tanC0［tanA］十［tanB］十［tanC］,其中符

号冈表示不超过实数x的最大整数,求八ABC的面积?

6.已知函数f(x)=ax+b+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.

x

⑴将b,c用a表示出来；

⑵若f(x)>Inx在［1,伏)上恒成立,求a的取值范围;

*1[〔n

(3)求证:对所有正整数n,都有1+_++_>ln(n+1)+

23n2(n+1)

自主招生摹拟试题答题纸

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6.

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参考答案

1.求最小的正实数k,使得ab+be+ca+k(1+1+」)>9对所有的正实数a,b,c都成立.

abc

解:首先令a=b=c=1，则有k>2.

其次,证明:ab+be+ca+2(1+1+1)>9对所有的正实数a,b,c都成立.

abc

由于ab+—+—>3.Jab.—.——3,同理可得:be+—+—>3,ca+—+—>3.

abvabbcca

以上三式相加即得:ab+bc+ca+2(1+1+}>9.

abc

综上可知，所求k的最小值为2.

2.如图，已知U0分别与等边三角形ABC的三边AB,BC,CA相切于点D,E,F,设劣弧DF上的点P到

三边AB,BC,CA的距离挨次为°,d,d，求二眄.

证明:如图，以0为原点，0A所在直线为y轴建立坐标系,不妨设

U0的半径为1,则点P坐标为(cos9,sin9)(300<9<1500),

则由题意可得：

直线AC的方程为:xcos30O+ycos300-1=0；

直线AB的方程为：x8s1500+y8s1500-1=0；

直线BC的方程为：y+1=0.

由点到直线的距离公式可得：

7^'+|^bs9cos30O+sin9cos30O-11+^/cos9cos1500+sin9cos1500-11

2sin2(1-150)+

2(—750)=向sin(350)-sin乙750)]

222

9999

J，(cos150—sin150'(sin—+cos—)=sin—+cos—=J1+sin9

2222

故，Q+眄=wy成立•

3.设定义在［-1,1］上的函数f(x)=|-X24-^bxJc|的最大值为M,求M的最小值.

33

解：由题意可知对任意的xq-1,1］都有f(x)WM,贝ij：

33333

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^4M>f(-1)+2f(0)+f(1)

=|一Tb2\c|1+2|_1c|+|TTb2+」1c|>|-1^T2b+_1c-2Jc1-1+Jb2+J1c|=2.

3333333333

1311

即,M>_事实上,当b=0,c=一时，f(x)=|—X2+_|在[-1,1]上的最大值为一.

2222

1

所以，实数M的最小值为]

4.如图，。是边长为1的正六边形ABCDEF的中心，一条路径是指从

点O出发,沿着线段又回到点O,求长度为2022的路径条数.

解：由题意设从点O出发沿着线段又回到点。，且长度为n的路径条

数为a,从点A出发沿着线段到点。，旦长度为n的路径条数为b,

nn

(a=6b一

则有nI号a=2a+6a.

lb=a+2bnn-1n-2

nn-1n-1

又由于a=0,a=6,故可求得a=1((7—办(1+/+(7+⑺'.(1-

12n14

从而可得长度为2022的路径条数a=4一47(1+逅)22+(7+J5".(1—")2022).

202214

5.已知非直角三角形ABC的最小边长为5,H.tanA+tanB+tanCft[tanA]+[tanB]+[tanC],其中符

号[x]表示不超过实数x的最大整数,求编ABC的面积？

解：由题意知对所有实数x，都有冈共x，故tanA+tanB+tanC>[tanA]+[tanB]+[tanC].结合题目

条件可知tanA+tanB+tanC=[tanA]+[tanB]+[tanC],其中tanA,tanB,tanC均为整数.

不妨设tanA=x,tanB=y,tanC=z(x,y,z均为非零整数,且x共y共z),则由tanC=-tan(A+B)

可得xyz=x+y+z,而A,B,C中最多一个钝角,即y,z必为正整数,0想xyz=x+y+z共3z,故xy共3,

从而x=1,y=1，或者x二1,y=2,或者x=1,y=3.

当x=1,y=1时,由xyz=x+y+z妇无解;

当x=1,y=2时,由xyz=x+y+z^iz=3,

当x=1,y=3时，由xyz=x+y+z知z=2,这与x共y共z不符.

故在编ABC中，tanA=1,tanB=2,tanC=3,且BC=5.过点B作高BD,则在R褊BCD中可求得

BD=*,CD』J~\0，在R蝙ABD中可求得AD=-7->0，故AC二行),故编ABC的面积为15.

222

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6.已知函数f(x)=ax+_+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.

x

⑴将b,c川a表示出来；

⑵若f(x)>Inx在［1,+w)上恒成立，求a的取值范围;

*14alc

⑶求证:对所有正整数n,都有1+g-+...+->ln(n+1)+

23n2(n+1)

b(f*(1)=a-b=1(b=a-1

(a>0)

解：⑴求导得f仅=a-/由题煮得*⑴二a+b+c=惮得<|C=1-2a-

a_1

⑵由⑴可知f(x)=ax+-------+1-2a(a>0).

x

a(x-1)(x-——)

a_1

令g(x)=f(x)-Inx=ax+------+1-2a-Inx,x=［1,+w)，则g'(x)=--------------------—.

xx2

当0<a时,—>1,若x=(J二a),则g，仅)<o,故g(x)在区间(1工9)上单调递减.所以,

2aaa

1_a

当乂=(L------)时,g(x)<g(1)=。，即f(x)<Inx,不合题意.

a

当a>—时，—ft1,若x>1,则g'(x)>0,故g(x)在区间(1,+w)上单调递增.所以，当

2a

x=［1,+w)时，g(x)>g⑴=0,即f(x)>Inx,符合题意.

综上可知,实数a的取值范围为［L+w).

2

⑶由⑵的结论知:当a>L时，f(x)>Inx在［1,+W)上恒成立.

2

取a=L时有f(x)=L(x-L)>Inx在［1,+w)上恒成立,当x>1时，f(x)=J(x-2)>Inx.

22x2x

234n+1

挨次令x=-s-,一,...,-----可得：

123n

In£=ln2-O<L(£-L)=-(1+-)；

12122L211