2024-2025学年沪科版八年级数学上册期末冲刺复习：一次函数实际问题的五种考法（解析版）

专题04一次函数实际问题的五种考法

目录

解题知识必备...................................................................................1

压轴题型讲练...................................................................................2

类型一、费用最少问题...........................................................................2

类型二、利润最大问题...........................................................................6

类型三、最佳方案问题..........................................................................10

类型四、行程问题.............................................................................14

类型五、分段函数问题.........................................................................21

压轴能力测评..................................................................................25

♦♦解题知识必备”

L根据实际问题列一次函数关系式

根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题需要注意的是实

例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，

再利用待定系数法求解相关的问题；

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化：

有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式.

2.一次函数的应用

⑴分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要

符合实际；

(2)函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量然后根据问题的条件寻

求可以反映实际问题的函数

(3)概括整合

①简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用②理清题意是采用分段函数解决

问题的关键.

♦♦压轴题型讲练”

类型一、费用最少问题

先将费用的式子用解析式列出来，根据一次函数的增减性分析何时取利润最大的问题。

例.2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采购甲、乙两种盆栽美化环境，若购买20盆甲种盆

栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆栽和20盆乙种盆栽，则需要220元.

(1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？

⑵若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买机盆(500<m<700)乙种盆栽，总费用

为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用.

【答案】(1)甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元；

⑵当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元

【分析】

本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程以及函数关系式是解答的关

键.

(1)设甲种盆栽的单价为龙元，乙种盆栽的单价为y元，直接根据题意列方程组求解即可;

(2)根据(1)中单价，由费用=单价x数量列函数关系式，利用一次函数性质求解即可.

【详解】(1)解：设甲种盆栽的单价为X元，乙种盆栽的单价为y元,

20x+10y=130x=4

根据题意,解得

30x+20y=220J=5

答：甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元;

(2)解：根据题意，得W=4(1000f)+5-=加+4000,

01>0,500VH7V700,

回卯随初的增大而增大，

团当机=500时，W有最小值，最小值为W=500+4000=4500,

1000-m=1000-500=500（:盆），

答：当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元.

【变式训练为锻炼身体，增强体质，某户外俱乐部组织队员去效游，需要购买雨伞和保温杯.已知购

买10把雨伞和15个保温杯需要450元；购买12把雨伞和10个保温杯需要380元.

⑴求购买1把雨伞和1个保温杯各需多少元；

（2）若购买雨伞和保温杯的总数为30,总费用不少于479元且不多于502元，则有几种购买方案？

⑶在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？

【答案】（1）购买1把雨伞需15元，购买1个保温杯需20元

（2）有五种购买方案

⑶购买24把雨伞和6个保温杯总费用最少，最少费用是480元

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据

等量关系和不等关系，列出方程和不等式.

（1）设购买1把雨伞需。元，购买1个保温杯需6元，根据购买10把雨伞和15个保温杯需要450元；购

买12把雨伞和10个保温杯需要380元，列出方程组，解方程组即可；

（2）设购买雨伞x把，则购买保温杯（30-力把，根据总费用不少于479元且不多于502元，列出不等式组，

解不等式组即可；

（3）设总费用为攻元，列出w关于x的函数解析式圾=15x+20（30-x）=-5X+600,根据一次函数的增减

性进行解答即可.

【详解】（1）解：设购买1把雨伞需。元，购买1个保温杯需6元，根据题意，得：

J10a+15匕=450

[12。+106=380'

1=15

解得：,

[y=20

答：购买1把雨伞需15元，购买1个保温杯需20元.

（2）解：设购买雨伞x把，则购买保温杯（30-x）把，根据题意，得：

J15x+20（30-x）<502

115x+20（30-%）>479;

“口98121

解得：—<x<—,

x为整数，

・•.X可取20,21,22,23,24,

有五种购买方案.

（3）解：设总费用为w元，根据题意，得：

川=15尤+20(30-%)=-5%+600,

5<0,

・••w随x的增大而减小，

,当x=24时，卬最小=-5x24+600=480,

答：购买24把雨伞和6个保温杯总费用最少，最少费用是480元.

【变式训练2】.某超市销售A、8两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱8种盐皮蛋共需390

元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱8种盐皮蛋共需310元.

(1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？

(2)若某公司购买4B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比2种的数量多5箱，怎样购买才能使总费

用最少？并求出最少费用.

【答案】(1)4种盐皮蛋每箱价格是30元，2种盐皮蛋每箱价格是20元

⑵购买A种盐皮蛋18箱，8种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，以及根据一次函数增减性求最值.正

确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键.

(1)设A种盐皮蛋每箱价格是x元，8种盐皮蛋每箱价格是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得

解；

(2)设购买A种盐皮蛋小箱，则购买2种盐皮蛋(30-帆)箱，购买A种盐皮蛋和B种盐皮蛋共花费w元,

根据题意列不等式，求出力的取值范围，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减

性即可求出w的最小值.

【详解】(1)解：设A种盐皮蛋每箱价格是尤元，2种盐皮蛋每箱价格是y元,

9x+6y=390

由题意得:

5x+8y=310

尤=30

解得

y=20

答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，2种盐皮蛋每箱价格是20元.

(2)解：设购买A种盐皮蛋机箱，则购买8种盐皮蛋(30-加)箱，购买A种盐皮蛋和8种盐皮蛋共花费w

元，

由题意得：m>30-m+5,

解得加217.5,

w=30m+20(30-m),

即：w=10m+600,

10>0,

随机的增大而增大.

当加=18时，w取得最小值780,

「.30-机=12.

答：购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元.

【变式训练31.五华，这片土地孕育了深厚的足球文化.从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队

梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展.五华某校致力于

发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶.在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需

要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元.

⑴求每个足球和足球锥形桶的单价；

(2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的;，应如

何购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

【答案】⑴每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元

(2)当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元

【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用等知识.

(1)设每个足球的价格是龙元，每个足球锥形桶的价格是y元，根据“买20个足球和40个足球锥形桶需要

花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元”列出方程组，解方程组即可求解；

(2)设学校购买了足球a个，需要的总费用为卬元，根据题意列出函数关系式W=30a+2400,根据题意

得到40WaW120,根据一次函数性质即可得到当，=40时，％小值=30x40+2400=3600,问题得解.

【详解】(1)解：设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是>元.

20x+40y=1800

依题意，得

x-y=30

X=50

解得:

y=20'

答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元;

(2)解：设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元,

贝i]W=50a+20(120—a)=30a+2400,

<2>^(120-«)

由题意得：

120—aNO

团40WaW120,

团30>0,

团W随〃的增大而增大,

回当。=40时，喔小值=30x40+2400=3600,

120-40=80(个).

答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元.

类型二、利润最大问题

口

先将利润的式子用解析式列出来，根据一次函数的增减性分析何时取利润最大问题。

例.为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品.若购进A种纪念品7件,

2种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件.8种纪念品8件，需要800元.

(1)求购进A、8两种纪念品每件各需多少元？

(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件.考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000

元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？

⑶若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用(2)中的进货方案，哪一种

方案可获利最大？最大利润是多少元？

【答案】⑴进A种纪念品每件需要80元，购进2种纪念品每件需要50元

(2)该商店共有7种进货方案

⑶该商店购进A种纪念品73件，购进2种纪念品27套，W最大=2730元

【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，一次

函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程或不等式是解题的关键.

(1)设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要V元，根据购买商品的数量及价格之间的

关系建立方程组求出其解即可；

(2)设该商店购进A种纪念品。件，则购进8种纪念品(100-。)套，根据条件中的不相等关系建立不等式

组求出其解即可；

(3)设总利润为W元，根据总利润=A种纪念品的利润+8种纪念品的利润就可以表示出W与。的关系式,

由一次函数的性质求出其解即可.

【详解】(1)解：设购进A种纪念品每件需要尤元，购进8种纪念品每件需要'元，

[7x+4y=760

贝”：5工+8>=800，

答：进A种纪念品每件需要80元，购进B种纪念品每件需要50元;

(2)解：设该商店购进A种纪念品。件，则购进8种纪念品(10。-。)套,

一80a+50(100-a)>7000

由题思得180a+5o(ioo_a)47200'

2I

解得：66-<a<73-.

33

。为整数，

.,.a=67,68,69,70,71,72,73.

该商店共有7种进货方案；

(3)解：设总利润为W元，由题意，^W=30a+20(100-a)=10a+2000,

左=10>0,

随X的增大而增大，

,该商店购进A种纪念品73件，购进3种纪念品27套，%大=10x73+2000=2730(元)，

答：该商店购进A种纪念品73件，购进B种纪念品27套，最大利润是2730兀.

【变式训练11.“一盔一带"是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的

重要标准，"一盔"是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔.某商场欲购进一批安全

头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型

号头盔需要195元.

⑴甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？

⑵若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个.已知甲种型

号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元.若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W

元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？

【答案】⑴甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元

(2)购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元

【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的

数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键.

(1)设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是x元和丁元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；

(2)设购进乙种型号头盔。个，则购进甲种型号头盔(200-a)个，根据"总利润=甲种型号头盔的总利润+

乙种型号头盔的总利润"，写出W与。的函数关系式，根据W随。的增减性和。的取值范围，确定当。取何

值时卬最大，求出w的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可.

【详解】(1)解：设甲种型号头盔的进货单价是X元，乙种型号头盔的进货单价是y元.

2x+3y=270

根据题意,

3x+y=195

x=45

解得

y=60

，甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元.

(2)解：设购进乙种型号头盔。个，则购进甲种型号头盔(200-a)个.

根据题意，得W=(55-45)(200-a)+(80-60)。=10a+2000,

10>0,

随。的增大而增大，

。<80,

.•.当。=80时，W取最大值，%大=10x80+2000=2800(元)，止匕时200—80=120(个)，

,购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元.

【变式训练2】.为加速升腾"成渝之星”的总体工作，遂宁市确立了筑“三城"(绿色智造名城、生态公园名

城、养心文旅名城)兴"三都"(西部水都、东方气都、锂电之都)和实施"六大对标竞进行动一景区管理

委员会为了改善景区生态环境，决定向某公司采购一批户外休闲椅.经了解，该公司出售弧形椅和条形椅

两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元

购买条形椅的数量多8张.

(1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？

(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人，怎

样购买最省钱.

【答案】(1)弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元；

⑵购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用.

【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正确

信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题.

(1)设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据"用8000元购买弧形椅的数量比用4800元

购买条形椅的数量多8张"列分式方程解答即可；

(2)设购进弧形椅沉张，则购进条形椅(300-帆)张，根据"一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，

景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人"列不等式求出废的取值范围；设购买休闲椅所需的费用

为W元，根据题意求出卬与加的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可.

【详解】(1)解：设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据题意得：

800048000

---=----+8

x0.75%

解得x=200,

经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，

/.0.75%=150,

答：弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元；

(2)解：设购进弧形椅机张，则购进条形椅(300-m)张，由题意得：

5m+3(300-m)>1000,

解得m>50；

设购买休闲椅所需的费用为卬元，则W=200机+150(300-机)，

即W=50〃z+45000,

50>0,

随加的增大而增大，

当加=50时，W有最小值，

300-/77=300-50=250：

答：购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用

【变式训练3】.某网店购进水果后再销售.甲种水果的进价比乙种水果每件多看花500元购进甲种水果的

件数比花450元购进乙种水果的件数少5件.

(1)求甲、乙两种水果每件的进货价格；

(2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元.甲种水果售价60元，乙种水

果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润.

【答案】⑴甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元

⑵利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元

【分析】此题考查一次函数的应用和分式方程的应用，熟练掌握一元一次不等式的求解是解题的关键.

(1)设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为［+元，利用数量=总价+单

价，结合花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件，可列出关于x的分式方程,

解之经检验后，可得出乙种水果每件的进货单价，再将其代入+中，即可求出甲种水果每件的进货

单价；

(2)利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元，设购进甲种水果

机件，则购进乙种水果(10。-机)件，利用进货总价=进货单价x进货数量，结合进货总价不超过4200元，

可列出关于冽的一元一次不等式，解之可得出根的取值范围，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润

为卬元，利用总利润=每件的销售利润X销售数量（进货数量），可找出W关于机的函数关系式，再利用一

次函数的性质，即可解决最值问题.

【详解】（1）解：设乙种水果每件的进货单价为X元，则甲种水果每件的进货单价为1卜元,

450500「

--------------------

根据题意得：X（1+2，，

解得：x=30,

经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意，

0^1+|^x=^l+|^|x3O=5O.

答：甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元；

（2）解：设购进甲种水果机件，则购进乙种水果（100-m）件，

根据题意得：50/71+30（100-?71）<4200,

解得：m^60,

设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元，

则w=（60-50）m+（30x2x0.6-30）（100-m）,

即w=4/71+600,

04>0,

随m的增大而增大，

团当机=60时，w取得最大值，最大值=4x60+600=840,止匕时100—优=100—60=40,

回利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元.

类型三、最佳方案问题

0

例.某酒店新装修，计划购买4B,C三种型号的餐桌共w套.己知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元,

一套3型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求购买C型餐桌的套数

是A型餐桌的3倍，设购买尤套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为y元.

（1）当1=160时,

①求、关于X的函数关系式.

②若购买的8型餐桌套数不多于C型餐桌套数，求总费用》的最小值，并写出此时具体的购买方案.

（2）已知酒店实际购买三种餐桌的总费用为18万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购

买方案，求最佳购买方案的椅子总数加及相应〃的值.

【答案】（1）=400^+160000,②A型餐桌23套，8型餐桌68套，C型餐桌69套，169200元；（2）

n=164,m=1144

【分析】（1）①根据"总费用=A型餐桌的费用+2型餐桌的费用+C型餐桌的费用"即可求解；②根据题意列

出不等式组，求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解；

900_

（2）根据总费用为180000元，列出方程800x+1000（w-4x）+1200x3^=l80000,解方程求得x=\，

7

再由〃-4x20求得“2163打，根据题意求得相与”的函数关系式为机=T〃+1800,根据一次函数的性质

即可求得当“=164时，〃重大=1144.

【详解】（1）①由题意可知y=800x+1000（160—4x）+1200x3尤=400x+160000.

（2）0O<16O-4x<3x,221<x<40.

回无=400>0,

回y随X的增大而增大，

回》为整数，

团当x=23时，y最小=16920。（元），

此时具体的购买方案为：A型餐桌23套，3型餐桌68套，C型餐桌69套.

（2）由题意可知，800x+100°（“—4x）+1200x3x=180000.

0n-4x>O,

7

ffln>163—,

11

又由加=4x+6（“一4x）+24r=Tw+1800,

回左=T<0,

回沉随〃的增大而减小，

国当”=164时，加最大=1144.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确列出函数的解析式及求得自变量的取值范围是解决问题的关键.

【变式训练11某酒店新装修，计划购买A,B,C三种型号的餐桌共〃套.已知一套A型餐桌（一桌四

椅）需600元，一套B型餐桌（一桌六椅）需800元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1000元，要求购买C

型餐桌的套数是A型餐桌的2倍，设购买x套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为,元.

（1）当“=160时,

①求V关于X的函数关系式.

②若购买的8型餐桌套数与C型餐桌套数的差不超过12桌，求总费用y的最小值，并写出此时具体的购买

方案.

（2）已知学校实际购买三种餐桌的总费用为16万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购

买方案，求最佳购买方案的椅子总数机及相应〃的值.（直接写出答案）

【答案】（1）①y=200x+128000；②V最小为134000（元），此时具体的购买方案是：A,B,C三种

型号的餐桌分别购买30套、70套、60套；（2）〃=185,m=1230.

【分析】（1）①根据总费用是三种费用之和列出函数关系式，然后把n=160代入即可；②根据"购买的B

型餐桌套数与C型餐桌套数的差不超过12套"列出不等式，求出n的最小值，然后再求出总费用即可；

（2）先用x的代数式表示出m,再求出n的最小值，最后求出m的值.

【详解】解：（1）①由题意，得600x+800（160-3x）+1000x2x=y,

团y=200x+128000.

3

②由题意，得160-3x-2x<12,解得xN29g,

又回工为整数，上=200>0,'随x的增大而增大，

团当x=30时，V最小，为200x30+128000=134000（元），

此时具体的购买方案是：

A,B,C三种型号的餐桌分别购买30套、70套、60套.

（2）由题意得：600x+800（«-3x）+1000x2x=160000,化简得

x=800—4»,又〃一3尤上0,

n

团xW一,

3

〃8

BP800-4n<-,n>184—,

回”为正整数，

回”的最小值为185,

/〃=4x+6（〃-3x）+8*2x=1600-2〃，可见，“越小，，"和x者B越大，

团当〃=185时，帆=1230.

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，将实际问题转化为数学问题成为解答本题的关键.

【变式训练2】.某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人100元，车站提出两种车票价格的优惠

方案供学校选择.第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方案是师生都按原价的

80%付款.该校参加这项活动的教师有5名，学生有X名.

（1）设购票付款为y元，请写出y与x的关系式.

（2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案？

【答案】（1）第一种方案：y=78x+500,第二种方案：y=80x+400；（2）当学生人数少于50人时，按方案

二购买，当学生人数为50人时，两种方案一样，当学生人数超过50人时，按方案一购买.

【分析】（1）根据两种不同的付款方案分别列出两种y与x的关系式；（2）根据两种方案中其中之一更便宜

可以得到不等式，解此不等式可知根据夏令营的学生人数选择购票付款的最佳方案.

【详解】解：（1）由题意可得，

第一种方案中：y=5X100+100XX78%=78X+500,

第二种方案中：y=100（x+5）X80%=80X+400；

（2）

如果第一种方案更便宜，则有，

78x+500<80x+400,

解得，x>50,

如果第二种方案更便宜，则有，

78x+500>80x+400,

解得，x<50,

如果两种方案价格一样，则有，

78x+500=80x+400,

解得，x=50,

团当学生人数少于50人时，按方案二购买，

当学生人数为50人时，两种方案一样，

当学生人数超过50人时，按方案一购买.

【点睛】本题主要考查一次函数在实际中的应用，根据人数、价格和优惠方案找出等量关系，列出一次函

数关系式.

【变式训练3】.康乐公司在A3两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台，

从A8两地运往甲、乙两地的费用如下表：

甲地（元/台）乙地（元/台）

地

600500

地

400800

（1）如果从地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用V（元）与x（台）之间的函数关系式;

（2）请你为康乐公司设计一种最佳调运方案，使总费用最少，并说明理由

【答案】（1）y=600%+500（17-X）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13300

（2）最佳方案是：由地调3台至甲地，14台至乙地，由地调15台至甲地

【详解】解：（1）、=6。。彳+5。0（17-彳）+400（18-尤）+800（》-3）=50。；£+133002分

(2)由(1)知：总运费y=500元+13300.

科〉(X

il7-x>01B八

.,.-.3<x<17,又左>0,..............3分

；18-x>0,

ix-3>0.

•••随X的增大，》也增大，

，当x=3时，y最小=500x3+13300=14800(元)..........4分

该公司完成以上调运方案至少需要14800元运费，最佳方案是：由地调3台至甲地，14台至乙地，由地调

15台至甲地.5分

类型四、行程问题

(1)速度=路程+时间；

(2)利用待定系数法求函数解析式;

(3)结合情况，分类讨论。

例.甲和乙平时的耐力与速度相差无几，某日体育课上，老师设计了一个200m赛跑方案，让甲从起跑就全

速前进，而让乙留着后劲儿，跑到一半时再用尽全力向前冲，并跟踪记录了赛跑的全过程，赛跑的全过程

如图所示.

⑴求甲此次比赛中的平均速度；

(2)当25WCW38时，求乙跑过的路程s(m)与时间f(s)的函数表达式;

⑶直接写出两人相距10米的时间.

【答案】⑴5m/s

1001200

(2)s=­t-------

''1313

214

⑶10s或力-s或38s

【分析】(1)根据速度=路程+时间求解即可；

(2)利用待定系数法求函数解析式即可；

(3)结合图象，分情况讨论：在04Y25这段时间，两人相距10m；在25＜芯38这段时间，乙追上甲之前

两人相距10m；在25V/W38这段时间，乙超过甲10m；在38＜fV4O这段时间，相距10m,分别求解即可.

【详解】(1)解：200+40=5(m/s),

答：甲此次比赛中的平均速度是5m/s；

(2)设当25W38时，乙跑过的路程s(m)与时间&s)的函数表达式s=Q+6(Z：wO),

.点(25,100)和(38,200)在该函数图象上，

J25左+6=100

"[38^+&=200，

\100

K=-----

解得L1⑵3。,

b=----------

・•・当25＜，＜38时，乙跑过的路程s(m)与时间/(s)的函数表达式5”常;

(3)由图象可知，当0W25时，乙的平均速度是100+25=4(m/s),

在04＜25这段时间，两人相距10m,此时5"4y10,

解得，=1。；

在25Vd38这段时间，乙追上甲之前两人相距10m,

解得”学714；

在25VY38这段时间，乙超过甲10m,

1001200匚s

——t-----------5r=10,

1313

解得£=38；

在38VZK4O这段时间内，

5^+10=200,

解得%=38(不合题意，舍去)；

、214

综上所述，当，=10s或〒S或38s时，两人相距10m.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结

合的思想解答.

【变式训练11某快车公司面向社会推出两种乘车方案，收费与行驶距离之间的函数关系如图所示，其中

方案一收费方式对应X，方案二的收费方式对应当.

（1）求方案一和方案二的函数关系式；

⑵①请说出图中点A的实际意义，

②若小明每天上班需要乘坐这家公司的快车，家离公司6km,那么小明选择哪个方案最省钱？请说明理由;

⑶请求出两种方案收费相差3元时的行驶距离.

8(0<x<2)

【答案】⑴%=3x；

2x+4(x>2)

（2）①当行驶距离为4km时，两种方案收费相同，均为12元；②小明选择方案二更省钱

⑶行驶距离在gkm和7km时，两种方案相差3元

【分析】此题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，读懂图象，数形结合是解题的

关键.

（1）由图象可知所经过的点，用待定系数法求解即可；

（2）点A的实际意义为当行驶距离为4km时，两种方案收费相同；由图象可知，当行驶距离超过4km时,

%>〉2,即方案二更省钱.

（3）两种收费相差3元，分4km前和4km后两种情况分别计算即可得到答案.

【详解】⑴方案一：设％=公，

把点（4,12）代入%=%无中，

得，攵1=3,即％=3x,

方案二：由图象可知，当0〈冗W2时，%=8,

当％>2时，设乂=。+匕，

把点（2,8）和点（4,12）代入为=+匕中,

2k2+。=8左2二2

得:,解得:

4k2+b=nZ?=4

二.%=2%+4,

8(0<x<2)

...%=

2x+4(%>2)

(2)①点A的实际意义为当行驶距离为4km时，两种方案收费相同，均为12元；

②由图象可知，当行驶距离超过4km时，

%>%，即方案二更省钱.

二小明选择方案二更省钱；

(3)■当x=4时两种收费相同，

二两种收费相差3元，分4km前和4km后两种情况，

①当x<4时，离4km越近收费相差的越少，

当x=2时，％=6,%=8,

=8-6=2,

二要使两种收费相差3元，x应小于2,

％一X=8—3x=3,

解得：X=g;

②当x>4时，3x—(2x+4)=3,

解得：x=7.

行驶距离在gkm和7km时，两种方案相差3元.

【变式训练2】.甲、乙两个物流公司分别在A、B两地之间进行货物交换，C地为两车的货物中转站，假设

A、8、C三地在同一条直线上，甲车以120km/h的速度从A地出发赶往C地，乙车从B地出发也赶往C地，

两车同时出发，在C地利用一段时间交换货物，然后各自按原速返回自己的出发地，假设两车在行驶过程

中各自速度保持不变，设两车行驶的时间为x(h),两车的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函

(2)求乙的速度；

⑶求出线段CD所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量尤的取值范围;

⑷直接写出两车相距50km时的行驶时间.

【答案】⑴400

(2)80km/h

(3)y=200x-500(2.5<x<4.5)

⑷两车相距50km时行驶时间为1.75小时或2.75小时

【分析】此题考查了一次函数和一元一次方程的应用.

(1)直接根据图象和题意即可得到答案；

(2)根据路程及行驶时间列方程并解方程即可求出答案；

(3)利用待定系数法求出函数解析式即可；

(4)分两车相向而行和两车各自返回两种情况，分别列方程并解方程即可求出答案.

【详解】(1)解：由题意，根据函数图象可知，A、8两地的距离为400km,

故答案为：400

(2)解：设乙的速度为〃7km/h,则

2(120+717)=400,

解得m—80,

答：乙的速度为80km/h；

(3)解：设线段CD所表示的y与x之间的函数关系式为>=履+6,把点(2.5,0),(4.5,400)代入得,

'2.5k+6=0

4.5左+6=400

回线段CO所表示的y与x之间的函数关系式为y=200%-500(2.5<x<4.5)；

(4)两车相距50km分两种情况：

①设两车相向而行时，两车相距50km时行驶时间为f小时，

贝！］(120+80"=400-50,

解得t=1.75,

②设两车各自返回时，两车相距50km时行驶时间为n小时，

则(120+80)(〃-0.5)=400+50

解得，“=2.75

答：两车相距50km时行驶时间为1.75小时或2.75小时.

【变式训练3】.甲、乙两人分别驾驶充电汽车和燃油汽车从A地前往8地，他们的行驶路程y(千米)与

行驶时间I(小时)之间的关系如图所示(其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲在中途因充电停止了一段时

间).

⑴甲、乙两人，_先到达B地；甲在充电之前的速度为一千米/时；

⑵若甲充完电后以原来速度的两倍继续行驶，则甲充电多少小时？

⑶在（2）的条件下，从甲、乙两人首次距A地距离相等开始，到甲到达B地结束，在这段时间内两人何时

相距30千米？

【答案】（1）甲，50

（2）2小时

⑶当行驶3.5小时或4.75小时或6.25小时或7.5小时，两人相距30千米

【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握从函数图象获取信息和待定系数法求一次函

数解析式是关键.

（1）依据题意，由图象可得，甲先到达8地；再设乙的行驶路程丫（千米）与行驶时间f（小时）之间的

关系为y=kt+b,结合过（2,40）,（8,400）,求出乙的行驶路程，（千米）与行驶时间小时）之间的关系

为y=60-80,再令f=3,则>=60x3-80=100,结合图象可得甲在充电前的行驶路程V（千米）与行驶时

间「（小时）之间的关系图象过⑵100）,再设甲在充电前的函数为丫=皿，求出关系式即可判断得解；

（2）依据题意，根据图象可得，甲充电的时间为：4-2=2（小时），进而可以判断得解；

（3）依据题意，设甲在充电后的函数关系式为y=b+d,又过（4,100）,（7,400）,进而求出甲在充电后的函

-fy=100？-300

数关系式为y=ioo-300,再结合图象当,=3时，甲乙首次距A距离相等，然后联列,0on，求出厂

[y=60f-80

的横坐标为5.5,又行驶7小时，两人相距30千米，从而分当3</<4时、当4V7<5.5时、当5.5Wf<7时

和当7〈X8时进行讨论计算可以得解.

【详解】（1）解：由图象可得，甲先到达3地.

由题意，设乙的行驶路程'（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系为丫=公+6,

又过（2,40）,（8,400）,

（2k+b=40

"\Sk+b=400'

卜=60

"U=-80,

，乙的行驶路程y（千米）与行驶时间》（小时）之间的关系为y=60f-80.

令t=3,则>=60x3-80=100.

二甲在充电前的行驶路程y（千米）与行驶时间/（小时）之间的关系图象过Q,io。）,

又设甲在充电前的函数为y=7加，

/.2m=100.

/.m=50.

，甲在充电前的行驶路程y（千米）与行驶时间f（小时）之间的关系为y=50"

二甲在充电前的速度为1x50=50（千米/小时）.

故答案为：甲；50.

（2）解：由题意，根据图象可得，甲充电的时间为：4-2=2（小时）.

（3）解：由题意，设甲在充电后的函数关系式为>=b+d,

又过(4,100),(7,400),

4c+d=100

lc+d=400

c=100

d=-300，

•••甲在充电后的函数关系式为y=i。。-3oo.

又结合图象当"3时，甲乙首次距A距离相等.

)7=100^-300

联列

y=60,一80

:.t=5.5.

尸的横坐标为5.5.

设行驶“、时，两人相距30千米,

①当3</<4时，

60Z-80-100=30.

t=3.5.

②当44<5.5时，

60^-80-(100r-300)=30.

t=4.75.

③当5.54v7时，

100^-300-(60r-80)=30.

t=6.25.

④当7件<8时，

400-(60r-80)=30.

t—7.5.

综上，当行驶3.5小时或4.75小时或6.25小时或7.5小时，两人相距30千米.

类型五、分段函数问题

求函数解析式时，在自变量的范围内求出各自的函数解析式，自变量不同，解析式一般也不一样。再根据

题意，求解其它问题。

例.电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应交电费丁(元)与

用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：

⑴分别求出当04尤4100和x>100时，y与X的函数关系式；

⑵若该用户某月用了72度电，则应缴费多少元？

⑶若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？

【答案】(1)当04尤(100时，y=0.65x；当x>100时，y=0.8元一15

⑵应缴费46.8元

⑶该用户该月用了150度电

【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的应用，通过一次函数的图象获取有用的信息是解答本题

的关键.

(I)当04XW100时，设、与X的函数关系式是>=履，把(100,65)代入求解，得到y与尤的函数关系式，

当x〉100时，设y与X的函数关系式是丁=依+6,把(100,65),(130,89)代入求解，即得答案；

(2)当x=72时，代入y=0.65x计算即得答案；

(3)因为该用户某月缴费105元，所以该用户该月用电量超过100度，将>=105代入y=0.8x-15计算即

得答案，.

【详解】(1)当OWxWlOO时，

设y与X的函数关系式是、=履，

贝I」有65=100%,

解得k=0.65,

，与X的函数关系式是y=Q65x；

当力＞100时,

设'与x的函数关系式是y=+

「100。+匕=65

则有in一QO）

[130。+。=89

[a=0.8

解得A

3=-15

y与X的函数关系式y=o.8x-15；

（2）当x=72时，j=0.65x72=46.8（元），

•.•该用户某月用了72度电，应缴费46.8元；

（3）」•该用户某月缴费1。5元，

该用户该月用电量超过100度，

将y=105代入y=0.8x-15,

得105=0.815,

解得尤=150,

•••该用户该月用了150度电.

【变式训练11某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.月用电量不

超过210度时，按0.55元/度计费；月用电量超过210度时，其中的210度仍按0.55元/度计费，超过部分按

Q60元/度计费.设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元.

⑴分别求出当04尤4210和x＞210时，y与x之间的函数关系式；

⑵小李家12月份交电费145.5元，则小李家这个月用电多少度？

【答案】（1）当0M尤4210时,y=0.55x