2024-2025学年广西河池市高二年级上册12月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广西河池市高二上学期12月联考数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知抛物线C：/=4x的焦点为F，抛物线上的点”（2,2夜）到焦点厂的距离为

（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知直线4:尤-y-1=0,：x-y+l=0,则4与4的距离为（）

A.1B.2C.V2D.2也

3.若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点（0,2）,c=3,则该椭圆的标准方程为（）

22222

.xyJ,y21p.xy

A.—+—=1B.—+—=1CR.——+—=1D.—+—=1A

9413449413

4.已知两个向量2=（1,T,2）［=（2,x,y）,且£//刃，则x+y的值为（）

A.2B.4C.6D.8

5.已知直线x-ay+2=0平分圆C:x2+（y-l）2=l的周长，贝！|。=（）

A.2B.4C.6D.8

2”2

6.已知抛物线_/=16x的准线经过双曲线r不-方=1040）的一个焦点，则该双曲线的

渐近线方程为（）

1出

A.v=±］尤B.y=+2xC.尸土1xD.y=+yfix

7.在直四棱柱/BCD-44GA中，底面/BCD为等腰梯形，

AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=AlA=4,E为棱训的中点,则到平面ED区的夹

角余弦值为（）

DiG

;

V30„V70「回c3屈

AD.------

10101010

8.已知双曲线C：d=l的左、右焦点分别为片、F,A,

25是双曲线上关于原点

对称的两点，并且|N2|=2c,则的面积等于（)

A.6B.7C.8D.9

二、多选题（本大题共1小题）

9.已知直线4：x+即+1=0,4：（。一1）工+>+。=0，则下列说法正确的是（）

A.当。=1时，直线的倾斜角为135。B.当/1_L4时，«=1

C.若〃4，贝Ua=-1D.直线4始终过定点（一1,0）

三、单选题（本大题共1小题）

10.如图，正方体/3CD-44G。的棱长为1,M是4G上的中点，以下说法正确的

A.AM4c的面积是定值"

B.与痂同向的单位向量是

2

yj~6A/6A/6

c.冠与两夹角的余弦值为逅

D.平面/片。的一个法向量是（1,1,-1）

四、多选题（本大题共1小题）

11.已知椭圆。：片+片=1,用工上分别为它的左右焦点，点/,8分别为它的左右

259

顶点，已知定点N（4,4）,点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）

25

A.存在4个点使得/耳明=9（TB.直线M4与直线附斜率乘积为定值-互

C.麻/麻有最小值1"D.|跖的取值范围为

五、填空题(本大题共3小题)

12.已知直线/过点(L2),倾斜角为45。，则直线/的纵截距为.

13.已知圆x2+/-2x+6y=r-10(r>0)与直线x-y+l=O相切，贝ljr=.

14.双曲线C:二-乙=1的离心率为_____.

m3m

六、解答题(本大题共5小题)

15.已知V/BC的顶点分别为/(2,2),8(4,-2),C(Y2).

(1)求BC边的中线所在直线的方程；

(2)求BC边的垂直平分线所在直线的方程.

22

16.已知椭圆C：1+4=l(a>6>0),M为椭圆上一点，K，鸟分别为它的左右焦

ab

点，M到片，与距离之和为4,离心率e=虫.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/：y=x-l与椭圆交于4,2两点，求的长以及三角形面积.

17.如图，在四棱锥尸-/BCD中，侧棱P/_L底面4BCD,ABLBC,且尸4=2,

AB-BC=\/2，AD=CD=5/5,E为PC中点.

P

⑴求点C到平面E4D的距离；

(2)求平面PBC与平面区4D夹角的正弦值.

22

18.已矢口圆G:X?+>2_|_2%—4y+1=0,圆C*2:x+y—4x—5=0.

(1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长；

⑵已知过点(0,1)的直线/与圆G交于4,3两点,且求直线/的斜率.

19.设抛物线C:/=2pr(p>0)的焦点为尸，已知点尸到圆++/=i上一点

的距离的最大值为2.

(1)求抛物线c的方程；

⑵已知々，月是双曲线1-：=1左右焦点，过右焦点片的直线/与C交于两点.

证明：NFJ\M=NFJ\N.

答案

1.【正确答案】C

【详解】解：由焦半径公式得：”|=%+勺2+1=3.

故选：C.

2.【正确答案】C

【详解】由题意得，4与4的距离4=注曾=收，

一VI2+12

故选：C

3.【正确答案】B

【详解】椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点（。,2）,所以6=2,

又c=3,则02=6-2=4+9=13,

22

所以椭圆方程为土+匕=1，

134

故选：B.

4.【正确答案】A

【详解】因为£//人所以=='=］，解得x=-2,y=4,

所以x+y=2.

故选：A.

5.【正确答案】A

【详解】由/+（了-1）2=1,可得圆心为（0,1）,

因为直线x-ay+2=0平分圆/+（了-1）2=1的周长，

所以直线过圆的圆心，则0-〃+2=0,解得。=2.

故选：A

6.【正确答案】D

【详解】已知抛物线/=16x的准线为x=T,

22

所以双曲线/方=1（6w0）的一个焦点为（-4,0）,

所以4+〃=4"解得b2=12,

22

所以双曲线土-匕=1的渐近线方程为歹=±瓜.

412,

故选：D.

7.【正确答案】B

【详解】底面N8C。为等腰梯形，AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=4,

如图，在底面中，过点。作ZW_L/3,垂足为X,

举…

以。为坐标原点，分别以南，沆,两所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系

则£)(0,0,0),5(73,3,0),Bx(V3,3,4),£(73,-1,2),

可得的=(g,3,4),瓦=(V3,-1,2),函=(0,0,4),

n-DB、=A/3X+3y+4z=0

设平面瓦沟的法向量为力=(x,y,z),则

n-DE=Vlr-y+2z=0

令y=-\/3,贝!Iz=-2A/3,x=5,

可得平面瓦祖的一个法向量为力=3,百,-2百),

设BB,到平面瓦汨的夹角为6e[og],

可得cos。=Vl-sin20=工"，所以8用到平面瓦省的夹角余弦值为翌.

1010

故选：B.

8.【正确答案】B

【详解】由双曲线的对称性以及A,3是双曲线上关于原点对称的两点可知，A,

B,。三点共线，

连接力大，AF2,BFX,BF2,|/3|=2c=|耳用，则四边形/片时为矩形，

所以皿，明,忸叫=|/闾，

贝！lc=J/+62=J9+7=4，

所以|，邳=|耳阊=2c=8,所以|必「+幽2=网2=64,

又»凰-忸川=||明曰典卜2。=6,

所以|必『+|因『-2|9|忸周=36,解得卜周忸41=14,

所以邑曲=J/凰忸G1=7.

故选：B.

9.【正确答案】ABD

【详解】对于A,当。=1时，直线4：尤+了+1=0,斜率左=-1,则倾斜角为135。，故

A正确；

对于B,4等价于a-1+a=。，解得。=；，故B正确；

对于C,若〃〃2，贝1Ja(aT)T=0且awa—1,故.=生6,故C错误；

2

对于D,4：x+即+1=0,当＞=0时x=7,所以直线4恒过(-1,0),故D正确.

故选：ABD.

10.【正确答案】C

【详解】对A：在4G上且4GlMC，

到/c的距离等于4G到/c的距离，则为定值1,

=—xlxV2,故A选项错误；

/.S△秋at22

对B：因为建立不同的空间直角坐标系，与而同向的单位向量的表示方法会不同,

所以B选项错误；

同理，D选项也不对.

如图所示建系，/(I,。,0),5(1,1,0),。(0,0,0),S1(l,l,l),wQ,1,ll

——.------AB•DM2V6

cos{AB,DM)二丝上一/=7-,故C选项正确;

\AB\\DM\66

lx

V4

故选：C

11.【正确答案】AD

22

【详解】对于A中，由椭圆C：L+匕=1,可得。=5,6=3,c=4,

259

由6<c<a,以。为圆心，片片为直径的圆，与椭圆C有4个交点,

所以存在4个点"，使得/月儿q=90。，A选项正确;

222s

对于B中，设"(')),则土+匕=1,且4(—5,0),5(5,0),可得一-25=—可/，

259

yyv29

则'^MB

2五为定值，所以B选项错误.

x+5x-5X-25_252

9』

对于C中,由椭圆的定义，可得|9|+|3|=10,

则

11111)曲回

--------1-----(阿|+|摩卜：

西+配叭画\MF^)RIRI.

42

>—2+2

10105

\MF\\ME\

当且仅当2媪=身时，即|%|=|町|=5时等号成立，所以C选项错误.

对于D中，由点N在椭圆外，设直线g,八写与椭圆相交于乂,生,

如图所示，则=|N闿+EM=|=J(4+4)2+42=4石,

因为|八骂|=4,且|MV|+W小;|=2a+|血W|-|九里|=10+|MV|-|M用，

可知|初凶-|〃骂闫7\闾，^\MN\-\MF2\<4,当/与小重合时，等号成立,

所以(|皿|+|阿|)3=10+|^|-|^|=10+|^|=14,

所以|ACV|+MFje[4614],所以D选项正确.

故选：AD.

12.【正确答案】1

【详解】由题意知，斜率为tan45o=l,则直线方程为k2=x-l,令即x=0,y=l,直

线1的纵截距为1.

故1.

13.【正确答案】巫

2

【详解】由已知圆的标准方程为(x-l)2+(y+3)2=/(r>0),

所以圆心为(L-3),半径为

|1-(-3)+1|5A/2

依题意’"不汨FT

故答案为•竽

14.【正确答案】2或名8

3

【详解】当机>0,/=〃712=3",所以6=也罕丝=2.

y/m

当冽<0,。2=—mb2=-m,e=/—

y/-3m3

故2或限

15.【正确答案】(l)2x—3y+2=0

(2)5x-2y+5=0.

【详解】(1)设8c中点的坐标为。(%,%),贝!=%=二^吆=0,所以

。(-1,0),

8c边的中线过点A(2,2),。(-1,0)两点,

,2—02

所以小E

3

7

所以/。所在直线方程为0=§(%+1),

即2x—3》+2=0；

(2)因为2C的斜率无=2一(一2)=一刊=二,

-6-4105

所以8c的垂直平分线的斜率左=1，

2

所以3C的垂直平分线所在直线的方程为y-o=g(x+l),

即5x-2y+5=0.

16.【正确答案】(1)亍+必=1；

⑵竽，土

【详解】(1)依题意，2。=4,贝|。=2,由离心率6=@,得《="5=旦，得

2a2

b=l,

所以椭圆。的方程为=+/=1.

4

y=x-1

JR

(2)由<X22」肖去歹得5%2—8%=0,解得演=0,%2=:，

——+y=15

14/

则弦长|AB|=，1+仔.|-x2\=~~~；

_710-0-116

原点。到直线/：歹=%-1距离为：d=\—

Vi+(-i)2

所以三角形面积：s=-\A^d=-x—x^l=-

【详解】(1)设AC与BD交点、为O,连接。£,则OE〃尸/,所以平面/BCD,

所以OC,0D,。£三条直线两两互相垂直，

以OC,OD,OE所在的直线分别为x,九z轴建立如图所示的空间直角坐标系

Oxyz,

由题意知。4=1,OD=2,

则/(-1,0,0),5(0-1,0),C(l,0,0),£>(0,2,0),尸(一1,0,2),E(0,0,l),

通=(1,2,0),2g=(1,0,1),

设平面EAD的法向量为万=(再,%，4),

n-AD=x,+2y.=0/、

_—，可取力=(2,-1,一2),

h-AE=再+4=0

(2)丽=(1,2,-2),而=(1,2,0),P5=(l,-l,-2),5C=(l,l,0),

设平面PBC的法向量为丽=卜2，%/2),

m-PB=一%-2z=0/、

则_一/202,可取而二(1,一1,1),

m•BC=/+%=0

--丽•元1V3

所以8叫，"=丽=万丽=7'

所以平面P8C与平面EAD夹角的余弦值为且，

9

所以平面PBC与平面EAD夹角的正弦值为叵.

9

18.【正确答案】（1）证明见解析，丝咨

（2）i一垃或i+VL

【详解】（1）如图：

圆G化成标准方程为（尤+l『+（y-2『=4,圆心G（T2）,半径12,

圆C?化成标准方程为（》-2『+/=9,圆心。2（2刀），半径々=3,

由1=1<1℃2|=V9+4=+马=5,所以两圆相交,

两圆方程作差得(%?+/+2x—4〉+1)—(J+j;2—4x—5)=6x—4y+6=0.

即公共弦所在直线的方程为3x-2y+3=0.

圆C1的圆心到公共弦所在直线的距离为：d=|3x（T户2+』二处,

V9+413

所以公共弦长为.2,22J生叵］=呸叵