2024-2025学年高二年级上册期末复习：空间向量与立体几何 八大题型归纳（基础篇）（含答案）

2024高二上学期期末复习第一章八大题型归纳（基础篇）

【人教A版（2019）］

4空间向量的线性运算

1.（2023上・河南南阳・高二校考阶段练习）求但+23-3弓+3义（|石一/+|丹一0-23+可为（）

A.2五H—b-2cB.2dH—b—2c

22

C.2d—b—2cD.2d—b—2c

22

2.（2023上•吉林・高二统考期末）空间四边形A5CD,连接AC,BD.M,G分别是5C,的中点，则说+

工炭+3而等于（）

22

A.ADB.GAC.AGD.MG

3.(2023上•高二课时练习)化简下列算式：

(l)3(2a—b—4c)—4(a—2b+3c)；

(2)01-[OB-(AB-AC)].

4.（2022.高二课时练习）如图所示，在三棱柱ABC-中，M是的中点，化简下列各式，并在图

中标出化简得到的向量.

4

⑴方+西；

⑵前+方+2丽；

(3)—AA-^———AC—CB.

题型2卜空间向量数量积的计算。|

1.（2023下•黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨三中校考期末）如图，在四面体力BCD中，Z.BAC=60°,/BAD=

^CAD=45°,AD=鱼，ABAC=3.则就•丽=（）

A.—B.-C.-D.3V2

222

2.（2023下•河北石家庄•高一校考期末）正四面体的棱长为2,MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2

个点之间的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，两•前的最大值为（）

1413

A.-B.-C.-D.-

3344

3.（2023上•辽宁辽阳•高二校联考期末）如图，在底面为矩形的四棱锥及A3C。中,ZE，底面=48,

G为棱3E的中点.

E

F

G

D

/A

BL

(1)证明：4G1平面BCE

(2)若AB=4,AD=6,ED=3EF,求而•CF.

4.(2023上•内蒙古•高二校考阶段练习)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.如

图，在鳖liP-ABC中，PA_L平面PBC,BC_L平面P4B,D为PC的中点，~BE=2EA.

(1)设PA=a,PB=b,BC=c,用2,b,下表示DE；

⑵若|同|=\PB\=[BC\=1,求前■~DE.

用空间基底表示向量。|

1.(2023上•广西贵港•高二统考期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于

底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P—71BCD是阳马，PAL^ABCD,且而=3前，若荏=2而=

b.AP=c,则丽=()

p

「3Tl3T1一

B.-a+-D——c

443

2T1T1T

D.-a——h+-c

444

2.（2023上•山东荷泽・高二校考期末）如图，在平行六面体4BCD-4/16%中，P为4/与的交点,

若1M=a,DC=b,DD1=c,贝!JCP=（）

Cl-*711TTA17INI->

C.—CL—bH—cD.—a+b—c

2222

3.（2023上•全国•高二阶段练习）如图所示，在平行六面体力BCD-4BO中，AB=a,AD=b,AA;=c,

尸是C4的中点，M是C»的中点，N是的中点，用基底何方,现表示以下向量：

⑴》；

⑵病;

(3)AN.

4.（2023・高二课时练习）如图，已知平行六面体ABCD-

（1）若G为△ABC的重心，ArM—3MG,设4B=五,4。=力1=冷用向量五，瓦［表示向量4M；

（2）若平行六面体ABC。-A/2/Gn各棱长相等且A3,平面8CGS,E为CD中点，ACiHBDi^O,求证:

OE_L平面ABC/。/.

题型41由空间向量基本定理求参数

1.（2023上•贵州贵阳•高二统考期末）如图，在三棱柱480—4/16中，M,N分别是和&G的中点,

z的值分别为（

11

D.1,/1

c.T一厂52

2.（2023下・甘肃兰州•高二兰州一中校考期末）已知矩形2BCD,P为平面2BCD外一点，P41平面2BCD,

点M,N满足丽=/丽，丽=|丽.若丽=%乐+?前+zQ,则x+y+z=（）

A.-1B.1C.—D.—

22

3.（2023上•海南海口•高二校考阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD-a/iGA中，E,尸分别在8/和

上，BE=|FBV。尸=|。％

(1)求证：A,E,F四点共面；

(2)若丽=xAB+yAD+zAA[,求久+y+z的值.

4.（2023上•高二课时练习）如图，已知正方体力BCD-A'B'C'D',E,F分别是上底面4'C'和侧面CD'的中心,

求下列各式中x,y的值:

(l)XC7=x(AB+BC+CC7)；

(2)AE=弁+xAB+yAD；

(3)XF=AD+xAB+yA^.

空间向量运算的坐标表示

1.（2023上•广东汕尾•高二统考期末）已知空间向量日=（2,-1,2）1=（1,一2,1），贝!12之一3=（）

A.(4,-2,4)B.(2,-1,2)C.(3,0,3)D.(1,-2,1)

2.(2023上•北京怀柔•高二统考期末)若点4(1,2,3),点B(4,-1,0),且左=2而，则点C的坐标为()

A.(3,0,1)B.(2,1,2)

C.D.(工工；)

\222/\2227

3.(2022.高二课时练习)分别求满足下列条件的向量;e：

(1)2(-151)+44=(2,14,-2)；

(2)(3,7,1)+2x=(6,10,4)-x.

4.(2022.高二课时练习)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABC。AB=1,BC=2,AA'=

3.求:

(1)向量布，BD7,布的坐标；

(2)律+2丽布+而7-2后的坐标.

题型64空间向量数量积运算的坐标表示

1.(2023上•北京石景山•高二统考期末)若2=(2,3,2)石=(1,2,2),，=(―1,2,2),贝UQ—司-8的值为()

A.-1B.0C.1D.2

2.(2023上•广东深圳•高二统考期末)已知向量d=(1,1/),b=(一2,2,3),若(2/一B)不=1,贝h=()

A.-3B.3C.-1D.6

3.(2023・高二课时练习)已知向量出b,，满足21+3=(0,—5,10),c=(1,-2,-2),且五・。=4,求3•己

._>TT

4.(2022上•新疆巴音郭楞•高二校考阶段练习)已知向量a=(4,2,-4),b=(2,-1,1),c=(-1,5,1),求:

->T

(l)2a-3Z?；

(2)a•b；

T—T

(3)a•(bc).

题型7N利用空间向量证明线、面间的平行关系

1.（2023上•高二课时练习）如图所示，在正方体力BCD-A/iCiDi中，棱长为a,M,N分别为4B和AC

上的点，&M=4N=亨，则与平面BBiGC的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.垂直D.在平面BBiGC内

2.（2022上•江西•高二统考阶段练习）如图，在长方体4BCD-中，AB=BC=244「当中=

九41P时，有。止〃平面BDG，则实数4的值为（）

A.1B.2C.3D.-

2

3.（2023下•高二课时练习）如图，己知P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是24,8。上一点，且

PM:MA=BN:ND=1:2,求证：MN||平面PBC.

4.（2023上•高二课时练习）在正方体ZBCD-6£»i中，若。i为41c1中点，。2为AC中点.

求证：

（1汨。1〃4。2；

（2）8。"/平面4。。1；

（3）平面4C%〃平面B&Q

利用空间向量证明线、面间的垂直关系

1.（2023•内蒙古包头•一模）如图，在正方体力BCD—4/1GD1中，E,凡M分别为所在棱的中点，P为下底

面的中心，则下列结论中正确的是（）

①平面EFG1平面441G

②MP1A±D

③MP1C±D

④EF〃平面AD/i

A.①②B.①②④C.②③④D.①④

2.（2022上•上海嘉定•高二校考期中）在正方体ABCD-AiBiGA中，Q为441上一动点，则下列各选项正

确的是（）

A.存在点Q使得BQ与平面BiCD垂直B.存在点Q使得DQ与平面/CD垂直

C.存在点Q使得BiQ与平面/CD垂直D.存在点Q使得DiQ与平面BiCD垂直

3.（2023上•天津•高二校联考期中）如图，在四棱锥P—4BCD中，底面力BCD是正方形，PA1底面ZBCD,

⑴求证：AE1PD-,

（2）求证：平面PBD_L平面P4C.

4.(2023上•高二课时练习)如图所示，己知平行六面体ABC。-A/iGA的底面为正方形，。】,。分别为

上、下底面的中心，且&在底面力BCD上的射影是0.

(1)求证：平面O]DC1平面4BCD；

(2)若点分另!]在棱44i，BC上，S.AE=2EAr,问点F在何处时，EFLAD?

2024年高二上学期期末复习第一章八大题型归纳（基础篇）

【人教A版（2019）］

空间向量的线性运算。|

1.（2023上・河南南阳・高二校考阶段练习）求但+23-3弓+3义（|石一/+|丹一0-23+可为（）

A.2五H—b-2cB.2dH—b—2c

22

C.2d—b—2cD.2d—b—2c

22

【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.

【解答过程】原式=2+3x|a-a+23—3x13+23—3m+3x|o—不=2a+|h-2c.

故选：B.

2.（2023上•吉林・高二统考期末）空间四边形4BCQ,连接AC,BD.M,G分别是8C,。的中点，则荏+

工阮+工丽等于（）

22

A.ADB.GAC.AGD.MG

【解题思路】利用数形结合思想和空间向量加法法则化简即可.

【解答过程】VM,G分别是BC,CD的中点，.•彳前=前，^BD=~MG.

-->1---»1--->--->---->---->---->----»---»

AXS+-BC+-BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.

22

故选：C.

3.（2023上•高二课时练习）化简下列算式：

（l）3（2a—b-4c）—4（a—2b+3c）；

⑵旅一画一（国一硝］.

【解题思路】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；

（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.

【解答过程】(1)3(2a-b-4c)-4(a-2b+3c)=6a-36h12c-4d+8b-12c

=2d+Sb—24c.

(2)OA-[OB-(AB-Xt)]=OA-OB+AB-AC

=OA-~OB+AB-AC

^BA+AB+CA^CA.

4.(2022・高二课时练习)如图所示，在三棱柱4BC-21B1C1中，M是的中点，化简下列各式，并在图

中标出化简得到的向量.

4___________Bl

(1)CB+BX；

⑵J?+而+称村；

⑶［近-|取-AC-CB.

【解题思路】(1)(2)(3)利用空间向量的加减法的运算法则和几何意义化简.

【解答过程】(1)解：无+两=两.

4___________

B

(2)解：因为M是BBi的中点，所以说=［两，又标=两,

所以尼+CB+=AB+JM=AM.

(3)解：-AC-CB

=|(AAi+西)-(AC+CB)=AA1-AB=西

40i

题型2一空间向量数量积的计算。|

1.(2023下•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨三中校考期末)如图，在四面体力BCD中，Z.BAC=60°,Z.BAD=

ZCXD=45°,AD=近,AB=AC3.则就•丽=()

ABc

-T-i-1D-3迎

【解题思路】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解.

【解答过程】BC-BD（AC-AB）■（AD-AB）

^AC-AD-AB-AD-AC-AB+AB2

=\AC\\AD\cos^CAD-\AB\\AD\cos^BAD-\AC\\AB\COSABAC+|AB|2

l立r-V21

=3xv2x——3xv2x——3x3x—4-9

_9

-2,

故选：c.

2.（2023下•河北石家庄•高一校考期末）正四面体的棱长为2,MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2

个点之间的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，西•前的最大值为（）

1413

A.-B.-C.-D.-

3344

【解题思路】设正四面体48CD的内切球球心为0,G为ABCD的中心，E为CD的中点，连接4G,BE,贝4。在

4G上，连接BO,根据题意求出内切球的半径，当MN为内切球的直径时，MN最长，化简西•丽=

（PO+OM）­（PO+而）可求得其最大值.

【解答过程】设正四面体力BCD的内切球球心为0,G为△BCD的中心，E为CD的中点，连接4G,BE,贝。。在

4G上，连接B。，贝必。=。8

因为正四面体的棱长为2,所以BG=|BE=|x曰、2=等，

所以4G=W1B2-8G2=手,设内切球的半径为r,则

（AG—r）2=r2+BG2,（竽一7）=/+（竽），解得丁=彳，

2

当MN为内切球的直径时，MN最长，此时血+而=6,而港而=一（彳）=

PM-PN（P0+OM）­（P0+ON）

=PO2+PO-（OM+ON）+OM-ON

=PO2-

6

因为p为正四面体表面上的动点，所以当P为正四体的顶点时，I而I最长，I而I的最大值为蜉-彳=苧，

2

所以尸M.尸N的最大值为（f）~6=3f

故选：B.

A

3.(2023上•辽宁辽阳•高二校联考期末)如图,在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中,AE，底面ABCD,AE=AB,

G为棱BE的中点.

(1)证明：4G_L平面BCE

⑵若4B=4,AD=6,ED=3而，求而•CF.

【解题思路】(1)根据已知，利用线面垂直的判定定理可得BC1平面ABE,从而得到BC14G,利用等腰

三角形的中线性质得到4G1BE,然后利用线面垂直的判定定理证明4G1平面BCE；

(2)以A为坐标原点，乐的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出前，击的坐标，

利用空间向量数量积的坐标表示即得解.

【解答过程】(1)证明：因为力E1底面43CD,所以4E1BC,

又力B1BC,ABCiAE=A,4B,4Eu平面ABE,所以BC1平面ABE,

则BC1AG.

因为G为棱BE的中点，AE^AB,所以4G1BE,

又BCCBE=B,BC,BEBCE.

所以4G，平面BCE.

(2)以A为坐标原点，说的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

依题意可得4(0,0,0),C(4,6,0),G(2,0,2),F(0,2,0.

因为而=(2,0,2),CF=

所以4G,CF=2X(-4)+0X(-4)+2X—=——

4.(2023上•内蒙古•高二校考阶段练习)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖如

图，在鳖席P-ABC中，P4_L平面P8C,BC_L平面PAB,。为PC的中点，前=2筋.

(1)设q=2,PB=b,BC=c,用23，不表示方夙

⑵若|可|=\PB\=|SC|=1,求前■DE.

【解题思路】(1)连接BD,PE,利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解;

(2)根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.

【解答过程】⑴解：如图所示，连接BD,PE,可得屁=朋-丽=瓦？+荏-丽-丽，

因为。为PC的中点，则丽=2瓦^

所以荏/荏=!而4或，前E前+：阮=-|而+］阮,

所以反=屈一丽=可+荏一方-丽=E?+(|PB-PB-(-|P5+|BC)

=-PA--PB--BC=-2af——1b7*——IcT.

362362

(2)解：因为左=Q+而+炭=-同+而+南,

所以前-DE=(-PA+~PB+BCy(|P1--PB

=一|市/而2/阮2+|同.丽+3刀.阮_|而,而,

因为P41平面P8C,BC_L平面PAB,且PB,8Cu平面PBC,PBu平面P4B,

所以PA1PB,PA1BC,PB1BC,

又因为|港|=\PB\=\BC\=1,

所以-|郎-万2-迪2+|亚丽+浮瓦-|丽瓦=

所以左.尻=一/

题型3用空间基底表示向量

1.（2023上•广西贵港•高二统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于

底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P—4BCD是阳马，PAABCD,且质=3正，若荏=之而=

b,AP=c,则历=（）

「3-।3宕1-

B.-a+-D——c

443

2T1T1-»

D.-a——b+-c

444

【解题思路】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可.

【解答过程】因为而=3前，所以而=三而=三（前-而）=三元-三».

44',44

因为前=荏+而=旨+点所以或=三2+三石一三江

444

因为荏=族+而=三五+三3+3*

444

所以反=版一同=三益一23+工,.

444

故选：D.

2.（2023上•山东荷泽•高二校考期末）如图，在平行六面体4BCD-&B1GD1中，P为力。I与的交点,

若。A=a,DC=b,DD］=c,则CP=()

AA.一1a-+।byH—ic-BD.-IaT—bt——Ifc

2222

Cc.-1a-—brH.—icCD.——1a+,br——IcT

2222

【解题思路】根据空间向量的加法，减法，数乘向量运算的定义求解即可.

［解答过程】方=而+而=-DC+|西=-DC+|(病+西)^^DA-DC+［西=|a-b+|c.

故选：C.

3.(2023上•全国•高二阶段练习)如图所示，在平行六面体2BCD-4BO中，AB=a,AD=b,AA7=c,

尸是C4的中点，M是的中点，N是CD的中点，用基底位,3,码表示以下向量：

⑴衲

(2)AM；

⑶丽.

【解题思路】(1)(2)(3)连接AC,AD',AC,根据在平行六面体中各向量对应线段与屈，AD,Z不对应

线段位置关系，用荏，AD,%不表示出各向量即可.

【解答过程】(1)连接AC,AD',AC,

布="乐+而)=|(AB+AD+A47)=1a+|h+|c；

(2)ZM=|(ZC+AD7)=1(XB+2Xfl+A47)=ia+K+|c；

(3)AN=^AC+AD')=j[(AB+AD+44)+(AD+AA')]

=[须+2AD+2而)=^d+b+c.

4.(2023・高二课时练习)如图，已知平行六面体48CA-A/B/GD/.

（1）若G为△ABC的重心，ArM=3MG,设48=五,4。==冷用向量五,b,0表示向量&M；

（2）若平行六面体ABCD-各棱长相等且A3,平面8CGS，E为CD中点，ACQBDi，求证:

OE_L平面ABCW

【解题思路】（1）利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将正用基底表示，再在三角形A/AG中，将

用基底表示；

（2）连接C/E,AE,由已知证明△C/EA为等腰三角形，从而OELAG，同理可证明。最后由线

面垂直的判定定理证明结论.

【解答过程】（1）依题意，不而=：砧=［（羽+庶），

：G为△A3C的重心，

：.AG=1x^（AB+AC）=-（AB+AC）,

又：尼=荏+而，

：.A^M=|［中+1（XB+AB+AD）］

=3羽+9荏+5而

（2）连接C/E,AE,

,/平行六面体ABCD-AiBiCiDi各棱长相等且平面BCCiBi.

：.CiE=AE,

.•.△GEA为等腰三角形，

为AG的中点，

：.OELACi.

同理可证OE_LBDL

VACIQBDI^O,

―平面ABC/。/.

题型4、由空间向量基本定理求参数

1.（2023上•贵州贵阳•高二统考期末）如图，在三棱柱4BC-&B1C1中，M,N分别是BB】和&Q的中点,

y,z的值分别为（）

CT，/-巳D.1,/1

2

【解题思路】根据题意用空间基底向量表示向量，结合空间向量的线性运算求解.

【解答过程】由题意可得：MN=MB[++C^N^|Z47+（AC-AB）-|XC--AB++^AA1,

故x=-l,y=-,z=

故选：A.

2.（2023下・甘肃兰州•高二兰州一中校考期末）已知矩形4BCD,P为平面4BCD外一点，P21平面力BCD,

点M,N满足丽=微而，PN=|PD.若丽=xZF+y前+zQ,则x+y+z=（）

11

A.-1B.1C.--D.-

22

【解题思路】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.

【解答过程】BC

因为两=工而，=-~PD,

23

所以而=丽—两=|RD-|pc=|(AD-AP)-I(^4C-AP)

=I(40-AP)-I(AB+^40-AP)=-jAB+AD-iAP,

因为而=%荏+y前+Z»,所以x=-1,y=:，Z=-*,

所以x+y+z=-1.

故选：C.

3.(2023上•海南海口•高二校考阶段练习)如图所示，平行六面体4BCD-4/iGDi中，E,F分别在8/和

心。上，BE=：BB「DF=jODi.

(1)求证：A,E,G，F四点共面；

(2)若加=xAB+yAD+zAA1,求X+y+z的值.

【解题思路】(1)根据空间向量基本定理即可证明；

(2)把｛荏，而，可｝作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.

【解答过程】(1)证明：•宿=屈+而+矶=屈+而+(再+|初

=AB+|Z4^+AD+|祐=(南+硝+(而+而)=族+殖

E,C1；F四点共面.

(2)-：EF^AF-~AE^~AD+^F-(AB+B£)

=40+-ZB-BB]=-AB+AD+-AA,

31313r1

.*.%=—1,y=1,z=I，

..%4-y+z=-.

4.(2023上•高二课时练习)如图，已知正方体48CD—E,F分别是上底面4C，和侧面C»的中心,

求下列各式中居y的值：

⑴布=x(AB+BC+CC7)；

⑵族=44'+xAB+yAD；

(3)4F=/ID++yAA'.

【解题思路】(1)(2)(3)根据空间向量线性运算法则，利用基底表示出所求向量，由此可得结果.

【解答过程】(1)布=四+而+而=屈+阮+赤，故x=1；

(2)荏=[(疝+布)=|4Xr+|(Z4r+AB+XP)=A^+jXB+lAD,故尤=y=}

⑶都=|AD+|Zr=|AD+1(A47+AB+AD)=+^AB+AD,故x=y=[.

A'D'

4空间向量运算的坐标表示

1.(2023上•广东汕尾•高二统考期末)已知空间向量2=(2,-1,2),3=(1,-2,1)，贝眨之一3=()

A.(4,-2,4)B.(2,-1,2)C.(3,0,3)D.(1,-2,1)

【解题思路】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.

【解答过程】2左一石=(4,-2,4)-(1,-2,1)=(3,0,3).

故选：C.

2.(2023上•北京怀柔•高二统考期末)若点4(1,2,3),点灰4,一1,0),且旅=2方，则点C的坐标为()

A.(3,0,1)B.(2,1,2)

C.D.(-，-，^)

\2227\2227

【解题思路】设C(x,y,z),根据前=2方列方程组即可求解.

【解答过程】设y,z),贝！Ji4c=(%—1,y—2,z—3)fCB=(4—x,—1—y,—z),

(%-1=2(4-%)(x=3

因为尼=2而，所以｛y-2=2(—1-y),解得y=0.

(z-3=2(—z)(z=1

故点C的坐标为(3,0,1).

故选:A.

3.(2022.高二课时练习)分别求满足下列条件的向量认

(1)2(-1,5,1)+©=(2,14,-2)；

(2)(3,7,1)+2x=(6,10,4)-x.

【解题思路】(1)利用向量的坐标运算即可求解.

(2)利用向量的坐标运算即可求解.

【解答过程】(1)因为2(—1,5,1)+4£=(2,14,—2),所以4元=(4,4,一4),

所以£=(1,1,一1).

(2)因为(3,7,1)+21=(6,10,4)一三,所以3£=(3,3,3),

所以£=(1,1,1).

4.(2022・高二课时练习)如图，在空间直角坐标系中有长方体2BCD-4nO,AB=1,BC=2,AA'=

3.求：

(1)向量布，~BD>,访的坐标；

(2)XC7+25D7,布+丽7―2彷的坐标.

【解题思路】(1)先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；

(2)利用向量的坐标运算加法和减法即可.

【解答过程】(1)由已知2(0,0,0),C'(l,2,3),B(l,0,0),»(0,2,3),

贝U布=(1,2,3),RD7=(-1,2,3),AD7=(0,2,3)

(2)AC7+2昉=(1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9),

AC'+JD'-2AD'=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0).

空间向量数量积运算的坐标表示。|

1.(2023上•北京石景山•高二统考期末)若N=(2,3,2)工=(1,2,2),/=(-1,2,2),贝一司•而勺值为()

A.-1B.0C.1D.2

【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.

【解答过程】因为2=(2,3,2)1=(1,2,2),3=(—1,2,2),

所以—b),c=(1,1,0),(—1,2,2)=—1+2+0=1.

故选：C.

2.(2023上•广东深圳•高二统考期末)已知向量,=(1,1,x),b=(-2,2,3),若(22一均不=1,则久=()

A.-3B.3C.-1D.6

【解题思路】根据空间向量的坐标运算可得22-3=(4,0,2%-3),结合空间向量数量积的坐标表示计算即

可求解.

【解答过程】由题意知，21-3=(4,0,2久一3)

由(2a—b),b=1,得4x(—2)+0x2+(2.x-3)x3=1,

解得x=3.

故选：B.

3.(2023・高二课时练习)已知向量出b,蹒足2五+3=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),且还1=4,求3•A

【解题思路】将B=(0,-5,10)-2江代入石■c,再利用空间向量数量积的坐标运算计算即可.

【解答过程】由已知

b-c=((0,-5,10)-2a)•c=(0,-5,10)-(1,-2,-2)-2a-c=10-20-2X4=-18.

._>T_>

4.(2022上•新疆巴音郭楞•高二校考阶段练习)已知向量a=(4,2,-4),b=(2,—1,1),c=(-1,5,1),求:

T—

(l)2a-3b；

(2)a•b；

TTT

(3)a-(b+c).

【解题思路】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解,

（2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解,

->—

【解答过程】(1)由a=(4,2,-4),b=(2,-1,1),

M2a-3b=2(4,2,-4)-3(2,-1,1)=(2,7,-11)；

——

(2)Q,b=(12,-4)-(2,-1,1)=8—2—4=2；

(3)a-(h+c)=a-Z?+a-c=2—4+10-4=4.

题型，利用空间向量证明线、面间的平行关系

1.（2023上•高二课时练习）如图所示，在正方体4BCD—2/164中，棱长为a,M,N分别为和AC

上的点，力i"=4N=?，则MN与平面BBiGC的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.垂直D.MN在平面BBiGC内

【解题思路】以点Q为坐标原点，分别以C/ICDLGC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

写出各点坐标，求出平面BBiGC的一个法向量，利用向量数量积的坐标运算可得线面平行.

【解答过程】以点G为坐标原点，分别以GBi，GDi，GC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，

因为&M=4N=净，则M（a冷，力N得晋,a）,而=（一或0冷）,

又因为GA，平面B/C1C,则由）=（0,a,0）为平面B/GC的一个法向量,

可得丽・Z^=-]xO+Oxa+£xO=O,可知而1QD；,

且MNC平面881clC,所以MN与平面8B1QC的位置关系是平行.

故选：B.

2.（2022上•江西•高二统考阶段练习）如图，在长方体4BCD-中，AB=BC=24&,当中=

4中时，有。止〃平面BDG，则实数2的值为（）

A.1B.2C.3D.-

2

【解题思路】根据题意可知，以a点为坐标原点，43,4）,44所在直线分别为%轴，y轴，z轴建立空间直角

坐标系，利用共线定理和线面平行的向量解法可确定实数％的值.

【解答过程】如下图所示:

X

以4点为坐标原点，4B,40,441所在直线分别为无轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；设441=1,

则41(0,0,1),B(2,0,0)((2,2,0),6(2,2,1),。(0,2,0),2(0,2,1),设P(x,y,z)

即砧=(2,2,—1),不=(x,y,z—l),

由碇=2中得碇=(2,2,-1)==(Ax,Ay,Az-A)

即％==[,z=1-j所以P（1,”一：）

AA.AA.A.A

则印=（怒—2,一手

设平面BDG的一个法向量为沅=（%i，为,Zi）,

BC[=（0,2,1）,FD=（-2,2,0）,所以[J5=2%+4=°

令％=1,则＞=l,z1=-2；所以沅=（1,1,-2）

由。1P〃平面BDQ可知，沅•于=0,即J-2=0.

A

所以4=3.

故选：C.

3.（2023下•高二课时练习）如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是PA,BD上一点，且

PM:MA=BN:ND=1:2,求证：MN||平面PBC.

【解题思路】根据向量的线性运算及向量共线定理，利用线面平行的判定定理即可求解.

【解答过程】由题意知而=而+丽+丽=一：西+而+1丽=-1（Bl-BP）+PB+|（R4+BC）

33

在BC上取点E,使屁=［就，于是丽=：（而一前）=|两，

所以MN||PE.

因为PEu平面PBC,MNC平面PBC,

所以MN||平面PBC.

4.（2023上•高二课时练习）在正方体A8CD中，若。1为A1C1中点，02为"中点.

求证:

⑴BO1〃必。2；

（2）BOi〃平面AC%；

（3）平面力C%〃平面

【解题思路】（1）以D为坐标原点，市，比，西的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐

标系，求出国），瓦石的坐标，利用西7/。1。2,即可证明；

（2）求出平面ACP的法向量元，及直线的方向向量而■从而得到元1两，即可证明；

（3）可以利用4G〃平面4C5,及BO"/平面AC%,利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面

的法向量，利用法向量平行来证明面面平行.

【解答过程】（1）以。为坐标原点，瓦I瓦，西的方向分别为无轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐

标系，设正方体的棱长为1.

依题意知：B(1,1,O),£>i(0,0,1),02(|,|,0),

.函=(一"1),瓦瓦“3-I),

BO^=-£)]。2，

西〃。1。2,即BOJ/DQ.

(2)设平面ACD/的法向量为元=Q,y,z),

：4(100),C(0,l,0),%=(0,0,1),

：.AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),

由已包=0可得，尸+y：3即昨

(n-ADr=0I-%+z=0Iz—

令％=1,则y=l,z=1,.\n=(1,1,1),

__.--------»

又B。1=(一初―5,1),

**•云,BO】=——x1+(——)xl+lxl=0,**•H_LB0],

又B。"平面"人・・・8。1〃平面ZCOi.

(3)证法一・・Fi(1,0,1),Ci(0,1,1),

=(-1,1,0),又前=(-110),

=AC,'•AC//ArC1,

又ZCu平面/皿，ZQC平面/皿，

・・・/iCi〃平面ZCOi，

又由(2)知BO"/平面ZCDi，而4GC8。］=。「

且&Ciu平面841的，BO】u平面BZiCi，

・・・平面AC。1〃平面84的.

证法二设平面BAiQ的法向量为五=(%,y,z),

u-AC=0—%+y=0.(y=x

则rr即

--%—-y+z=0*Iz=X

u•BO1=022)

令久=1,得y=l,z=1,*.u=(1,1,1),

由(2)知平面ACS的一个法向量记=(1,1,1),

•一»~-»//—>

..n=u,..n//u,

J平面平面