2024-2025学年广东省广州市越秀区高三年级上册11月联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年广东省广州市越秀区高三上学期11月联考数学

检测试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

L集合”={(x/)|y=x,xeR},8={(x/巾=日、e可，贝1M的元素个数为()

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

【解析】

【分析】联立方程求得x和求出求出的元素个数.

【详解】因为N={(x/)|y=x,xeR},5==x2,xeR1,

y=xx=0x=1

联立方程可得广，解得{八或《/

y=x[y=0[y=l

所以幺(18={(0,0),(1」)},

则集合/c5中的元素个数为2.

故选：A.

2.已知复数z=/在复平面内对应的点的坐标为(2/),则实数a,6的值分别为()

1+1

A.4,2B.4,-2C.-4,2D.-4,-2

【答案】B

【解析】

nCL

【分析】根据复数的运算法则，求得Z=——i,结合题意列出方程组，即可求解.

22

aa(l-i)aa.

【详解】由复数z=「=^77^=7—71,

l+i7(lr+i)(l-i)22

因为复数Z在复平面内对应的点的坐标为(2,6),可得@=2且-q=A,

22

解得。=41=-2.

故选：B.

3.设xeR,向量a=(l,2),b=(x,l),且£j_B，则,+可=()

A.#B.2石c.VioD.10

【答案】c

【解析】

【分析】根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量加法和模的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为所以7B=0，即x+2=o,所以X=—2,

则£+B=(—I,3),所以忖+可=&76=

故选：c

4.已知sin[+[]=g(-^<6»<j),则sin,+g]=()

A3—V6r3+V6„>J~6D,昱

6633

【答案】B

【解析】

TTTTTT

【分析】通过。+—=，+—+—及两角和的正弦公式即可求解.

366

【详解】由—竺〈，三二可得—巴＜9+四W二，

33262

口.兀)V3(兀、V6

又sin|8+一|=——，则cos|9+一|=——，

I6；3I6；3

故可'+号sm，+『号sm吟吟+c°s叫卜哈

V3V3V613+V6

=------X----------1---------X—

32326

故选：B.

5.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席.如图,在鳖席尸-Z3C中,PAL

71

底面48C,N4BC=—,作尸8于乙幺尸于尸，下面结论正确的是()

2

p

\\E

①8cl.平面尸4g②平面P8C

③三棱锥/-3CE是鳖腌④三棱锥Z-。£尸是鳖席

A.①③B.①②④C.②③D.①③④

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理，可判定①正确；证得平面尸BC,可判定②不正确；根据线面

垂直的判定定理和性质定理，结合鳖臊的定义，可判定③、④正确.

【详解】对于①中，由尸平面N8C,且8Cu平面N8C,所以尸4JL8C,

7T

又由N48C=—,可得48上BC,

2

因为48口尸2=4且48,R4u平面尸48,所以5CL平面尸48,所以①正确；

对于②中，由8CL平面「4g,ZEu平面尸4S,所以/EL2C,

又因为/£_1_尸8,且PBcBC=B,P8,8Cu平面尸BC,所以ZE_L平面尸5C,

所以/尸与平面P5C不垂直，所以②不正确；

对于③中，由ZEJ_平面尸3C,且CE,8Eu平面/8C,所以NE，CE,ZE_L8E,

所以AAECQABE都为直角三角形，

7T

又由N48C=—,所以V45C为直角三角形，

2

因为8CL平面「4S,BEu平面尸48,所以5CL5E,所以ABCE为直角三角形，

根据鳖席的定义，可得三棱锥N-3CE是一个鳖篇，所以③正确；

对于④中，由平面尸5C,且CE,Ebu平面/8C,所以NE，CE,ZE，£尸，

所以△4EO4ER都为直角三角形，

因为尸C,所以△4CE为直角三角形，

由/£_!_平面P8C,CEu平面P8C,所以ZELCR,

因为且=幺及幺/<=平面,所以CF，平面ZEE,

又因为EEu平面ZEE,所以CFLEE,所以△€：斯为直角三角形，

根据鳖般的定义，可得三棱锥力-。斯是一个鳖席，所以④正确.

故选：D.

6.已知椭圆C：《+《=1（。〉6〉0）的上顶点为A,左、右焦点分别为《，月，连接力£并延长

交椭圆。于另一点B，若闺回：|8用=7:3,则椭圆C的离心率为（）

A.-B.-C.~

432

【答案】C

【解析】

【分析】运用椭圆定义，结合余弦定理和离心率公式计算即可.

【详解】由题意可得寓理+内同=2a,因为闺外医同=7:3,

73

所以比回=]4,后同=不，

Q

因为A为椭圆的上顶点，所以以片|=|/阊=。，则|48|=1，

在"BFi中,

2|第|明

2xax-a

5

在△/耳鸟中，闺鸟『=以片『+以用『—2|/与“Zg|cosN片2月,

c1

即4c2=q2+Q2_Q2=Q2,所以一二

a2

故选：C.

>

X

7.已知数列｛4｝是各项为正数的等比数列，公比为9,在％,出之间插入1个数，使这3个数成等差数

列，记公差为4,在外，%之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为右，…，在%，%,+1之间

插入〃个数，使这力+2个数成等差数列，公差为幺，则()

A.当0<q<l时，数列｛可｝单调递减B.当4>1时，数列｛4｝单调递增

C.当4〉4时，数列｛"“｝单调递减D.当4<刈时，数列｛4｝单调递增

【答案】D

【解析】

【分析】根据等差数列的通项可得a=%,+(〃+1”“，可得d=""ST，进而得到“=

n+i"可

n+1ann+2

即可对Q讨论,结合选项逐一求解.

【详解】对于A,数列｛%｝是各项为正数的等比数列，则公比为q>0,

由题意%+i=%+(〃+1)媒,得媒==>(<),%=,

〃+1〃+1n+2

0<q<l时，(/„<0,有学='J<1,dlt+l>dn,数列｛",｝单调递增，A选项错误；

dnn+2

对于B,q>1时，dn>0,冬="“ID,若数列｛d｝单调递增，

dnn+2

则q(/+l)〉］,即q〉S,由〃eN*，需要q〉3,故B选项错误；

n+2M+12

对于C,4〉4时，_。，解得q>1时，d“>0,

由*='：；),若数列｛4｝单调递减，则，

即q<"2=l+,，而l<q<3不能满足q<l+，(〃eN*)恒成立，C选项错误；

M+1n+12n+1

对于D,4<12时，%(；D,解得o<q<i或g〉|.,

由AB选项的解析可知，数列｛4,｝单调递增，D选项正确.

故选：D.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由题设结合等差数列的通项公式求出4,=冬“二D,进而得到

笠"，从而一分析各选项即可求解.

xlnx,x>0,

8.已知函数/(%)=-l,x=0,若关于％的方程/(x)=QX—1有5个不同的实数根，则。的取值

xln(-x)-2,x<0.

范围是()

A.(1,+℃)B,(2,+oo)C.(l,e)D,(2,2e)

【答案】A

【解析】

x\wc+l,x>0,

【分析】直线支"与函数"x)=〃x)+l=<

0,x=09的图象有5个交点.

xln(-x)-l,x<0

先求出交点(0,0),得到Mx)是奇函数，转化为只需直线”◎与曲线y=xlnx+l(x>0)有2个交点即

可，利用导数解题即可.

【详解】由题意得狈=/(力+1,则直线>=ax与函数

xlnx+l,x>0,

/i(x)=f(x)+l=<0,x=0,的图象有5个交点.

xln(-x)-l,x<0

显然，直线丁=◎与灰x)的图象交于点(o,o).

又当x>0时，一x<0,/t(-x)=-xlnx-l=-/i(x)；

当x<0时，一x>0,A(-x)=-xln(-x)+l=-/z(x)；

当x=0时，/i(x)=0,所以灰x)是奇函数，

则必须且只需直线>=◎与曲线y=xlnx+l(%>0)有2个交点即可,

11Y-1

所以方程a=lnx+—有2个实数根.令/(x)=lnx+—,则/(%)=——,

当0<x<l时，(x)<0,4X)单调递减；

当x>l时，t'(x)>0,单调递增，所以[x”[1)=1.

又当尤趋近于0时，/(x)=lnxH—=In—=u—Inu»u=>+co,所以f(x)―>+℃；

xxxx

当x趋近于+oo时，Inx—+8>,-----0/(x)=InxH--^+oo,

xx

所以必须且只需a〉1.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/("=(：05。%(。>0,0<》<兀)，则下列结论正确的是()

A.若/(x)单调递减，则

B.若/(x)的最小值为-1,则①>1

C.若/(X)仅有两个零点，则

D.若/(x)仅有两个极值点，则2<0V3

【答案】BD

【解析】

【分析】根据余弦函数图像性质即可求解.

【详解】因为0<、<兀，所以0<3X<37l,

咻

13K5兀

।>

力2兀70/7、6x

222

因为/(x)单调递减，所以由余弦函数图像性质0<8兀<兀，0<®<l,故A错误；

因为/(x)的最小值为-1,故由余弦函数图像性质①兀〉兀，即。>1,故B正确；

37T57T

因为/(X)仅有两个零点，故由余弦函数图像性质昼V①兀<—,

35

即一<■—,故C错误；

22

因为/(x)仅有两个极值点，故由余弦函数图像性质2兀<543兀，得2<oV3,故D正确.

故选：BD.

10.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性

质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据杨辉三角判断下列说法正确的是()

65432

A.(x-l)6=x-6x+15x-20x+15x-6x+l

B.已知(x+2)=ao+a](x+l)+a2(x+l)-+，—+a5(x+l)-,则旬—q+a2—%+%—“5=1

C.已知(l-3x)”的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为2骁

D.C；+4C；+6C；+4C；+C；=M

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项直接由二项展开式进行判断；B选项令x=-2即可判断；C选项先解出〃=10,再令

x=l即可；

D选项直接由=C；。+C：。公式依次递推即可.

【详解】A选项；等式为标准二项展开式的结果，故A正确；

B选项:将(x+2)5看成(x+l+l『，

则(x+1+1)，=%+q(x+1)+?(x+1)一---1-%(%+1丫，令x=-2,

则劭一%+。2—%+。4一%=0，故B错误；

C选项：第3项与第9项的二项式系数相等，可转化为C；=C：,

则〃=10,令x=l,则所有项的系数和为(—2)°=2",故C错误；

D选项：根据杨辉三角得C：i=C：0+C：o,C：0=C；+C；,

C：()=C；+C；,••.C：]=C；+2《+C；,同理可得

Ct=C；+3C；+3C；+C；=C；+4c+6C；+4C；+C；,故D正确.

故选：AD.

11.已知函数y=W(X+1)为偶函数,且/(l-x)=/(x+3),当xe[0,l]时,f(x)=2-2x,则(

A./(x)的图象关于点(1,0)对称B./(x)的图象关于直线x=2对称

C./⑺的最小正周期为2D./(1)+/(2)+---+/(30)=-1

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合函数的奇偶性、周期性以及对称性计算即可得.

【详解】对A：因为＞=M(x+l)为偶函数，则切(x+l)=—/(-x+1)，

即/(x+l)=-/(-x+1),所以y=/(x+l)是奇函数，

所以/(x)的图象关于点(1,0)对称，故A正确；

对B：因为/(l—x)=/(x+3),所以/(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；

对C：因为/(l-x)=/(x+3)，/(x+l)=-/(-x+l),

则/(x+3)=—/(x+1),则/(x+5)=-/(x+3)=/(x+l),

所以/(x)的最小正周期为4,故C错误；

对D：因为当xe[0,l]时，/(x)=2-2\所以/(0)=1,/(1)=0,

因为/(x)的图象既关于点(1,0)对称，又关于直线x=2对称，

所以/(2)=-/(0)=-1,/(3)=/(1)=0,

因为/(x)的最小正周期为4,

所以/(4)=/(0)=1，所以/。)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以/⑴+〃2)+…+"30)=7"⑴+〃2)+〃3)+〃4)[+〃1)+/(2)

=7x0+0+(-l)=-1,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：

(1)关于对称：若函数/(x)关于直线x=。轴对称，则/(x)=/(2a-x),若函数/(x)关于点(a*)

中心对称，则/(x)=26-/(2a-x),反之也成立；

(2)关于周期：若/(x+a)=-/(x),或/(》+。)=二二，或/(x+a)=一7二，可知函数/(%)的

/(x)/(x)

周期为2a.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.若直线＞=左(工一3)与双曲线3―/=i只有一个公共点，则左的一个取值为.

【答案】7(或一工，答案不唯一)

22

【解析】

【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.

【详解】联立｛4—,化简并整理得：（1—4左2）必+24父x—36公—4=0,

j=^（x-3）

由题意得1—4左2=0或△=（24/J+4（36左2+4）（1—4r）=0,

解得左=±；或无解，即卜=土;，经检验，符合题意.

故答案为：7（或-工，答案不唯一）.

22

13.在V/8C中，AB=5AC，点、D在BCk,满足丽=2丽，4D=G，ZC=8D.则V48C的

面积为.

【答案】巫

4

【解析】

【分析】设4C=8£>=x,则4g=J7x，CD=2x.两次运用余弦定理，构造方程，得到得好=1，再

结合三角形面积公式求解即可.

【详解】设4C=8O=x,则=CD=2X.

_AC2+BC2-AB2X2+9X2-7X2__1

在V45C中，cosC二

~2义ACxBC~2xx3x~2

_AC2+DC2-AD-X2+4X2-31

在△4DC中，cosC

-2xACxDC2xx2x2

解得必=1,故x=l,

2

所以S“BC=|x^CxJBCxsinC=1x3xlxVl-cosC=^.

故答案为：走.

4

A

B

DC

14.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放

入另一口袋，重复〃次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X“，恰有2个黑球的概率为夕“，恰有1个黑

球的概率为%,则4=，X”的数学期望E(X“)=.(用〃表示)

【答案】①.士②.电+1

【解析】

【分析】利用全概率公式，构造概率递推公式，再由数列中的递推求通项思想即可.

12

【详解】经过第一次操作得：A=-,QI=-,

经过第二次操作得：p[=：；=~Pi+|-x-+-x-|^i=T^-.

17112

x

根据全概率公式可知：A+i=~Pn+y-^,=~P„+-Q„，

2(221n2人.12

q”+i=§2"+1yxy+x3_/，)=一§/+§，

21212

两式相加可得2P“+]+%+]=-P„++-=-(2P„+(ln)+~,

12

则：M>2,〃eN*时，2P“+%=§(2p,_]+

所以，2p〃+%-1=；(2P+q“_1-1),

因为2pi+%—1=；,数列｛2p〃+%—1｝是首项为:，公比为;的等比数列，

所以2夕“+%—l=，即+1,

所以6(万/=？夕“+%+Ox(l一P"一纵)=[g]+1.

故答案为：①22=彳；②U+L

【点睛】方法点睛：由全概率公式来得到递推关系，再利用数列思想求解即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(X)=；/-x?+x.

(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；

(2)当xe[-2,4]时，求证：x-6</(x)<x.

64

【答案】(1)x-y=O和x-y-药=0.

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导，根据/'(x)=l求解切点，即可根据点斜式求解直线方程，

(2)构造函数g("=〃x)-x,利用导数求解函数的单调性，即可根据最值求证.

【小问1详解】

13.

由f(x)=—x3-x2+x,得/'(X)=—x2-2x+l.

38

令/=即^必―2x+l=l,得x=0或x=§.

又〃0)=0,41]*，

QQ

所以曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程是歹=工与>；—药=x—§,

64

即％-y=0和药=0.

【小问2详解】

令g(x)=/(x)-x,XG[-2,4].

由g(x)=；/一%2,得g'(x)=；%2一2%

Q

令g'(x)=0，得x=0或x=§.

当[—2,4]时，g'(x),g(x)的变化情况如下表：

8加

X-2(-2,0)04

3

g'(x)+—+

_64

g(x)-6递增递减递增

0-270

所以g(x)的最小值为-6,最大值为0,

故—6<g(x)<0,即x-6</(x)<x.

16.已知点尸到点F（1,O）的距离比点尸到了轴的距离大1,

（1）求点尸的轨迹E的方程；

（2）若点/（2,机）（机〉0）在£上，又已知点G（—1,0）,延长/下交E于点8,证明：以点尸为圆心

且与直线GZ相切的圆，必与直线GB相切.

【答案】（1）y2=4x

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由已知得点尸到点F（l,0）的距离等于点尸到直线x=-1的距离，解得P,即可得出抛物线E

的方程.

（2）由点2（2,机）在抛物线£上，解得机，不妨取幺（2,2夜）可得直线NF的方程，与抛物线方程联立

化为2/一5%+2=0,解得3,计算后G/，kGB,可得七，+七B=0,ZAGF=ZBGF,即可证明以点

厂为圆心且与直线GZ相切的圆，必与直线G8相切.

【小问1详解】

法一：・••点尸到点F（I,O）的距离比点尸到了轴的距离大1,

所以点尸到点F（l,0）的距离等于点尸到直线X=-1的距离.

由抛物线的定义得P点的轨迹是抛物线，焦点是尸，准线为x=-l,

所以抛物线E的方程为y2=4x.

法二：设P（x,y）,•••点尸到点F（l,0）的距离比点尸到了轴的距离大1，

yl（x-l）2+y2=x+1,两边平方化简得y2=4x,

所以£的方程为/=4x.

【小问2详解】

因为点幺（2,机）在抛物线£：y2=4x1.,所以加=±20，

由抛物线的对称性，不妨设Z（2,2啦），

由/（2,2&），F（1,0）可得直线AF的方程为v=2V2（x-l）.

J?=2A/2(X-1)

由厂,')，得2——5x+2=0,

解得x=2或x=1,从而B

2

nF)_c\op)7—V2—02-\/2

又G(—1,0),所以七A=『7二：=+，◎》=1"—=一丁

2-1-1)3IT—“

所以上GN+左GB=O,从而N4GF=NBGF,则点尸到直线GZ,G8的距离相等，

故以尸为圆心且与直线GZ相切的圆，必与直线G8相切.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是计算左GN+左GB=°，从而N4GF=NBGF,则点尸到直线GZ,

G8的距离相等，故得证.

17.如图，已知四棱台Z8CD-481GA的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面44QQ1平

面ABCD,4N=O1。=J万，点P是棱。£)1的中点，点Q在棱BC上.

(1)若50=3。。，证明：尸0〃平面48用4；

(2)若二面角P-。。-C的正弦值为空6,求BQ的长.

26

【答案】(1)证明见解析；

(2)1.

【解析】

【分析】（1）取幺4的中点M,先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理

可得；

（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设函=2瓦

（0<2<1）,利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解

可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点。坐标。（4/0）（-1W/W3）,进而表示所需向量坐

标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解A法三：一作二证三求，设80=x（O4x<4）,利用面面

垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求

解可得.

【小问1详解】

证明：取Z4的中点M,连接MP,MB.

在四棱台4BCD—481GA中，四边形是梯形，42=2,AD=4,

4力+jn

又点M,P分别是棱口。的中点，所以40〃幺。，且——=3.

在正方形ABCD中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以80=3.

从而"P〃8。且"尸=8。，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以尸。〃儿金.

又因为平面48与4，尸。<2平面48男4,所以尸0〃平面48g4；

在平面44］。。中，作0于O.

因为平面幺42。,平面48CD,平面平面4SC£）=4D,A101AD,4。匚平面

AAXDXD,

所以4。，平面Z5CD.

在正方形ABCD中，过。作AB的平行线交BC于点N,则ONLOD.

以｛而，无，西｝为正交基底，建立空间直角坐标系。-平.

因为四边形幺4。。是等腰梯形，4月=2,AD=4,所以4。=1,又A[A=DQ=后,所以

4。=4.

易得8（4,TO）,D（0,3,0）,C（4,3,0）,口（0,2,4）,pfo,j,2j,所以反=（4,0,0）,

=I0,-1,2LC5=（0,-4,0）.

法1：设质=4赤=（0,—4%0）（0<4Wl）,所以双=反+质=（4,—44,0）.

J+2Z=0

DP=04,取应=（4九4,1）,

设平面PDQ的法向量为应=（x,y,z）,由<一，得〈

m-DO=04x-4Ay=0

另取平面DCQ的一个法向量为为=（0,0,1）.

设二面角P-QD-C的平面角为6,由题意得|cos0\=Vl-sin2^=j.

A/26

i।i/\i忻同111

又向好"叶丽=而丁？所以ET京

33

解得几=±—（舍负），因此CQ=—x4=3,80=1.

44

所以当二面角尸―QD—C的正弦值为豆龙时，BQ的长为1.

26

法2：设0（4/,0）（-1.43）,所以丽=（4,”3,0）.

m-DP=0-r+2z=0，取应=(3T,4,1),

设平面PDQ的法向量为成=（x,y,z）,由<一，得《

m-DQ=04x+。-3)y=0

另取平面DCQ的一个法向量为方=（0,0,1）.

设二面角P-QD-C的平面角为仇由题意得|cosO\=Vl-sin2^=.

V26

[1

jcos^l=|cos--\l同司

又43T)2+17'所以J(3-『+17

解得t=0或6（舍），因此8。=1.

所以当二面角尸-0。-C的正弦值为空6时，BQ的长为1.

26

法3：在平面440。］中，作PH,垂足为H.

因为平面4403，平面48CD，平面440。1口平面48CD=4D,PHIAD,PHu平面

A[ADD],

所以「平面48CD,又。Qu平面4BCQ,所以PH，。。.

在平面ABCD中，作〃GLDQ,垂足为G,连接PG.

因为尸HLDQ,HG1DQ,PHCHG=H,PH,〃Gu平面尸〃G,

所以平面尸”G,又尸Gu平面尸HG,所以£>0，PG.

因为〃G，£）Q,PGA.DQ,所以NPG〃是二面角尸一。。一幺的平面角.

在四棱台4BCD—481GA中，四边形4幺。2是梯形，

4cl=2,/。=4,幺国=。］。=&7,点P是棱。2的中点,

所以尸〃=2,DH=-.

2

设80=x(O<x<4),则C0=4—x,DQ=^42+(4-X)2=Vx2-8x+32，

在中，-x-x4=-XA/X2-8X+32XHG,从而HG=1=?

222vx2-8x+32

因为二面角夕-8-C的平面角与二面角尸-Q。-4的平面角互补,

且二面角尸—8—C的正弦值为空S,所以sin/PG〃=%^5,从而tan/PG〃=5.

2626

PHI----------

所以在RtZVWG中，——=Vx2-8x+32=5,解得x=l或x=7(舍).

HG

所以当二面角尸-0。-C的正弦值为空6时，BQ的长为1.

26

18.某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为提高服务水

平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60

和24.

(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4

人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.

(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m

(加＞2且机eN*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，

则该组标为A,否则该组标为B,记询问的某组被标为B的概率为p.

(i)试用含m的代数式表示p；

(ii)若一共询问了5组，用g(2)表示恰有3组被标为B的概率，试求g(P)的最大值及此时m的值.

3

【答案】(1)—

4m216

(2)(i)(ii)加=3时,g(P)max

m2+3加+2625

【解析】

【分析】(1)由古典概型结合组合数公式即可求得答案;

(2)(i)由古典概型结合对立事件的概率公式即可求得答案;

(ii)由n次独立重复试验的概率公式结合导数知识即可求解.

【小问1详解】

因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2,所以这10人中，购买单程上山票、单

352

程下山票和双程票的人数分别为：10x—=3,10x—=5,10x—=2,

101010