2024-2025学年北师大版九年级数学上册专项复习：图形的相似（压轴专练）（十大题型）解析版

图形的相似（压轴专练）（十大题型）

题型1:相似三角形解答证明题

1.在△Z8C中，AB=AC,点。在线段C8的延长线上，连接40,过点3作BE，交线段出于点

E,2NBED+ABAC=120°.

⑵如图2,若爷=；，求期的值.

（3）如图3,在（2）的条件下，连接EC,EC交线段于点尸，若BD=36,求的的长.

［答案］⑴60。；

⑵BC4

【分析】（1）过点A作/T1OC于点T,证3E〃/T,得/BED=/DAT,即ZAEZ）=+,

由43=NC得ZBAT=ZCAT,从而可得ZCAD=ZBAD+/BAT+/CAT=60°；

(2)过点A作/71.OC于点7,证8s,得喀=空=之,从而即可得解；

BTAE2

(3)过点A作/TLDC于点T,作/M〃OC交CE的延长线于点M,在8c延长线上取一点G,使得

3E/D3

NG=60。，由(2)得^^—=—,BT=CT,证AEDCS^EAM,^FAM^^FBC,得=一=一，

''BC4AMAE2

——=',从而⑷——=--=—,设TG=VJ,，则。G=DT+TG=5百+G，，证

BFBC3BFBC6

△ADCSAGDA,得黑=§|即产(厂=逋,于是有AD?=105+21/,再利用勾股定理构造方程得

GDAD5V3+V3ZAD

105+21/=9〃+75,解得"可，从而利用勾股定理即可得解.

【解析】（1）解：如图1,过点A作/7LDC于点T,

A

：./ATD=/EBD=90。,

：.BE//AT,

：.NBED=ZDAT,即ZBED=NBAD+NBAT,

AB=AC,

：.NBAC=2NCAT,

'：2ZBED+ABAC=120°f

：.2/BAD+2ZBAT+2/CAT=120°,

・•・ZCAD=/BAD+ZBAT+ZCAT=60°；

(2)解：如图2,过点A作于点T,

A

图2

BELBC,AB=AC,

工NATD=NEBD=90。，BT=CT=-BC,

2

：.BE//AT,

.DBDE_3

••茄一商-2'

.BD_BD_3

…BC~2BT~^

(3)解：过点A作/TLQC于点T,作。。交CE的延长线于点在5。延长线上取一点G,连接

AG,使得NG=60。，

,:BD=3。,

:.BC=4C，BT=CT=26DT=CD=*,

'：AM//DC,

ZM=ZECB,/EAM=NEDC,NFAM=NFBC,

AEDCS^EAM,AFAMS^FBC,

,DCED_3AFAM

，9~AM~^E~2?而一

*

AM=

3

;AFAM

~BF~一正一4邪6

设TG=0,则。G=OT+TG=5VJ+6L

;NG=60。，ATVCD,

：.^7^G=90o-60°=30°,

・•.AG=2TG,

AT=^AG2-TG2=43TG=3t

・.・/G=/C4D=60。，ZD=ZD,

AADCS^GDA,

.AD_CDBnAD7V3

GDAD5石+存AD

，疝2=105+2”,

ATVDC,

AD2=AT2+DT2=(3f)2+卜可=9/+75,

，105+21/=9尸+75,

解得f=T(舍去)或"T，

AT=3,=10,

AB=yjAT2+BT-=JlU+(2灼2=4近,

,•竺_L

'BF^6'

/.AF=」一AB=Lx4板=—V7.

6+71313

【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，解一元二次方程以及

平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键.

2.如图1,在a/BC中，NB4c=90。,4B=4C,BD，CD于点D,连接40,在CD上截取CE,使CE=BD,

连接他.

(1)直接判断AE与AD的位置关系

(2)如图2,延长4D,CB交于点尸，过点£作EG〃//交3c于点G,试判断FG与48之间的数量关系,

并证明；

⑶在(2)的条件下，若/E=2,CE=限,求EG的长.

【答案】(1)/£_LAD

Q)FG3AB,见解析

(3)1

【分析】(1)证明由全等三角形的性质得出=再根据余角的性质得到

ZDAE=ZBAE+ZBAD=90°,即可判断；

(2)过点3作交Z)尸于点证得A以加为等腰直角三角形，则=证明

KEGmWMF,由全等三角形的性质得出CG=8斤，由直角三角形的性质可得出结论；

(3)设EG=Rl/=x,则。尸=2+x,证明ACEGSACDF,由相似三角形的性质得出有一不，则可得出答

DrCD

案.

【解析】(1)解：AEVAD-,

理由如下：设奶与CD交于O,

图1

ABDO=ABAC=90°,ZDOB=AAOC,

/./DBA=ZACE,

•:CE=BD,AB=AC,

：.AABD(SAS),

・・・NEAC=/BAD,

・・・ZBAE+ZEAC=90°f

：./BAE+/BAD=90°,即ZDAE=90°,

AELAD

(2)角和FG=y/2AB,

证明：过点5作3M，交。尸于点M,

AE=AD,ZCAE=ABAD,CE=BD,

AELAD,

ZBAE+ZBAD=9O°,

：./ADE=45°,

BDLCD,

：・NBDM=45。，

・・・为等腰直角三角形，

:・BD=BM,

：.CE=BM,

・.・EG//AF,

：./EGC=/MFB,

・.・AB=AC,NB4c=90。,

:"FBM+ZABD=45。,又/GCE+NACE=45。,

：.ZFBM=/GCE,

:・KEG4BMFg^),

：.CG=BF,

：.CG+BG=BF+BG9

：.FG=BC,

BC=42AB,

・・FG=yplAB;

(3)I?：,：AD=AE=2,△ZQE为等腰直角三角形,

DE=MAE=2亚，

•CE=y/2，

DC=3叵，

BD=CE=e,

:・DM=4iBD=2,

•・,KEGABMF,

：.EG=FM,

^EG=FM=x,

DF=2+x,

・・・EG//DF,

・•・KEGS£DF,

.EG_CE

•・而一而‘

.-_后J

x+23-\/23

解得，x=l,经检验符合题意;

，EG=1.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性

质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题.

题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用

3.如图1,四边形4B8是正方形，点E在边3c的延长线上，点尸在边4B上，且/尸=CE,连接斯交

（2）连接2。，如图2,

①若尸=5血,求8。的长;

PE

②若FP=FD,贝1］而二

【答案】（1）证明见解析

⑵①后②6

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌

握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键.

（1）过点E作EG〃/8交/C的延长线于点G,证明AN厂。且AG£0（ASA）,即可得到结论；

（2）①连接，证明AADF出ACDE（SAS），则DE=DF,ZADF=NCDE,得至IJ力EF是等腰直角三角形,

由（1）知：点。是斯的中点，则尸=。£,证明A/FQSAEPD,则FQ.DE=DP4Q,得到

FQ-DE=5y［2,设。。=。石=户0=x,根据勾股定理，得DE=MC，得到£。=行，ZFBC=90°,Q是EF

的中点，即可得到3。=£0=行；②过f作EW〃4D,证明四边形是矩形，进一步得到

DH=PH=AF=EG=CE,设DH=PH=AF=EG=CE=a,AB=BC=x,贝ijB斤=x-a,CP=x-2a,

证明△尸CESAEBE,贝=得至［J=幺=，，求出x=（l+夜）a,得到。=证明

△PQCSAEQG,得至ljp°=（正-1）°E,贝UPE=0£_PQ=（2—血）QE,即可得至I］答案.

【解析】（1）证明：如图1,过点E作EG〃/6交/C的延长线于点G,

AQAF=NG,AAFQ=ZGEQ,

・・•四边形/BCD是正方形，

AACB=ZGCE=45°,AD=CD,/FAD=ZDCE=90°,

・.・EG//AB,

•/NCEG=ZB=90°,

・•・NG=45°=ZGCE,

・•・GE=CE,

AF=CE,

：.AF=GE,

又/QAF=NG,ZAFQ=ZGEQ,

・・.“尸。也△G£0（ASA）,

:・FQ=EQ；

（2）①解：如图2,连接。

・・,四边形是正方形，

・•・AD=CD,ZFAD=ZDCE=/ADC=90°,

AF=CE,

：.△4。尸之△COE（SAS）,

.・.DE=DF,ZADF=ZCDE,

ZADF+/CDF=ZCDE+/CDF=/ADC=90°

・・・尸是等腰直角三角形，

由（1）知：点0是即的中点，

・•.DQ=QF=QE,

AB〃CD,

：.ZAFQ=ZDPEf

•：ZFAQ=45°,ZFED=45°,

：.ZFAQ=ZPED,

"FQS^EPD,

：.FQ:PD=AQ:DEf

：.FQDE=DPAQ,

,：AQ-DP=5y[2,

：.FQ-DE=542,

^_DQ=QE=FQ=x,

根据勾股定理，得DE=也x，

x'y[2x=5A/2,

:.X=下或x.=-也（舍去），

EQ=M，

VZFBC=90°,0是£F的中点,

BQ=EQ=45■,

,：ABAD=NADH=ADHF=90°

四边形是矩形,

FH=AD,FH//AD,FH1PD,

,:FD=FP,

：.DH=PH=AF,

由(1)知，AF=CE=EG,

：.DH=PH=AF=EG=CE,

设DH=PH=AF=EG=CE=a,AB=BC=x,

*.BF=x—a,CP=x—2a,

・・PC//BF,

\ZECP=ZEBF,/CPE=ZBFE,

,・APCES^FBE,

,PCCE

・BF-BE'

.x-2a_a

•二，

x-ax+a

,・%=(1+后)。(负值舍去)，

・.C尸二(血-1)Q,

・,PC//EG,

\ZQPC=/QEG,ZQCP=NG,

・・APQCS^EQG,

・PQPC

'~QE~~EG'

••丝=(/T)“=/_1，

QEa

・・PQ=(y/2-l)QE,

故答案为：V2

4.综合与实践

己知：矩形48cO,M是40边上一点.

M

B

图1图3

【基本图形】

(1)如图1,AM=MD,期交NC于尸点，W的延长线与CD的延长线交于点E,连NE,求证:

MFEM

BFEB

【类比探究】

(2)如图2,AM=MD,过点。任意作直线与由的延长线分别交于点£,点P,连4E,求证:

ZEAD=NPAD；

【扩展延伸】

(3)如图3,E是CD延长线上一点，尸是2C延长线上一点，北交C。于。点，8E交40于M点，延长40

交收于N点，若M是的中点，且48=3,BC=4,求△/£尸的面积.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)12

【分析】(1)由四边形48CD是矩形得/0I3C,从而得到而sac尸8,AEDMS^ECB,进而得到

MFAMEMMD,x-/口……人

=_»由ZAf=MD就可行到结论;

BFBCEBBC

(2)延长区4、PB交于点R,如图，由三角形相似可证到缪=EMDM=,­

Bp,再由AM=MD可得

BREB

BR=BP,再由垂直平分线的性质可得到/R=4P,结合4D〃BC就可得ZE4Z)=z7W.

(3)延长E4、PB交于点、R,如图，由(2)得NEAD=NP4D,进而证到再由㈤£)=">8可证

到△/IDESZVM,进而得到DE.PS=12.根据％的=口功+以7■效就可求出△/£尸的面积.

【解析】解：(1)证明：•••四边形是矩形,

/.AD//BC.

：.八AFMs/\CFB,AEDMS^ECB.

MFAMEMMD

BFBCEBBC

'：AM=MD,

MFEM

BFEB

(2)证明：延长胡、PB交于点、R,如图,

E

\AD//BC.

AEAM^AERB,AEDM^AEPB.

,AMEMEMDM

•万一年‘~EB~~BP'

,AMDM

：AM=MD,

\BR=BP.

.•四边形/5CZ)是矩形，

\ZABC=90°f即/5_L5C.

\AR=AP.

\ZR=AAPR.

：AD//BC,

\AEAD=AR,APAD=AAPR.

\AEAD=ZPAD.

(3)延长£4、PB交于点、R,如图,

・・,四边形Z5S是矩形，

ZADC=90°,AD=BC.

：.ZADE=90°.

/.ZAED=ZAQD.

.・.AE=AQ.

：.DE=DQ,

■:/ADE=/ABP,ZEAD=ZAPB,

^ADE^/XPBA.

.ADDE

,•万一万.

*.*AB=3,AD=BC=4,

•4_DE

•••

PB3

DEPB=\2.

•・S^AEP=S^AEQ+S^PEQ

=^EQAD+^EQ-CP

=^EQ（AD+CP）

=^EQ（BC+CP）

=^EQBP

=-x2EDBP

2

=12.

/.Z\AEP的面积为12.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直平分线的性

质、直角三角形的两锐角互余等知识.本题在解决问题的过程中，用已有的经验得到角相等，用割补法和

整体思想求出三角形的面积，综合性强，有一定的难度.而由平行线（矩形的性质）、角平分线（结论）联

想到构造等腰三角形是解决第二小题的关键.

题型3：翻折问题

5.菱形4BCD中，48=5,点厂是40边上的点,点。是边上的点.

（图1）（图2）（图3）

(1)如图1,若点尸是/。的中点，CQ±AB,连接CF并延长交A4的延长线于点尸，连接0尸，

①求证：△尸/尸父MDF；

②判定△/C。的形状，并说明理由；

(2)若菱形面积为20,将菱形沿C。翻折，点3的对应点为点£.

F)D

①如图2,当点不落在以边的延长线上时，连接BD,交。。于K，交EC于点M,求二y的值;

BM

②如图3,当垂足为点尸，交AD于点、N,求四边形CWV。的面积.

【答案】(1)①证明见解析；②△尸是等腰三角形，理由见解析;

55„136

v74821

【分析】(1)①利用AAS证明尸gZkCD厂即可；②由全等三角形的性质可得PR=CR,进而根据直角

三角形斜边上的中线长等于斜边的一半得0B=/C=gpC,即可求解；

(2)①由对称可得C0，3E,QE=QB,由菱形的面积可得C。=4,进而由勾股定理得80=后彳=3，

得到。E=3,40=5-3=2,即得/E=3-2=1,再由A30RSA£)CR,^FDM^^CBM,^AEF^^DCF,

BR=BQ=lFD=DM必=生」,理=理二也再即得以二孙设

DRCD5BCBMCDFD5DRCD5DR58

AF=k,则FD=5左，则4。=//+即=左+5左=6左，可得尸。=竺，进而得也=殷=9，得到

6BMBC6

BD即得出=28。，据此即可求解；②如图3,过点。作。于a,由CE1/。，AD//BC

~BM611

可得NBCE=90。,由折叠的性质得CE=8C=5,ZQCH=^ZBCE=45°,NE=N8=NO,进而可得

是等腰直角二角形，得到C"=QH,又由菱形的面积可得C尸=4,即得斯=5-4=1,由勾股定理得

NFEF14

FD=A/52-42=3,再证明得到==即可得N尸=7,得到

CFDF33

SANEF=：NFEF=3,同理由△硒/S.EOH可得S0CE=；C£・Q〃=m，再根据S四边形CFN0=S.℃E—湎即

可求解.

【解析】(1)①证明：•・,/为4D中点,

：.AF=DF,

・・,四边形4gs是菱形,

・•・AB//CD,

:・/P=/FCD,

又：NAFP=NDFC,

/.APAF知CDF(AAS)；

P

②解：△尸CQ是等腰三角形，理由如下：

/\PAF"ACDF,

PF=CF,

•：CQ1AB,

；.ZCQP=90°,

/.QF是RtAC0厂斜边上的中线，

:.QF=FC=：PC,

•••△/C0是等腰三角形；

(2)解：①：点8与点E关于C。对称，

：.CQLBE,QE=QB,

$菱形488=20,AB=5,

/.C。=20+5=4,

在△BC。中，根据勾股定理可得，BQ=^52-42=3,

QE=3,AQ=5—3=2,

：.AE=3-2=lf

・・•四边形/5S是菱形，

AB//CD,AD//CB,

：・小BQRs公DCR,AFDMSKBM,^AEF^^DCF,

BRBQ_3FD_DMAE_AF

…DR~CD-5'BC~BM'cF'?

..BR=BQ^l

'DR~CD~5

.BR+DR_3+5_8即黯

…DR-5-5

：.DR=-BD,

8

^AF=k,则尸。=5左，则ZQ=Z尸+FD=k+5左=6左，

AD=AB=5fAD=6k,

：.6k=5,

'：BC=5,

25

/.DM_FD_6_5,

.BM+DM_5+611

…BM~6~6

BM=—BD,

11

"^M~6an~48'

—DL)

11

即黑的值为要；

BM48

②如图，过点。作。于H,

NBCE=90°,

由折叠可知，CE=BC=5,N0cH=g/3CE=45。，NE=NB=ND,

是等腰直角三角形，

：.CH=QH,

•S菱形Z88=20,AD=5,

：.CF=4f

：.EF=5-4=1,

在R3CED中，由勾股定理得，FD=^52-42=3,

,:/E=/D,/EFN=/DFC=9。。，

・•・AEFNS^DFC,

,NFEF1

**CF-DF-3*

NF1

即nnT=7

43

:,N-F=—4,

3

C1ELL14,2

:=-NF-EF=-x-xl=-

△由2233

•；QHICE,ADICE,

：.NF//QH,

：.八ENFs八EQH,

.NF_EF

••丽―丽’

设CH=QH=a,则EH=5-a,

1

5-Q

20

a=—

7

CH=QH=y

・V=-CEQH=-x5x—=—

,,3QCE2277

502_136

•,§四边形CFAQ=S^QCE-S&ENF

【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角

形的判定，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和

性质，正确作出辅助线是解题的关键.

6.如图1,在矩形中，AB=3,45=4,点E在2c上，连接"把沿直线4E1翻折得到

△AFE,直线EF与直线CD交于点G,连接

（1）当NDFG=NGEC时，求BE的长.

小星看到把A/BE沿直线NE翻折得到△/M,就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对

应点连线被对称轴垂直平分,那么他就知道BE=FE,AB=AF,ZABE=ZAFE=90°,根据ZDFG=AGEC,

他延长EG与2。的延长线相交于点〃，可证/。=。尸=£月，AH=EH,再通过勾股定理即可求出8E的长.

请用小星的方法或自己的方法求防的长；

（2）当G是CD的中点时，求BE的长；

（3）如图2,已知等边△4BC的边长为6,点。在边上，连接3,把△45。沿直线4。翻折得到,

直线DE与直线ZC交于点R若CF=g,求BD的长.

【答案】（1）8-而

"-历

3-

（3）102-6旧或102+6拒或114-6府

【分析】（1）延长EG与的延长线相交于点”，可证斤=DH,AH=EH,在中根据勾

股定理即可求出族的长.

（2）延长EG与4D的延长线相交于点”，设EF=BE=x,则CE=4-x,证明会AEGC,得

DH=CE=4-x,求出E"=/〃=8-x,尸“=EH—E尸=8-2x,在中根据勾股定理，

AF2+FH2=AH2,求出x即可；

（3）分两种情况：当点尸在线段/C上时，当点尸在/C延长线上时，根据等边三角形及相似三角形解决

问题

【解析】（1）解：延长EG与4。的延长线相交于点X,

由翻折得5£=尸£,AB=AF,/ABE=/AFE=90。,

・・,四边形4gs是矩形，

・・・AD〃BC,

：.ZCEG=ZH,

ZDFG=ZGEC

：.ZH=ZDFG

：.DF=DH,

•：ZFAH+ZH=90°,NAFD+NDFH=90。,

：.ZAFD=ZDAF,

AD=DF=DH=4,

・・・AD//BC,

：.AHAE=ZAEB=ZAEH,

；.EH=AH=AD+DH=8

在RtZX/F〃中，AF2+FH2=AH2.

：.32+（8-5^）2=82

解得B石=8—庄或5£=8+后（舍去）；

（2）延长EG与的延长线相交于点〃，

设EF=BE=x,贝ljCE=4—x

・・・G是CD的中点，

・・•四边形/5S是矩形,

・・・AD〃BC,

/CEG=AH,

AHGD=ZCGB

AHGD之小EGC,

：.DH=CE=4-x,

：.AH=AD+DH=8-X9

9：AD〃BC,

：.ZHAE=ZAEB=ZAEH,

:.EH=AH=8—x,

：.FH=EH-EF=S-2x

在Rd/F//中，AF2+FH2=AH2,

：.32+（8-2x）2=（8-x）2

解得x=三巨或x=（舍去）

33

即田巴”

3

（3）当点/在线段4C上时，

设BD=DE=x,DF=a,贝UCD=6—x,EF=DE—DF=x—a,

・・・△力5C是等边三角形，

AZB=ZC=60°,AB=AC=6,

由翻折得ZE=/5=6,ZE=ZB=60°,

・•・ZE=ZC,

•：ZAFE=ZDFC,

/\AFE^Z\DFC,

.AEAFEF

，9~CD~^F~~CFf

11

.6_2_x-a

6-xaJ_

2

解得xJ02-6屈或"。2+6旧；

2323

当点厂在NC延长线上时，

设BD=DE=x,贝！CJ£>=6—x,

・・・△力^。是等边三角形，

AZS=ZACB=60°,AB=AC=6,

由折叠得“E=/5=4C=6,AB=ZAED=60°,

NACB=ZAED,

ZAHC=/EHD,

ZCAH=ZHDE,

ZAFE=ZDFC,

AAFES^DFC

,AEAFEF

**CF-DF-CF

13

・6万EF

6-x~x+EF~~f

2

解得-6病或x」4+6a(舍).

2525

综上，即的长为-一6,或1。2+6屈或114-6标.

232325

【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，勾股定理等知识，是综合性较强的一题，综合掌握各种图形的性质，正确引出辅助线分类讨论是解题

的关键.

7.(1)发现：如图1,正方形4BCO中，点£在边上，将沿ZE对折得到△NFE,延长斯交8C

边于点G,连接ZG.证明：BG+DE=EG.

(2)探究：如图2,矩形45。中/。>/3,。是对角线的交点，过。任作一直线分别交工。于点

M、N,四边形AMNE是四边形CMND沿肱V翻折得到的，连接CN,若△CDN的面积与KMN的面积比为1:3,

求而的管

(3)拓展：如图3,在菱形45。中，AB=6,E为。边上的三等分点，ZD=60°,将△/£>£沿NE翻折

得至！J△/尸E,直线E尸交8C于点尸，求PC的长.

【答案】(1)见解析；(2)票=2道；(3)|■或，

【分析】(1)由折叠性质得=ZAFE=/D=90°,再证明A/G/丝△/尸G即可；

(2)连接NC,过N作NG,8c于G,依题意得四边形CDVG是矩形；首先证明四边形ZMCN是平行四

边形，从而得BM=ND；设ND=a,由面积关系得“C=3a,从而由勾股定理得48=20a;依题意得四

边形CDNG是矩形，则有MG=2a,在直角三角形中由勾股定理求得"N,即可求得结果；

(3)分两种情况考虑：①。E=；DC=2时；②CE=；DC=2时，分别利用勾股定理建立方程求解.

【解析】(1)证明：正方形48。中，AD=AB,ND=NB=9G°；

由折叠性质得/尸=NDNAFE=ND=90°,DE=EF■,

ZAFG=ZB=90°,AB=AF；

■.■AG=AG,

.•.△4G/丝△/FG(HL),

:.BG=FG；

BG+DE=FG+EF=EG；

(2)如图，连接/C,过N作NGL8C于G,则NNGC=90。，

在矩形/BCD中，

CD=AB,AD//BC,ND=/BCD=NB=90。,OA=OC；

则四边形CDNG是矩形，

ND=GC,CD=NG=AB；

AD//BC,

:./NAO=/MCO,NANO=NCMO,

:.AANO丝MMO,

/.AN=MC,

故四边形ZMCN是平行四边形，

BC-MC=AD-AN,

BM=ND；

由折叠知，AM=MC,

设ND=a,由于的面积与的面积比为1:3,

即;ONCQ:；MCNG=1:3,

:.MC:DN=1:3；

:.MC=3a,BM=DN=GC=a,AM=MC=3a；

由勾股定理得AB=4AM1-BM1=，

-：MG=MC-GC=2a,

在RL^JWG中，由勾股定理求得=Je+MG?=2恁，

，3=拽—❷

DNa

(3)由于四边形是菱形，

则4B=/Z)=Z)C=6,AD〃BC；

①如图，当。E="C=2时；

延长用交力)于点0,过点。作。“上。于点”，过点£作£“，/0于ENLAF于N,过点/作

4RLFQ于R；

设=QE=yf则/0=4O_O0=6—x；

•・•CP//DQ,

:ACPES^DQE,

.CP_CE

••瓦―京—'

贝UCP=2DQ=2x；

由折叠知：EF=DE=2,AF=AD=6,/QAE=/FAE,

.：/£平分/Q4F,

:.EM=EN；

■：S^AQE=^AQ-EM=^QE-AR,S^AEF=^AF-EN=^EF-AR,

上两式相比并化简得：当=柒，

AFEF

即斗故有：y=2-^X；

o23

vZD=60°f

:.DH=^DQ=^x,

HE—DE—DH=2—万x,HQ=-43DH=x•

在RtZ\〃0E中，由勾股定理得：叱+瞳=£。,

②当CE=；QC=2时,

如图，延长在交血）延长线于点。'，过点。'作。归UCE于",

则。E=CD-CE=4；

设孙Q'E=yi,则/°'=/0+0。=5+再；

•••CP//DQ',

.△CPEsADQ'E,

CPCE1

~DQ~~DE~3."

.■.CP=^DQ'=^Xl；

由折叠性质得：EF=DE=4,AF=AD=6,AQ'AE=AEAF；

与前一情况同理,得：隼二瞽,

即金=2,

64

2

二%二4A+§西;

•••ZCDA=ZQ'DH'=60°,

:.DH'=^DQ'=,

1h

fffrf

HE=DE+DH=4+-HQ=y/3DH=^-xx;

在RtZVTQ'E中，由勾股定理得：H'Q'12+H'E2=EQ'2,

即（玉+[4+：再]=乂2=]4+|•西

12

解得：为=1•或再=。（舍去），

1126

PC=—x—=一；

255

综上，尸。的长为m或g.

【点睛】本题是相似三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质,

折叠的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，正方形的性质，矩形及菱形的性质，平行四边形的性

质等知识，涉及分类讨论思想，综合性强，难度大，正确作出辅助线，熟练掌握折叠的性质、相似三角形

的判定与性质是关键.

题型4：旋转问题

8.如图，△4BC和是有公共顶点的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°.

⑴如图1,连接血、CD,班的延长线交/C于尸，交CD于点P,求证:

①"BE知ACD；

②BPLCD；

（2）如图2,把△/£）£绕点A顺时针旋转，当点。落在上时，连接BE、CD,CD的延长线交BE于点P,

若3c=60，AD=3.

①求证：LBDPS/\CDA,

②4PDE的面积是一

【答案】（1）①见解析；②见解析

⑵①见解析；②、27

【分析】（1）①利用SAS定理证明A/3E0"CZ）；

②根据全等三角形的性质得到=根据三角形内角和定理、垂直的定义证明结论；

（2）①证明A/BEgA/CD,根据全等三角形的性质得到々BE利用相似三角形的判定定理证明

即可；

②根据等腰直角三角形的性质求出/C,根据勾股定理求出CD,证明△C/DS^CPE,根据相似三角形的

性质分别求出PE、PD,根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【解析】（1）证明：@vABAC=ZDAE,

:.ZBAC-ZEAC=NDAE-NEAC,即NBAE=ACAD,

在"BE和AACD中，

AB=AC

<NBAE=/CAD,

AE=AD

®\'^ABE^ACD,

.•./ABE=ZACD,

•••AAFB=ZPCF,

:"BPC=/BAC=9。。,^BP.LCD；

(2)①证明：在△/5£和“8中，

AE=AD

<ZBAE=ZCAD=90°,

AB=AC

.\AABE^AACD(SAS),

/ABE=ZACD,

•「ZBDP=ZCDA,

:.BDPs£DA；

②解：在△45C中，/BAC=90。,AB=AC,BC=6亚,

：.AB2+AC2=BC2=(6A/2)2=72

...AB=AC=6y[2x—=6,

2

在△ZOE中，^DAE=90°,AD=AE,AD=3,

AE=3,

CE=CA+AE=9,

在中，ZDAC=90°,

由勾股定理得：CD£AC2+AD?=3下，

由(1)②可知，BPLCD,

/CAD=/CPE=9。。,

•・・ZACD=ZPCE,

:KADs/PE,

,CDADCA日门3店36

"~CE~~PE~~CP"^~9~=^E=~CP9

解得：PE=座,。尸=竺5,

55

:.PD=CP-CD=^^-34S=—,

55

13亚97527

•s=-PDPE=—X----------X-----------=——

…QAPDE225510

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾

股定理以及三角形的面积计算，灵活运用相似三角形的判定定理是解题的关键.

9.问题背景：如图(1),在△4BC和△/£)£■中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,求证:

八ABD咨八ACE；

尝试应用：如图(2),在△ABC和△/£>£中，ZABC=ZADE=90°,ZACB=ZAED=30°,连接CE,点尸

是CE的中点.判定以2,D,尸为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；

拓展创新：如图(3),在UBC中，ACM，BC=245,将48绕点/逆时针旋转90。得到4D,连接

BD,CD.若点K是CD的中点，连接BE,直接写出BE的最大值.

【答案】问题背景：见解析；尝试应用：等边三角形，理由见解析；拓展创新：6

【分析】问题背景：由NB4C=ND4E得NB4D=/C4E,利用SAS即可证明全等；

尝试应用：取/C中点尸，连接尸尸，则尸是等边三角形，得BP=4B；由三角形中位线定理得PF=ND,

PF//AE,则/C尸尸=/C4E,从而可得/BPF=/B/D,从而可证明△/如二△尸瓦^SAS),则可得

BD=BF,NABD=ZPBF，问题即可证明；

拓展创新：过C作尸CL8C,垂足为C,且尸C=BC,连接3尸，DF,可得AACBSADFB,从而

。尸=2；.取CF的中点G,连接8G,GE,则GE=1,BG=5,由BEWBG+GE可得BEW6,即8E的最大

值为6.

【解析】问题背景：证明：•・•/R4C=/D/E,

:.ABAC-ADAC=/DAE-ADAC,

即/BAD=NCAE,

VAB=AC,AD=AE,

:△ABD^ACE(SAS)；

尝试应用：解：等边三角形；证明如下：

取/C中点尸，连接月尸，如图，

vZABC=ZADE=90°fZACB=ZAED=30°,

BP=AP,/BAP=/EAD=60。，AD=-AE,

2

「.△43尸是等边三角形，

:.BP=AB,ZAPB=ZABP=60°；

ZBPC=180°—/APB=120°,

/BPF=ZBPC+/CPF=120°+/CPF；

•./为CE的中点，4C中点为尸，

:.PF=-AE=AD,PF//AE,

2

/./CPF=/CAE,

/./BAD=ZBAP+/CAE+ZEAD=120°+ZCAE,

/.ZBPF=ABAD,

.•.△48QdP昉(SAS),

:.BD=BFfZABD=ZPBF,

/./DBF=ZDBP+ZPBF=ZDBP+ZABD=ZABP=60°,

:.ADBF是等边三角形；

拓展创新：解：如图，过C作尸CL8C,垂足为C,且尸C=8C,连接AF,DF,

则/CBb=45°,BF=6BC;

由旋转知，AB=AD,ABAD=90°,

:.AABD=45°,BD=6AB;

•••NABC+ZCBD=NCBD+ZDBF=45°,

ZABC=/DBF；

・.图=”地，

ABBC

:AACBs^DFB,

与”=叵,

ABAC

:.DF=42AC=2-

取3的中点G,连接8G,GE,则CG=[w=布;

2

•••E点是CD的中点，

r.GE=尸=1,

2

由勾股定理得：BG=yjBC2+CG2=V20+5=5>

•：BE<BG+GE,

即BEW5+1=6,

.〔BE的最大值为6.

【点睛】本题是三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形

判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，构造辅助线证明三角形全等与相似是本

题的关键.

10.如图，在△锐角ABC中，AB=行，8C=3,乙4cB=45。，将△48。绕点B按逆时针方向旋转得到△42G.

图①图②图③

(1)如图①，当点G在线段C4的延长线上时，求NCG4的度数;

(2)如图②，连接，4，CC,,若的面积为2,求△C8G的面积;

(3)如图③，点£为线段48中点，点P是线段NC上的动点，在△4BC绕点8按逆时针方向旋转过程中,

点P的对应点是点4,求线段朝长度的最大值与最小值.

【答案】(1)90。

(2)^cac,=y

⑶线段班长度的最大值为3+,与最小值为《夜-

【分析X1)由旋转的性质可得：乙4"=ZACB=45°,BC=BCt,又由等腰三角形的性质，即可求得ZCQ4

的度数；

(2)由旋转的性质可得：/BCaAg,易证得4sACBG，利用相似三角形的性质可得答案；

(3)由①当P在AC上运动至垂足点D,LABC绕点B旋转，使点P的对应点R在线段AB上时，步最小;②

当尸在/C上运动至点C,AABC绕点B旋转,使点尸的对应点耳在线段的延长线上时，列最大，即

可求得线段团长度的最大值与最小值.

【解析】(1)解：由旋转的性质可得：ZAlClB=ZACB=45°,BC=BQ,

：.NCgB=NGCB=45°,

：.ZCQ4=ZCQB+ZA^B=45°+45°=90°.

(2)解：由旋转的性质可得：AABCaAg,

：.BA=BAt,BC=BG，ZA8C=Z4g,

BABA,

ZABC+N4BG=N4g+ZABQ,

；.NAB&=NCBQ,

:.AABAISACBG，而22=收BC=3,

■：的面积为2,

(3)解：过点5作8DL/C,。为垂足,

,/△4BC为锐角三角形,

...点。在线段/C上，

在Rt^CZ）中，ZACB=45°fZBDC=90°,

.-,2/）50=90°-45°=45°,

・・・ZDBC=/DCB,

DB=DC,

9：DB2+DC2=BC2,

・•・2032=32,

解得：05=1&或D2=也（舍去），

乙2.

:点£为线段48中点，

BE=AE=—AB=；

22

①如图1,当P在NC上运动至垂足点。，△ABC绕点2旋转，使点尸的对应点片在线段上时,

E"4G,此时团最小，且最小值为：EP[=BP[-BE=BD-BE=-；

图1

②如图，当P在/C上运动至点C,△ABC绕点3旋转，使点尸的对应点々在线段48的延长线上时，ER

最大，且最大值为：ER=BCi+BE=BC+BE=3+《.

A4

1G（R）

综上分析可知，线段玷长度的最大值为3+立与最小值为口后-

2