小学数学校本教材

目录第一局部读一读第一讲中国古代数学家徽 2第二讲法国数学家勒．笛卡尔 5第二局部算一算第三讲速算与巧算 8第三局部想一想第四讲平面图形的面积〔1〕 第五讲平面图形的面积〔2〕 第六讲平面图形的面积〔3〕 18第七讲逻辑推理〔1〕 第八讲逻辑问题〔2〕 第九讲列方程解应用题 35第十讲行程问题 41第一讲中国古代数学家徽徽-简介徽九章算术徽〔生于公元250年左右〕，是中国数学史上一个非常伟大的数和"海岛算经"，是我国最珍贵的数学遗产。方面：如解联立方程，分数四那么运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比拟原始，缺乏必要的证明，而徽那么对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的奉献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。么；改良了线性方程组的解法．在几何方面，提出了割"圆术"，即将用割圆术科学地求出了圆周率π≈3.14的结果。他用割圆术，从直径为2尺的圆接正六边形开场割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用是割"之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣。〞他计算了3072边形面积并验证了这个值．徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出"求徽数〞的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率并在中国数学史上第一次提出了"不定方程问题〞；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂〔面积〕；方程〔线性方程组〕；正负数等等．徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。他的大多数推理、证明都符合逻辑，十分严谨，从而把"九章算术"及他自己提出的解法、公式建立在必然性的根底之徽在割圆术中提出的割"之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，那么与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．"海岛算经"一书中，徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主直观．他是我国最早明确主用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了珍贵的财富。第二讲法国数学家勒．笛卡尔勒笛·卡尔勒笛·卡尔〔ReneDescartes，1596——1650〕，著名的法国哲学家、科学家和数学家。笛卡尔常作笛卡儿，1596年3月31日生于法德尔-卢瓦尔省笛卡尔-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩〕。他对现代数学的开展做出了重要的奉献因，将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了"普遍疑心〞的主。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓"欧陆理性主义〞哲学。笛卡尔出身于一个地位较低的贵族家庭，父亲是布列塔尼议体弱多病。母亲去世后，父亲移居他乡并再婚，而把笛卡尔留给了他的外祖母带大，自此父子很少见面，但是父亲一直提供金钱方面的帮助，使他能够受到良好的教育。在他8岁时笛卡尔就进入拉夫赖士(LaFlèche)的耶稣英语会定，又决心游历欧洲各地，专心寻求"世界这本大书〞中的智慧。因此他于1618年在荷兰入伍，随军远游。到军营公告栏上用佛莱芒语写的数学问题征答引起了兴趣，并且让一位他当兵的朋友，进展了翻译。他的这位朋友在数学和物理己在数学上有了4个重大发现。可惜的是这些发现现在已经无从知道了。的思想。他在荷兰发表了多部重要的文集，包括了"方法论"、"形而上学的沉思"(Méditationsmétaphysiques)1649年笛卡尔受瑞典女王之邀来到斯德哥尔摩，但不幸在这解除了禁令，那是为了对当时在法国流行起来的牛顿世界体系提供一个替代的东西。第三讲速算与巧算〔一〕四那么运算的定律、性质、法那么是进要依据。1、利用运算定律使计算简便。2、利用运算顺序的改变使计算简便。3、利用运算法那么使计算巧妙。〔二〕转化是速算与巧算的主要技巧。1、当一个数接近整十、整百、整千……的十、整百、整千的数，计算比拟简便。2、利用数的分解或拆数，转化后巧算。3、改变计算方法〔变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘〕使计算简便。〔三〕认真观察算式及数的特征，剖析数于数之间的关系，是灵活的选择和合理运用计算技巧的主要方法。【思路点拨】〔1〕5.8与4.2刚好凑成10，2.32与0.68刚好凑成3，这样凑整可以使计算简便。各加数看作与它接近的整数。再把多加的那局部减去。的局部。也可以运用凑整法。〔1〕18×5.5〔2〕8.88×1.25〔3〕34.7×0.25〔4〕238÷1.25〔5〕0.25×12.5×3.2【思路点拨】律，把2×5.5结合积为11，最后求出9与11的积。例3：计算〔1〕124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68〔2〕5795.5795÷5.795×579.5数和一个小数的和，可以使计算简便。的商得100，然后再求出5795.5795×100的积。例4：计算下面各题。〔1〕1990×198.9－1989×198.8〔2〕2.25×0.16＋264×0.0225＋5.2×2.25＋0.225×20数扩大假设干倍，另一个因数缩小一样的倍数，积不变的道理，可以把被减数写成199×1989，然后利用乘法分配律巧算。〔2〕同样利用扩缩法简便计算，注意选择最正确方案。例5：计算：〔1＋0.28＋0.84〕×〔0.28＋0.84＋0.66〕－〔1＋0.28＋0.84+0.66〕×〔0.28＋0.84〕两个乘积斗的构成很有规律：如果把1＋0.28＋0.84用字母A表示，把0.28＋0.84用字母B表示，原式就可以变成A×〔B＋0.66〕－〔A+0.66〕×B。在运用乘法分配律使计算简便。例6：计算4.82×0.59＋0.41×1.59－0.323×5.9与0.323×5.9的差，可运用扩缩法把0.323×5.9写成3.23×5.9,后运用乘法分配律计算，然后再加上0.41×1.59，再次运用乘法分配律巧算。例7：计算654321×123456－654322×123455.123455多1，可以利用乘法分配律简算。解：654321×123456－654322×123455=654321×〔123455＋1〕=654321×123455＋654321－654321×1例8：计算1998×9－1999×8101,abcabc=abc×1001所,以9=1999×100010001,8=1998×100010001.这样被减数和减数都有一样因数100010001，就可以运用乘法分配律进展简算了。解：1998×9－1999×8=1998×1999×100010001－1999×1998例9：计算〔1＋3＋5＋…＋1999〕－〔2＋4＋6＋…＋1998〕【思路点拨】根据减法的性质，将原式拆开后，在配对组合，进展例10：计算100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋…＋【思路点拨】此题按顺序计算太繁，观察算式的特点，发现每两个数相加后，又会减去两个数，我们可以考虑把它们四个数分为一组，〔1〕0.125×0.25×32〔2〕16×4.5〔3〕0.25×1.25×22.4〔4〕0.9＋0.99＋0.999＋0.9999＋0.99999〔6〕98989898×99999999÷1010101÷11111111〔7〕3.14×6.5＋4.5×3.14－3.14〔8〕1240×3.8＋124×51＋1.24×1400＋760×9.6＋0.76×700〔9〕1÷〔2÷3〕÷〔3÷4〕÷〔4÷5〕÷…÷〔1999÷2000〕20112012×20122011－2011〔11〕1＋2＋3＋4－5－6－7－8＋9＋10＋11＋12－13－第四讲平面图形的面积〔1〕例1平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影局部的面积。5厘米4厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形直接求出阴影局部的面积。积减去空白面积求得阴影局部面积。这两种是最常用最简便的方法。积。积。2．平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影局部的面积。6米99第五讲平面图形的面积〔2〕AA甲乙F道，三条边上的高也不知道。所以，无法用公式计算出它的面积。仔细观察此题的图，我们可以发现，如果延长GA和FC，它们会相交及△AHC〕的面积都能直接求出。44388585第六讲平面图形的面积〔3〕米，求CE的长度。DD甲FBCAE【思路点拨】题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角形的面ABCF后相减的结果还是6平方厘米，即：甲-乙=6〔平方厘米〕即：正方形ABCD-△ABE=6〔平方厘米〕这就是说正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米。用正方形的面积减去6就得到三角形ABE的面积，再用三角形的面积乘以2再除以AB，就得到BE的长度，从而求出CE的长度。同步练习1、四边形ABCD是一个长为10厘米，宽6厘米的长方形，三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米。求CF的长是多少厘米？FFECBAD三角形DEF的面积。DAD〔2〕CF的长。E第七讲：逻辑推理〔1〕EFBF上说，任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。逻辑推理必须遵守四条根本规律：〔1〕同一律。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。〔2〕矛盾律。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，"这个数大于8”和"这个数小是错的。〔3〕排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如"这个数大于8”和"这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。〔4〕理由充足律。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规那么，只是没有加以总结。例如假设法，根据假对同一事件"√〞与"×〞只有一个成立，就是利用了排中律。例1聪、王仁、来三位教师担任五〔2〕班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道：〔1〕英语教师和数学教师是邻居；〔2〕王仁年纪最小；〔3〕聪喜欢和体育教师、数学教师来往；〔4〕体育教师比语文教师年龄大；〔5〕王仁、语文教师、音乐教师三人经常一起做操。请判断各人分别教的是哪两门课程。由〔3〕知，聪不是体育、数学教师；由〕知，王仁不是语文、音乐教师；由〔2〕〔4〕知，王仁不是体育教师，推知来是体育教师。至此，得到左下表。由〔3〕知，体育教师与数学教师不是一个人，即来不是数学教师，推知王仁是数学教师；由〔1〕知，数推知王仁是美术教师。至此，得到右上表。由〔4〕知，体育教师来与语文教师不是一个人，即来不是语文教师，推知聪是语文教师；由〔5〕知，语文教师聪不是音乐教师，推知来是音乐教师；最后得到聪是英语教师，见下表。所以，聪教语文、英语，王仁教数学、美术，来教音乐、体育。结果作为后面推理的条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个"√〞，每列只有一个"√〞，其余都是"×〞这个隐含条件。例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。例2小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：〔1〕小明不在一小；〔2〕小芳不在二小；〔3〕爱好乒乓球的不在三小；〔4〕爱好游泳的在一小；〔5〕爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？分析与解：这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个容。与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：因为各表中，每行每列只能有一个"√〞，所以表3可补全为表4。由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。例1、例2用列表法求解。下面，我们用分析推理的方法解例3、例4。一天他们来到了"两面国〞，却忘记了这一在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话，在星期一、二、三、日说真话。牛头说：昨"天是我说假话的日子。〞马请判断这一天是星期几。一个说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否那么星期六都说假话，与题意不符。前一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但不是马面由说假话变为说真话的日子，所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日子，所以这天是星期四。例4A，B，C，D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别答复如下。B："C做了好事，我没做。〞C："A，D中只有一人做了好事。〞D："B说的是事实。〞说的与事实有出入。到底是谁做了好事？实，另两人说的与事实有出入。注意，此处的"与事实有出入〞表示或B做了好事而C没做好事时，B说的话都与事实有出入。因为B与D说的是一样的所，以只有两种可能要，么B与D正确，A与C错；要么B与D错，A与C正确。〔1〕假设B与D说的话正确。这时C做了好事，A说C，D两人中有人做了好事，A说的话也正确，这与题目条件只有"两人说的是事实〞相矛盾。所以假设不对。〔2〕假设A与C说的话正确。那么做好事的是A与C或，B与D，或C与D。假设做好事的是A与C，或C与D，那么B说的话也正确，与题意不符；假设做好事的是B与D，那么B说的话与事实不符，符合题意。综上所述，做好事的是B与D。1.A，B，C，D，E五个好朋友曾在一圆桌上讨论过一个复杂的问题。今天他们又聚在了一起，回忆当时的情景。A说："我坐在B的旁边。〞B说："坐在我左边的不是C就是D。〞D说："C坐在B的右边。〞言的E的左边是谁？2.从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出局部产品去参加博览会。根据挑选规那么，参展产品满足以下要求：〔3〕A，E，F三种产品中要选两种；〔6〕假设D种产品不入选，那么E种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？3.三户人家每家有一个孩子，分别是小平〔女〕、小红〔女〕和小虎〔男〕，孩子的爸爸是老王、老和老，妈妈是英、玲和方丽。〔1〕老王和玲的孩子都参加了少年女子体操队；〔2〕老的女儿不是小红；〔3〕老和方丽不是一家人。请你将三户人家区分开。师、工人、演员。：〔3〕乙不是工人。求这三人各自的籍贯和职业。〔1〕三人都说谎；〔2〕三人都不说谎；〔3〕三人中只有一人说谎；〔4〕三人中只有一人不说谎。6.五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不一样，最大的第八讲逻辑问题〔2〕乙、丙按甲、乙、丙的顺序排成一路纵队，并闭上眼睛，然后分别给他们各戴上一顶帽子，同时把余下的帽子藏起来。当他们睁开眼后，情况判断出了自己所戴帽子的颜色。甲戴的帽子是什么颜色？他是怎样判断的？看不见任何一顶帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是红帽子，判断不出自己戴的帽子的颜色，说明我和乙戴的帽子是两白或一白一红。色时，他也能判断出我们两人戴的帽子是两白或一白一红。此时，如果他看到我戴是红帽子，那么他就会知道自己戴的是白帽子，只有我戴的是白帽子时，他才可能猜不出自己戴的帽子的颜色。所以，我戴的一定是白帽子。例1中，甲的分析非常精采，严密而无懈可击。例2三个盒子各装两个球，分别是两个黑球、两个白球、一个黑球一个白球。封装后，发现三个盒子的标签全部贴错。如果只允许翻以下图〔○表示白球，●表示黑球〕:一个白球，此时无法判定是实际情况1，还是实际情况2，也就无法把标签全部纠正过来；同理，从标签是两白的盒子中拿一个球，假设拿的是黑球，那么也无法把标签全部纠正过来；么能确定出是实际情况1，假设拿出的是白球，那么情况2，因此能把标签全部纠正过来。所以，只要从标签是一黑一白的盒子中拿一个球，就能纠正全部标签。例3A，B，C三名同学参加了一次标准化考试，试题共10道， "×〞。他们的答卷如下表：考试成绩公布后，三人都得70分。请你给出各题的正确答案。分，所以每人都错了3道题。比拟A，B的答卷发现，他们有6道题的答案不一样，说明这6道题A，B两人各错3道，也就是说，A，B答案一样的题都对了，因此找到了第1，3，4，10题的正确答案。同理，A，C的答卷也有6道题的答案不一样，因此找到了第3，6，8，9题的正确答案；同理B，C的答卷也有6道题的答案不一样，因此找到了第2，3，5，7题的正确答案。各题的正确答案如下表：例4A，B，C，D，E五位选手进展乒乓球循环赛，每两人都只赛一盘。规定胜者得2分，负者不得分。现在知道的比赛结果是：A与 B并列第一名〔有两个并列第一名，就不再设第二名，下一定为第三名〕，D比C的名次高，每个人都至少胜了一盘。试求每人的得分。一回事，胜的盘数乘以2就是得分。五人进展循环赛，共需赛10盘，总得分是2×10=20〔分〕。因为每人都赛4盘，所以第一名最多胜4盘，但因为A，B并列第一，A，B不可能都胜4盘，所以A，B最多各胜3盘。如果A，B没有各胜3盘，而是各胜2盘，那么剩下的10-2者只会是C，D，E，根据抽屉原理，C，D，E三人中至少有1人胜了至少2盘，与第一名胜2盘矛盾。所以，A，B各胜3盘，各得6分。还有4盘，D比C名次高，每个人都至少胜一盘，只能是D胜2盘得4分，C，E各胜一盘，各得2分。注意：题目中"每个人都至少胜一盘〞是制约结果的重要条件，如果没有这个条件，那么该题的结果就有两种可能：一是A，B各胜分。红的、两顶蓝的和一顶黄的。然后，让四个儿子按大的在前小的在后的顺序排成一路纵队，并让他们闭上眼睛。接着，给他们每人戴上一顶帽子，藏起其余两顶。当他们睁开眼睛后，每个人都只能看见前边人的帽子。这时，老汉依次问小儿子、三儿子和二儿子，"你戴的帽子是什么颜色？〞他们都答复"不知道〞。最后，老汉又问大儿子。大儿子想了一会儿，正确地说出了自己戴的帽子的颜色。问：大儿子戴的帽子是什么颜色？他是如何判断的？时各班参加一名班长。参加第一次会议的是A，B，C，D，参加第二次会议的是E，B，F，D，参加第三次会议的是A，E，B，G。H三次会都没参加，请问每个班各是哪两位班长？3.甲、乙、丙、丁四个学生坐在同一排的相邻座位上，座号是1号至4号。一个专说谎话的人说："乙坐在丙的旁边，甲坐在乙和丙的中间，乙的座位不是3号。〞问：坐在2号座位上的是谁？4.大娘问三位青年人的年龄。这三位青年人爱开玩笑，每人讲的三句话中，都有一句是错的。大娘难辩真真假假，请你帮助大娘弄清这三人的年龄。面是记有详细比赛情况的表。但后来发现表中有四个数是错误的。请按规定重制一正确的表格。〔胜一场记2分，负一场记0分，平一场双方各记1分。〕丙、丁的答案及前三人的得分如下表，求丁得了多少分。第九讲列方程解应用题时，如果能恰当地假设一个未知量为x〔或其它字母〕，并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。楚地把它们的关系表达出来。设胶鞋有x双，那么布鞋有〔46-x〕双。胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销售收入为5.9〔46-x〕元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。解：设有胶鞋x双，那么有布鞋〔46-x〕双。7.5x-5.9〔46-x〕=10，7.5x-271.4+5.9x=10，x=21。答：胶鞋有21双。所以答：袋中共有74个球。在例1中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有x双；在例2中，求袋中共有多少个球，我们设红球有x个，求出红球个数后，再求共有多少个球。像例1那样，直接设题目所求的未知数为x，即求什么设什么，这种方法叫直接设元法；像例2那样，为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为x，这种方法大多数题目可以使用直接设元法。 列出方程80x-40=〔30x+40〕×2，80x-40=60x+80，20x=120，x=6〔座〕。〔x-40〕×80=〔2x+40〕×30，80x-3200=60x+1200，20x=4400，由灰砖有220米3，推知修建住宅〔220-40〕÷30=6〔座〕。同理，也可设有红砖x米3。留给同学们做练习。例4教室里有假设干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少个女生？分析与解：设最初有x个女生，那么男生最初有〔x-10〕×2个。根据走了10个女生、9个男生后，女生是男生人数的5倍，可列方程x-10=[〔x-10〕×2-9]×5，x-10=〔2x-29〕×5，x-10=10x-145，9x=135，x=15〔个〕。例5一群学生进展篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数进球数，也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，3×〔x-3-4-1〕+8×3+9×4+10×1，=3x+46。由此可得方程6x-83=3x+46，x=43〔人〕。例6甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行的重量都超过了可免费携带行的重量，需另付行费，三人共付4元，而三人行共重150千克。如果一个人带150千克的行，除免费局部外，应另付行费8元。求每人可免费携带的行重量。带3x千克行，三人携带150千克行超重〔150-3x〕千克，超重行每千克，超重行每千克应付8÷〔150-x〕元。根据超重行每千克应钱数，可列方程4÷〔150-3x〕=8÷〔150-x〕，4×〔150-x〕=8×〔150-3x〕，600-4x=1200-24x，20x=600，x=30〔千克〕。2、大、小两个水池都未注满水。假设从小池抽水将大池注满，那么小池还剩5吨水；假设从大池抽水将小池注满，那么大池还剩30吨水。大池容积是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？3、一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。问：男孩、女孩各有多少人？1.5倍，又走了10个女生后，男生人数是女生的4倍。问：教室里原有多少个学生？5、一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数第十讲行程问题的问题。按运动物体的路线：可分为直线运动和曲线运动两大类；按运动物体的方向可分为：相向、反向、同向。行程问题的根本数量关系：速度×时间路=程路程÷时间=速度路程÷速度时=间相遇问题：速度和×相遇时间路=程路程÷相遇时间=速度和路程÷速度和=相遇时间追击问题：速度差×追击时间=追及距离追及距离÷速度差=追击时间追及距离÷追击时间=速度差二、例题精讲【例1】甲、乙两人同时从两地骑自行车相向而行，甲的速度是每小时20千米，乙每小时行18千米，两人相遇时距中点3千米。甲、乙两地相距多少千米？【分析】甲的速度快，所以甲行了全程的一半多3千米，乙行了全程的一半少3千米，甲比乙多行了〔3×2=6〕千米。又因为乙每小速度差=相遇时间〕解：〔20＋18〕×[3×2÷〔20－8〕]=114〔千米〕【例2】甲乙两地相距100千米，两人同时从两地出发，相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头向甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇，这只狗一共走了多难的。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就是甲乙两人的相遇时间，所以用狗的速度乘相遇时间就可以了。〔通过找不变量解题，既有情趣，又可以开阔思路〕解：100÷〔6＋4〕=10〔小时〕10×10=100〔千米〕【例3】两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米，两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开场，到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒。求乙车的长度。【分析】从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一刻起，乙车车头和甲车乘客开场作反向运动。经过1秒钟，他们之间的距离就等于乙车车头和甲乘客1秒钟所行的路程之和。经过14秒，他们之间的距离就等于乙车车头和甲乘客1秒钟所行路程之和的14倍。因为甲乘客在14秒钟完毕时看到乙车车尾，所以乙车车头与甲乘客在这段时间所走路程之和恰好等于乙车车身的长度即。乙车车长等于甲乙两车14秒所行路程之和。的速度爬行，兔每分钟跑330米。兔跑了10分钟就停下来睡了200分钟，醒来后立即以原速度向前奔跑。当兔子追上龟时，离终点的距跑了〔330×10=3300米〕，他们的路程差为6300－3300=3000米，兔醒来后追上龟需用时间为3000÷〔330－30〕=10分钟，这样兔一共用了20分钟，行了330×20=6600米。用总路程减去已行的路程，就求出了距离终点的路程。前端的联络员用12分钟的时间跑到队伍末尾传达命令。联络员每分钟跑多少米？【分析】队伍在向前行进，联络员从排头跑到排尾，因此，这是联络员和排尾队员的相遇问题，当两人合走完这支队伍的总长度后，度和，也就能算出联络员的速度。解：2400÷12－90=110米【例6】客车与货车同时从甲城开往乙城，客车每小时行46千米，货车每小时行32千米。客车到达乙城时，因上下旅客停留了30分钟后，立即返回甲城，在返回途中与货车相遇。两车从出发倒相遇的2倍。有知道共用了5小时30分相遇，因为客车在乙城停留了30解：从出发到相遇客车行驶了：46×〔5.5－0.5〕=230〔千米〕【例7】兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹回去取，行到离学校180米处与妹妹相遇。他们家离学校有多远？解：180×3÷30×60＋180=900〔米〕80千米处相遇。相遇后两车继续前进，到达目的地后又立即返回，第二次相遇离B点60千米。求A、B两地间的距离。【分析】此题既没有给出甲的速度，也没有给出乙的速度，给解题增加了难度，可以借助线段图来分析。第一次相遇时，甲乙合走了一个全程，甲行了80千米。从第一次相遇到第二次相遇，甲乙又合走了两个全程。合走一个全程，甲行了80千米，所以到第二次相遇时，甲共行了80×3=240千米。〔也就是一个全程多60千米〕。解：80×3－60=180〔千米〕在距甲站32千米处相遇。相遇后两车继续行驶，各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64千米处相遇。甲乙两站次相遇合走了一个全程，这时A车走了32千米。从第一次相遇到第二次相遇，两车又合走了2个全程。A车又应该行了32×2=64千米。所以从出发到第二次相遇，A车行了96千米。A车如果再走64千米就会回到甲站，刚好是两个全程。解：〔32×3＋64〕÷2=80〔千米〕行90千米，慢车每小时行40千米。两车不断往返于甲乙两地，当第三次相遇后，快车又行了360千米与慢车相遇。甲乙两地相距多少千程。这时快车行了360千米，因此合行一个全程快车应该走了360÷2=180千米。所用时间为180÷90=2小时。知道了行一个全程的相遇时间，就可以求出甲、乙两地之间的路程了。解：360÷2÷90=2〔小时〕〔90＋40〕×2=260〔千米〕点为C。由题意可知从A到D用6分钟。从A到C用26分钟，因此，甲走D到C之间的路程时，所用的时间为20分钟。乙在26分钟和6解：50