北大天津高考数学试卷

北大天津高考数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，则该函数的图像是：

A.抛物线向上开口

B.抛物线向下开口

C.直线

D.双曲线

2.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点$B$的坐标是：

A.$(1,4)$

B.$(3,2)$

C.$(4,1)$

D.$(5,0)$

3.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}$等于：

A.19

B.20

C.21

D.22

4.在三角形ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，则余弦定理是：

A.$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$

B.$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$

C.$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$

D.$a^2=b^2+c^2-2ab\cosB$

5.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则该函数的定义域是：

A.$x>0$

B.$x<0$

C.$x\neq0$

D.$x\geq0$

6.在平面直角坐标系中，点P的坐标为$(3,4)$，点Q在直线$x+y=7$上，且PQ的长度为5，则点Q的坐标是：

A.$(2,5)$

B.$(4,3)$

C.$(5,2)$

D.$(3,6)$

7.已知等比数列$\{b_n\}$的首项$b_1=2$，公比$q=3$，则第6项$b_6$等于：

A.162

B.243

C.729

D.2187

8.在直角坐标系中，点A的坐标为$(1,2)$，点B在直线$y=2x+1$上，且AB的长度为3，则点B的坐标是：

A.$(1,5)$

B.$(2,3)$

C.$(3,2)$

D.$(4,5)$

9.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，则该函数的图像是：

A.抛物线

B.双曲线

C.直线

D.三次函数

10.在三角形ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，则正弦定理是：

A.$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$

B.$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\cosC}$

C.$\frac{a}{\cosA}=\frac{b}{\cosB}=\frac{c}{\cosC}$

D.$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\cosB}=\frac{c}{\sinC}$

二、判断题

1.在等差数列中，任意两项的和等于这两项的算术平均数乘以项数。（）

2.函数$f(x)=x^3$在定义域内是单调递增的。（）

3.在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边上的高的和。（）

4.等比数列的公比可以是负数。（）

5.在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中A、B、C为直线的系数。（）

三、填空题

1.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$的表达式为______。

2.函数$f(x)=\sqrt{x}$在______（填区间）内是连续的。

3.在直角坐标系中，点$(2,3)$关于原点的对称点是______。

4.若等比数列$\{b_n\}$的首项为$b_1$，公比为$q$，则该数列的前$n$项和$S_n$的表达式为______。

5.若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边的长度是______。

四、简答题

1.简述二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。

2.请解释什么是三角函数的周期性，并举例说明正弦函数和余弦函数的周期。

3.简要说明如何利用解析几何中的点到直线的距离公式计算点到直线的距离。

4.解释等差数列和等比数列的定义，并给出一个例子，说明如何计算等差数列和等比数列的第$n$项。

5.在平面直角坐标系中，如何利用坐标来表示一条直线？请给出直线的一般方程形式，并解释其中的系数如何影响直线的斜率和截距。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^2-4x+4$的零点，并确定函数图像的开口方向和顶点坐标。

2.已知直角三角形的两直角边长分别为6和8，求斜边的长度，并写出对应的勾股定理表达式。

3.计算等差数列$\{a_n\}$的前10项和，其中首项$a_1=3$，公差$d=2$。

4.解方程组$\begin{cases}2x-3y=8\\x+4y=-1\end{cases}$，找出$x$和$y$的值。

5.已知点$A(1,2)$和点$B(3,4)$，求线段$AB$的长度，并写出该线段所在直线的方程。

六、案例分析题

1.案例背景：某学校计划在校园内修建一条长为100米的小径，小径的一端在校园的东边，另一端在校园的北边。学校希望小径的宽度为2米，且小径的形状为一个等腰直角三角形。

案例分析：

（1）请计算等腰直角三角形的腰长。

（2）若小径的造价为每平方米50元，请计算修建这条小径的总造价。

（3）假设学校希望在校园内再修建一条与之平行的小径，且这条小径与第一条小径相距10米。请计算第二条小径的长度。

2.案例背景：某班级的学生在进行一次数学测验后，得到了以下成绩分布：成绩在90-100分的有5人，80-89分的有10人，70-79分的有15人，60-69分的有10人，60分以下的有5人。班级共有50名学生参加测验。

案例分析：

（1）请计算该班级的平均分。

（2）请计算该班级的成绩标准差。

（3）假设班级希望提高整体成绩，计划在接下来的学习中对学生进行额外的辅导。如果辅导后，班级的平均分提高了2分，请分析这种变化可能对成绩分布产生的影响。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批零件，已知生产第一件零件需要10分钟，之后每生产一件零件所需时间比前一件增加2分钟。如果工厂希望在一个小时内完成这批零件的生产，请问至少需要生产多少件零件？

2.应用题：一个正方形的边长为8厘米，如果将其边长扩大到原来的两倍，请问新正方形的面积是原来正方形面积的多少倍？

3.应用题：小明从家出发去图书馆，他可以选择步行或者骑自行车。步行的速度是每小时4公里，骑自行车的速度是每小时12公里。图书馆距离小明家8公里。如果小明从家出发到图书馆需要40分钟，请问他是步行还是骑自行车去的？

4.应用题：一个班级有学生40人，其中男女生人数比为2:3。如果从这个班级中随机抽取一名学生，请问抽到女生的概率是多少？如果再从这个班级中随机抽取两名学生，抽到两名女生的概率是多少？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A.抛物线向上开口

2.C.$(4,1)$

3.A.19

4.A.$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$

5.C.$x\neq0$

6.C.$(5,2)$

7.A.162

8.C.$(3,2)$

9.D.三次函数

10.A.$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$

二、判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题

1.$a_n=a_1+(n-1)d$

2.$x>0$或$x<0$

3.$(-2,-3)$

4.$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

5.5

四、简答题

1.二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像特征包括：

-开口方向：当$a>0$时，图像开口向上；当$a<0$时，图像开口向下。

-顶点坐标：顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$。

-对称轴：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。

2.三角函数的周期性指的是函数图像的重复性。对于正弦函数和余弦函数，它们的周期是$2\pi$，这意味着函数图像每隔$2\pi$的长度就会重复一次。

3.点到直线的距离公式$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中A、B、C为直线的系数，x和y为点的坐标。

4.等差数列的定义是：数列中任意两项之差为常数。等比数列的定义是：数列中任意两项之比为常数。例如，等差数列1,4,7,10...的第$n$项为$a_n=1+(n-1)3$。

5.在平面直角坐标系中，直线的一般方程形式为$Ax+By+C=0$。系数A和B决定了直线的斜率和截距。当A和B都不为0时，斜率$k=-\frac{A}{B}$，截距$b=-\frac{C}{B}$。

五、计算题

1.解：设需要生产的零件数为n，则总时间为$10+12+14+...+(10+2(n-1))$。由等差数列求和公式得：

$T=\frac{n}{2}(2\cdot10+(n-1)2)=100$。

解得$n=15$。

答案：至少需要生产15件零件。

2.解：原正方形面积为$8\times8=64$平方厘米，新正方形面积为$16\times16=256$平方厘米。新面积是原面积的$256\div64=4$倍。

答案：新正方形的面积是原来正方形面积的4倍。

3.解：步行40分钟可以走$40\div60\times4=\frac{4}{3}$公里，小于8公里，所以小明骑自行车去的。

答案：小明骑自行车去的。

4.解：女生人数为$40\times\frac{3}{2+3}=24$人，男生人数为$40-24=16$人。抽到女生的概率为$\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$。抽到两名女生的概率为$\frac{24\times23}{40\times39}=\frac{23}{65}$。

答案：抽到女生的概率为$\frac{3}{5}$，抽到两名女生的概率为$\frac{23}