2023届高考数学特训营第1节-任意角、弧度制及三角函数的概念

第四单元第1节任意角、弧度制及三角函数的概念2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1.象限角与终边相同的角

数学抽象数学运算逻辑推理2.扇形的弧长及面积公式的应用3.三角函数的定义及其应用0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练1．角的概念的推广(1)按旋转方向分逆时针顺时针没有做任何(2)按角的终边位置分象限角坐标轴(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________________．[注意]

(1)相等的角的终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．象限角的集合3．轴线角的集合[注意]

已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．

半径长|α|r

yx

[思考]

如何来记忆三角函数值符号，你能否编个记忆口诀来记忆呢？点拨：三角函数值符号的记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．[注意]

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．

1．[概念辨析]三角函数的一些概念区别(1)象限角与轴线角的区别角区别象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角轴线角若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限(2)角度制与弧度制的区别(3)象限角、锐角、小于90°的角的区别象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；锐角是小于90°的正角．第一象限角可以是360°到450°之间的角，也可以是－360°到－270°之间的角．2．[思想方法]四种角的终边关系转化(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.3．[思想方法]讨论思想1．求nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)两边同乘n；(3)对k进行讨论，得到nθ(n∈N*)所在的象限．[注意]

注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．

答案：一或三1．[易错诊断]若sinα<0，且tanα>0，则α是(

)A．第一象限角

B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：由sinα<0知α的终边在第三或第四象限或y轴的非正半轴上；由tanα>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.C【易错点拨】三角函数符号记忆不准导致错误，要熟练记住口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

C3.[模拟演练](2022·辽宁省模拟)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面(图中扇环)部分的面积是(

)A．50πcm2 B．100πcm2C．150πcm2 D．200πcm2B

02能力特训特训点1特训点2特训点3

特训点1象限角与终边相同的角【自主冲关类】BCD

C3．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(

)A．cos2α＞0 B．cos2α＜0C．sin2α＞0 D．sin2α＜0D∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z.∴角2α的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，∴sin2α<0，cos2α可正、可负、可为零．[锦囊·妙法]1．终边在某直线上角的求法4步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，2π]内的角；③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；④求并集化简集合．2．判断象限角的2种方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k•360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

[解题指导]根据所给的数据→代入求扇形的面积公式→求出结果．特训点2扇形的弧长及面积公式的应用【师生共研类】

◎思维发散◎1．(变结论)若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．2．(变条件)若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：由已知得l＋2R＝20，即l＝20－2R(0<R<10)，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.破解有关弧长及扇形面积问题(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)除利用二次函数的最值问题，利用配方法解得最值问题外，还可以结合基本不等式处理最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

B

D

考向1三角函数的定义典例2

(1)(2022·永州祁阳二模)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(

)A．(2cosθ，sinθ)B．(－2cosθ，2sinθ)C．(－2cosθ，－2sinθ)D．(2cosθ，－2sinθ)特训点3三角函数的定义及其应用【多维考向类】C解析：由任意角的三角函数定义,可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cosθ，2sinθ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cosθ，－2sinθ)．

A

三角函数定义的应用策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程(注意分为两条射线)，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．考向2三角函数值符号的判定典例3

(1)(2022·北师