高中数学讲义（人教B版2019必修三）第04讲722单位圆与三角函数线

7.2.2单位圆与三角函数线TOC\o"13"\h\u题型1三角函数线的画法 2题型2三角函数线在比较大小中的应用 7题型3三角函数线解决取值（范围)问题 14知识点一.正弦线与余弦线1.一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2+y²=1的点组成的集合称为单位圆·2.过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，当OM的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα=|OM|,当OM的方向方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα=|OM|,则OM知识点二.正切线定义：设角α的终边与直线x=1交于点T，则AT可以直观地表示tanα，因此AT称为角α的正切线.当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x=1没有交点，但终边的反向延长线与x=1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值.正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线.题型1三角函数线的画法【方法总结】三角函数线的画法（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.（2）作正切线时，应从A（1，0）点引x轴的垂线，交α的终边（α为第一或第四象限角）或α终边的反向延长线（α为第二或第三象限角）于点T，即可得到正切线AT.【例题1】（2022·高一课时练习）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角α的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角α的终边于T，则角α的正弦线､余弦线､正切线分别是（

）A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，ATC．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT【答案】D【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角α的正弦线､余弦线､正切线.【详解】由题图知：圆O为单位圆，则OA=且tanα故角α的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT.故选：D【变式11】1．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：(1)π3(2)5π(3)5π(4)−π【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【分析】作出单位圆，角的终边与单位圆交于P，过P作PM⊥x轴，交x轴于M，角的终边或终边的反向延长线交过A(1,0)且平行于y轴的直线交于点T，则MP是正弦线，OM（1）解：π3的终边与单位圆交于点P，与过A(1,0)且平行于y轴的直线交于点T，过P作PM⊥x轴，交则MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．（2）解：5π6的终边与单位圆交于点P，5π6的终边的反向延长线与过A(1,0)过P作PM⊥x轴，交x轴于则MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．（3）5π3的终边与单位圆交于点P，5π3的终边与过A(1,0)过P作PM⊥x轴，交x轴于则MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．（4）−π4的终边与单位圆交于点P，与过A(1,0)且平行于y过P作PM⊥x轴，交x轴于则MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．【变式11】2．（2022·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．(1)π4(2)2π(3)7π(4)−π【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】直接利用定义分别作出正弦线、余弦线和正切线即可.(1)解：如图所示，正弦线为有向线段MP，余弦线为有向线段OM，正切线为有向线段AT；(2)解：如图所示，正弦线为有向线段MP，余弦线为有向线段OM，正切线为有向线段AT；(3)解：如图所示，正弦线为有向线段MP，余弦线为有向线段OM，正切线为有向线段AT；(4)解：如图所示，正弦线为有向线段MP，余弦线为有向线段OM，正切线为有向线段AT.【变式11】3．（2020·全国·高一假期作业）下列说法不正确的是A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D．余弦线和正切线的始点都是原点【答案】D【解析】利用三角函数线对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】根据三角函数线的概念，A，B，C都是正确的，只有D不正确；因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上．故选D【点睛】本题主要考查三角函数线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.【变式11】4．（多选）（2022·高一课时练习）[多选题]给出下列四个命题，其中正确的有（

）A．α一定时，单位圆中的正弦线一定B．单位圆中，有相同正弦线的角相等C．α和α+D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上【答案】AD【分析】利用正弦线的定义及正切线的定义即可判断.【详解】由正弦线定义可知当α一定时，单位圆中的正弦线一定，故A正确；π6与5π6由正切线的定义可知，当α=π2时，α具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上，故D正确．故选：AD．题型2三角函数线在比较大小中的应用【例题2】（2022·高一课时练习）下面四个选项中大小关系正确的是（

）A．sinπ5<sinC．cosπ5<cos【答案】B【分析】在单位圆中分别做出角π5和4π【详解】如图，在单位圆中作出角π5角4π5的正弦线D′P′、余弦线由于π5=π−4π5，因此由图可得sinπ5=sintanπ5∴sinπ故选：B【变式21】1．（2021·全国·高一专题练习）若−3π4A．sinα<tanαC．cosα<sinα【答案】D【分析】在单位圆中，作出(−3π4,−π2)内的一个角α【详解】如图，在单位圆中，作出(−3π4,−π2)内的一个角α由图知，|OM|<|MP|<|AT|，又OM,MP分别与所以sinα故选：D【变式21】2．（2020·高一课时练习）设a=sin5π12，A．a<b<C．b<c<【答案】D【解析】作出5π【详解】设5π12的终边与单位圆相交于点根据三角函数线的定义可知a=MP=sin5π显然AT>所以b<故选：D【变式21】3．若－3π4＜α＜－A．sinα＜tanα＜cosα B．cosα＜sinα＜tanαC．sinα＜cosα＜tanα D．tanα＜sinα＜cosα【答案】C【分析】在单位圆中画出三角函数线，观察三角函数线可得结果.【详解】如图所示作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－3π4＜α＜－π2，所以OM，MP均为负值，且OM故选：C【点睛】本题考查利用三角函数线比较同角三角函数的大小，熟悉各象限的符号和三角函数线是解题的关键，属于基础题.【变式21】4．(多选)（2022·高一课时练习）[多选题]已知sinαA．若α，β是第一象限角，则cosB．若α，β是第二象限角，则tanC．若α，β是第三象限角，则cosD．若α，β是第四象限角，则tan【答案】BD【分析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.【详解】设P1x1,y1，P2x2,y2分别为单位圆与角若α，β是第一象限角，如图，由sinα>sinβ，可得y1>若α，β是第二象限角，如图，tanα=AT1，tan若α，β是第三象限角，如图，由sinα>sinβ，可得y1>若α，β是第四象限角，如图，tanα=AT1，tan故选：BD．【变式21】5．（2021·高一课时练习）用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结果是______.（用“>”连接）【答案】sin1>cos1##cos1<sin1【分析】画出图形运用三角函数数线的定义，直角三角形结合大小判断即可．【详解】解：∵π4∴Rt△根据三角函数线的定义得出：OM=cos1，AM∴sin1>cos1．故答案为：sin1>cos1.【变式21】6．（2020·高一课时练习）设a=sin5π7，b【答案】b【分析】利用单位圆作出三角函数线，利用5π7和2π7的终边关于y轴对称，以及【详解】如图，在单位圆O中分别作出角5π7的正弦线M1P1，角27由5π7=π−2π又π4易知AT>∴cos2π故b<故答案为：b【点睛】本题考查三角函数线的简单应用，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.【变式21】7．（2022·高一课时练习）设MP，OM和AT分别是角13π18A．MP<AT<C．AT<MP<0【答案】B【分析】根据题意在单位圆中作出角13π18【详解】根据题意在单位圆中作出角13π18由图可知sin13π18∵∠AOT=5π∴tan13π18=故选：B题型3三角函数线解决取值（范围)问题【例题3】（2021·高一课时练习）利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合：（1）sinα（2）cosα（3）tanα【答案】（1）α|α=2kπ+π6或α【分析】（1）根据正弦线作图求解即可；（2）根据余弦线作图求解即可；（3）根据正切线作图求解即可.【详解】解（1）作出如图所示的图形，则根据图形可得α|α=2（2）作出如图所示的图形，则根据图形可得α|α=2（3）作出如图所示的图形，则根据图形可得αα【变式31】1．（2023·高一课时练习）在(0,2π)上，利用单位圆，得到cosx>sinxA．π4,π3 B．5π4,【答案】C【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断即可.【详解】如图所示，在单位圆中，设∠AOM=x，则AM=sinx由图形可得在第一象限sinx,cosx,tanx均大于0，TN>AM在第一象限恒成立，即tanx>sinx在第一象限恒成立，以π4为分界线，当0<x<由图形可得在第二象限sinx大于0，cosx,tan由图形可得在第三象限sinx,cosx小于0，tan有图形可得在第四象限cosx大于0，sin,tanx小于0，且TN>AM恒成立，即sinx>tanx综上cosx>sinx>tanx故选：C【变式31】2．已知α∈0,π【答案】(1,【分析】利用三角函数的定义、三角函数线及基本不等式即得.【详解】如图，作出单位圆中的三角函数线，则有cosα=OM，sin在Rt△OPM中，OM∴sinα又OM2∴OM+MP2当且仅当OM=∴1<sinα故答案为：(1,2【变式31】3．（2021·高一课时练习）若θ∈3π【答案】−1,【分析】由正弦线来求θ∈【详解】由下图可知sin3π4=22，故答案为：−1,【变式31】4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，AB､CD､EF､GH分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若sinα<cosαA．AB B．CD C．EF D．GH【答案】C【分析】逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.【详解】由下图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段HT为正切线.A选项：当点P在AB上时，cosα∴cosαB选项：当点P在CD上时，cosα=x∴tanαC选项：当点P在EF上时，cosα=x∴sinαD选项：点P在GH上，tanα故选：C.【变式31】5．不等式cosx>1【答案】−【分析】利用余弦函数的定义及三角函数线即得.【详解】如图所示，由于cosπ所以在−π,π上cos故答案为：−【变式31】6．（2020·高一课时练习）函数y＝的定义域为________．【答案】(k∈Z)【分析】解不等式2cosx－1≥0即得函数的定义域.【详解】∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x∈(