解析几何第四版吕林根课后习题答案

第三章平面与空间直线

§平面的方程

1.求卜列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

(1)通过点M1(3,1,1)和点M2(1,1,0)且平行于矢量{1,0,2}的平面(2)通过点M1(1,5,1)和

M2(3,2,2)且垂直于xoy坐标面的平面；

(3)己知四点A(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，

并求通过宜线AB且与ABC平面垂直的平面。

解：⑴MIM2{2,2,1},乂矢量{1,0,2}平行于所求平面，

故所求的平面方程为：

一般方程为：4x3y2z70

(2)由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又

MiM2{2,7,3},平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：

一般方程为：7(x1)2(y5)0,即7x2y170。

(3)(i)设平面通过直线AB,且平行于直线CD：

AB{4,5,1}.CD{1,0,2}

从而的参数方程为：

一股方程为：10x9y5z740.

(ii)设平面通过直线AB,且垂直于ABC所在的平面

AB{4,5,1},ABAC{4,5,1}{0,1,1}{4,4,4}4{1,1,1)

均与平行，所以的参数式方程为：

一般方程为：2xy3z20.

2.化一般方程为截距式与参数式：

:x2yz40.

解：与三个坐标轴的交点为：(4,0,0),(02,0),(0,0,4).

xyz

所以，它的截距式方程为：一一-1.

424

又与所给平面方程平行的矢量为:{4,2,0},{4,0,4},

所求平面的参数式方程为:

3.证明矢量v{X,Y,Z}平行与平面AxByCzD0的充要条件为：AXBYCZ0.

证明：不妨设A0,

则平面AxByCzD。的参数式方程为：

BC

故其方位矢量为：{—，1Q}，{—，0,1}.

AA

从而v平行于平面AxByCzD0的充要条件为：

gc

v,{—,1,0},{—,0,1}共面

AA

AXBYCZ0.

4.已知连接两点A(3,10,5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x4yz10,求B点的z坐标.

解：AB{3,2,5z}

而AB平行于7x4yz10

由题3知：(3)724(z5)0

从而z18.

5.求下列平面的一般方程.

⑴通过点12,1,1和23,2,1且分别平行于三坐标轴的三个平面；

⑵过点3,2,4且在X轴和y轴上截距分别为2和3的平面；

⑶与平面5xy2z3。垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面；

1

1

⑷已知两点13,1,2,24,2,，求通过1且垂直于2的平面；

⑸原点在所求平面上的正射影为2,9,6;

⑹求过点13,5,1和24,1,2且垂直于平面x8y3z10的平面.

2y1z1

解：平行于X轴的平面方程为1100.即z10.

100

同理可知平行于y轴，z轴的平面的方程分别为z10,x/10.

Xyz24

⑵设该平面的微距式方程为一--1,把点3,2,4代入得c

23c19

故一般方程为12x8y19z240.

⑶若所求平面经过X轴，则0,0,0为平面内一个点，

5,1,2和1,0,0为所求平面的方位矢量，

x0y0z0

...点法式方程为5120

100

•••一般方・程为2yz0.

同理经过y轴，z轴的平面的一般方程分别为2x5z0,x5y0.

(4)

121,1,3.12垂直于平面

.•.该平面的法向量n1,1,3,平面通过点13,1,2,

因此平面的点位式方程为x3y13z20.

化筒得xy3z20.

⑸op2,9,6.

29

...cos一cos_,COS_6

111111

b

则该平面的法式方程为：-2x-3y-z110.

111111

既2x9y6z1210.

(6)平面x8y3z10的法向量为n1,8,3,M1M21,6,1，点从4,1,2

x4y1z

83

写出平面的点位式方程为1830,则A26,

6h

161

3113

B2,C14,D26422874，

1111

则一般方程AxByCzD0,即：13xy7z370.

6.将下列平面的一般方程化为法式方程。

解：D3.

将已知的一股方程乘上-1■.得法式方程_x_号邑_5z__3_0.

、30<30V'30v30<30

2D1.手.将已知的一股方程乘上.得法式方程

_l_x_Ly-J_0.

五\2v2

3.D2.1.将已知的一般方程乘上1.得法式方程X20.

4.D0.一•即J或1

999

[.得法式方程为4X4yZ.Z0或

将已知的一般方程乘上4或

99999

447

—x-y—z0.

999

7.求自坐标原点自以卜各平面所弓垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。

1

解：1.D35.一•化为法式方程为2X_3yZ50原点指向平面的单位法矢曾为

7777

236236

u一，一，一，它的方向余弦为cos—,cos一，cos一.原点0到平面的距离为

777777

PD5.

1

2.D21.一.化为法式方程为・1X.2y.2z70原点指向平面的单位法矢量为

3333

122

n0-1/,2，它的方向余弦为cos_,COS_,cos_.原点0到平面的距离

333333

pD7.

第20页

8.已知三角形顶点A0,7,0,B2,1,1,C2,2,2.求平行于VABC所在的平面且与她相距为2

各单位的平面方程.

uuurruuurrr

解：设ABa,ACb.点A0,7,0.则a2,6,1,b2,9,2写出平面的点位式方程

xy7z

2610

292

设一般方程AxByCzD0.A3.B2,C6,D140.

1

则一.pD2.

7

相距为2个单位。则当p4时D28.当p。时D0.

所求平面为3x2y6z280.和3x2y6z0.

9.求与原点距离为6个单位，11在三坐标轴ox,oy与oz上的截距之比为a:b:C1:3:2的平面。

解：设ax,b3x,c2x.Qabc0.设平面的截距方程为--1.

abc

即bcxacyabzabc.

dAIabcl

又Q原点到此平面的距离6.

b123c2a2c2a2b2x?

yz

所求方程为x工一7

32

xyz

10.平面一一1分别与三个坐标轴交于点A,B,C.求VABC的面积。

abc

uuuruuur

解A(a,0,0).B(0,b,0),C(0,0,c)ABa,b,0,ACa,0,c.

uuuruuuruuuruuur.------------------------

ABACbe,ca,ab；ABAC^b2c2c2a2a2b2.

SVABC=4-也2c2c2a2a2b2

2

11.设从坐标原点到平面的距离为.求证

p2a2b2C2

§平面与点的相关位置

1.计算下列点和平面间的离差和距高：

(1)M(2,4,3),:2xy2z30：

(2)M(1,2,3),:5x3yz40.

解：将的方程法式化，得：

2x4y2z10,

333

2121

故离差为：(M)(-)(2)-4_31",

3333

1

M到的距离d(M).

3

(2)类似(1),可求得

5634

、35v35<35<35

M到的距离d(M|)0.

2.求下列各点的坐标:

(1)在y轴上且到平面22y2z20的距离等于4个皂位的点:

(2)在z轴上且到点M(1,2,0)与到平面3x2y6z90距离相等的点:

(3)在x轴上且到平面12X16y15z10和2x2yz1。距离相等的点。

解：(1)设要求的点为M(0,yo,0)则由题意

yo16yo5或7.

即所求的点为(0.-5,0)及(0,7,0),

(2)设所求的点为(0,0,Z0)则由题意知：

由此，

Z02或-82/13.

82

故，要求的点为(0,0,2)及(0,0,——).

(3)设所求的点为(X0,0,0),由题意知：

由此解得：X02或11/43。

所求点即(2,0,0)及(11/43,0,0).

3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(2,11,5),C(1,1,4),计算从顶点S向底面ABC所

引的高。

解：地面ABC的方程为：

1624P

所以，高h~3o

4.求中心在C(3,5,2)且与平面2xy3z110相切的球面方程。

解：球面的半径为C到平面：2xy3z110的距离，它为:

|235611|28一

R—不一而234.

所以，要求的球面的方程为：

(x3)2(y5)2(z2)256.

即：X?y2z26x10y4z180.

5.求通过x轴其与点M5,4,13相距8个单位的平面方程。

解：设通过x轴的平面为ByCz0.它与点M5,4,13相距8个单位，从而

14B13d8.

48B2104BC105C20.因此12B35C4B3C0.

VB2C2

从而得12B35C0或4B3C0.于是有B:C35:12或B:C3:4.

所求平面为35y12z0或3y4z0.

6.求与下列各对平面距离相等的点的轨迹.

(1)3x6y2z70和4x3y50;

⑵9xy2z140和9xy2z60.

解：⑴/136y2Z70

7,

令13x6y2z724x

3y5

75

化简整理可得：13x51y10z0与43x9y10z700.

■DiD2146

⑵对应项系数相同，可求D4，从而直接写出所求的方

22

程：9xy2z40.

9判别点M(2-11)和N(12-3)在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二

而角内，或是在对顶的二面角内？

(1)

i：3xy2z30与2：x2yz40

(2)

1：2xy5z1。与2：3x2y6z10

61230

解：(1)将),N(12-3)代入1,得:

32630

则M,N在1的异侧

221470

再代入2,得：

143440

MN在2的同恻

MN在相邻二面角内

415190

(2)将M(2-11)N(12-3）代入1.得：

2215180

则MN在1的异侧.

6621130

再代入2,得:

34181200

则MN在2的异侧

MN在对顶的二面角内

10试求由平面1：2xy2z30与2：3x2y6z10所成的二面角的角平分方程，在

此二面角内有点（1,2,-3）

解：设p（xyz）为二面角的角平分面上的点，点p到12的距离相等

2xv2z3x2y6z1/简得5x32z190（1）

2V3222621

/"N23x，4z240（2）

把点P代入到12上，1020

18

在（1）上取点（一00）代入12,1020。

5

在（2）上取点（00-6）代入020

（2）为所求，解平面的方程为：3xy4zI0

两平面的相关位置

1.判别下列各对直线的相关位置：

XV

(1)x2y4z1o与一-z30：

42

(2)2xy2z50与x3yz10；

9

(3)6x2y4z50与9x3y6z-?0.

解：(1)1:2:(4)」：_：(1)，（1）中的两平面平行（不重合）：

42

(2)2:(1):(2)1:3:(1).（2）中两平面和交：

(3)6:2:(4)9:3:(6),<3）中两平面平行：不重合）。

2.分别在下列条件下确定l,m,n的值:

(1)使(I3)x(m1)y3)z8。和(m3)x(n9)y(I3)z160表示同一平

面；

(2)使2xmy3z5。与lx6y6z20衣示二平行平面;

(3)使lxy3z10与7x2yz。表示二互相垂直的平面。

解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，贝iJ：

即：

71337

从而：IJ.m—.n-

999°

（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：

所以：I4,m31,

（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：

1

所以：I—。

7

3.求下列两平行平面间的距离：

（1）19x4y8z210.19x4y8z420：

（2）3x6y2z70,3x6y2z140o

解：（1）将所给的方程化为：

所以两平面间的距离为：2-1=1,

（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。

4.求下列各组平面所成的角：

（1）xy110,3x80：

（2）2x3y6z120.x2y2z70.

解：（1）设1：xy110,2：3x80

3

（1.2）一或一0

44

(2)设1：2x3y6z120,2：x2y2z70

(1.2)COS〔f或(I)cos

2121

5.求下列平面的方程：

(1)通过点M10,0,1和M23,0,0且与坐标面xOy成60°常的平面；

(2)过z轴且与平面2xyy]5z7。成60°知的平面.

xyz

解(i)设所求平面的方程为—一

3b

1_0101

乂xoy面的方程为z=0,所以COS603h4.

222

JL1仔

\3b

3xy

解得b--，，所求平面的方程为---------------Z1,

、203

即x26y3z30

(2)设所求平面的方程为AxBy0;则cos60——4Ap1

'A2B2V4152

,E

3A2?8AB3B20,A-或A3B

3

所求平面的方程为x3y0或3xV0.

§空间直线的方程

1.求下列各直线的方程:

(1)通过点A(3,0,1)和点B(2,5,1)的直线;

(2)通过点M0(xo,yo,Z0)且平行于两相交平面i：

(i1,2)的直线:

(3)通过点M(15,3)且与X,y,z三轴分别成60,45,120的直线：

Z1

(4)通过点M(1,0,2)且与两直线_JU_1L和K_y_1------垂直的直线:

111110

(5)通过点M(2,3,5)且与平面6x3y5z20垂直的直线。

解：(1)由本节(一6)式，得所求的直线方程为：

x3_

即；.....-yz1,亦即x-------3_y_n1。

550110

(2)欲求直线的方向矢量为:

XXozZo

所以，直线方程为:yyo

~~C?ClAl^B7

32C2C2A2A2B2

1,^2,4,

(3)欲求的直线的方向矢量为：cos60,cos45,cos120

222

故直线方程为：*一1y__52.一3。

161

(4)欲求直线的方向矢量为：1,1,11,1,01,1,2,

所以，直线方程为：

x_1xz_2a

112

(5)欲求的直线的方向矢量为：6,3,5,

所以直线方程为:

x_2y_3_z_5.

635

2.求以卜洛点的坐标:

y878上与原点相距25个单位的点;

(1)在直线X_1

213

xy4z120

(2)关干育线与点P(2,0,1)对称的点。

2xy2z30

解：(1)设所求的点为M(x,y,z),则:

又x2y2z2252

即：(12t产(8t)2(83t)2252,

解得：t4或经

7

所以要求的点的坐标为：(9,12,20),(447,6,130),

777

(2)已知直线的方向矢量为:1,1,42,1,26,6,3,或为2,2,1,

过P垂直与已知直线的平面为：2(x2)2y(z1)0,

即2x2yz30,

该平面与已知直线的交点为(1.1,3),所以若令P(x,y,z)为P的对称点，贝人

2xQy1z

1--------,13

222

x0,y2,z7

即P(0,2,7),

3.求下列各平面的方程：

Z2,

(1)通过点p(2,0,1),且又通过直线x1_y的平面；

213

(2)通过直线-X-2y3且与直线

151

平行的平面：

y2Z2且与平面3x2yz50垂直的平面;

(3)通过直线XJL

232

5x8y3z90

(4)通过直线向三坐标面所引的三个射影平面。

2x4yz10

解：(i)因为所求的平面过点p(2,0,1"np(1,0,2),且它平行于矢量2,1,3,所以要求的平面

方程为:

即x5yz10.

(2)已知直线的方向矢量为2,1,11,2,11,3,5,

平面方程为：

即11x2yz150

(3)要求平面的法矢量为23,23,2,11,8,13,

平面的方程为：(x1)8(y2)13(z2)0,

即x8y13z90,

5x8y3z90

(4)由己知方程

2x4yz10

分别消去x,y,z得至ij：

36y11z230,9xz7011x4y60

此即为三个射影平面的方程.

4.化下列直线的一股方程为射影式方程与标准方程,并求出直线的方向余弦:

2xyz10xz60

(1)(2)

3xy2z302x4yz60

xyz0

x2

1221

解：(1)直线的方向数为:(3):1:(5)

32

x—z—

射影式方程为：55，

yiz—9

55

3_1

,53-51

方余弦为：―『="

EJCOS―t'cos

<35、35<35

5

15

011110

(2)己知直线的方向数为:4:3:(4),

4111224

x

射影式方程为：

y

yxz”6qD

即__

42

标准方程为：x~6

1

3

44

方向余弦为：cos------—j：^=".cos

V41U41

4

14

cos___

、41京

4

1111

(3)已知直线的方向数为：

00.0110

x2

射影式方程为：

yz2

x2y2

标准式方程为：--------------Z，

01

11

方向余弦为：cos0,cos—,cos

、2丁20

5.一线与三坐标轴间的角分别为,,.证明sin2sin2sin证：

COS2cos2cos21,1sin21sin21sin2

sin2sin2sin22.

§直线与平面的相关位置

1.判别下列立线与平面的相关位置：

(1)-x_3_y工_^与4x2y2z3；

273

(2)Y

~N与3x2y7z8：

327

5x3y2z50

(3)与4x3y7z70：

2xyz10

xt

(4)y2t9与3x4y7z100.

z9t4

解：(1)(2)4(7)(2)3⑵0,

而432(4)203170,,

所以，直线与平囿平行。

(2)332(2)1770

327

所以，宜线与平面相交，旦因为一一

327

宜线与平面垂直。

(3)直线的方向矢量为：5,3,22,1,15,9,1，

4539710,

而点M(2,5,0)在直线匕又4(2)3(5)70.

所以，直线在平面上。

(4)直线的方向矢量为1,2,9,

直线与平面相交。

X1

2.试验证直线I:——斗一1N一与平面2xyz30相交，并求出它的交点和交角。

112

解：2(1)111230

直线与平面相交。

xt

又直线的坐标式参数方程为：y1t

z12t

设交点处对应的参数为to，

to1,

从而交点为(1.0.-1)0

乂设直线I与平面的交角为，则：

12(1)1112|1

sin\-----------------------------\,

<6、62

6

3.确定I,m的值，使：

XZ

(1)直线_1y____2_与平面lx3y5z10平行;

431

x2t2

(2)直线y4t5与平面lxmy6z70垂直。

z3t1

解：(1)欲使所给直线与平面平行，则须：

即I1.

（2）欲使所给直线与平面垂直，则须:

所以：I4,m8。

AixBiyCiz00的相互位

4.决定直线和平面（AiA2）X(BiB2)y(CiC2)z置。

A2XB2yC2z0

解：在直线上任取M1(xi,yi,zi),有:

这表明M1在平面上，所以一给的直线处在己给的平面上。

222

5.设直线与三坐标平面的交角分别为,.证明cosCOScos2.

证明设直线与X.Y.Z轴的交ffj分别为，.而直线与yoz.zox.xoy面的交角依次为,，•那

-299

么，,而COS'COS‘COS,1.

222

COS2—COS2-COS2—1.

222

从而有cos2cos2cos22.

6.求下列球面的方程

（1）与平面x+2y+3=0相切于点M1,1,3且半径r=3的球面；

⑵与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点M5,1,1的球

面.

X1It

3

2

解：⑴y1-t为过切点且垂直与已知平面的直线，

3

Z32t

3

123是这条立线的方向余弦.

显见

333

取t3,则得x2,y3;

取t3，则得xo.y1,z5.

232Z129,与x2y12z52

故所求球面有两个：X2V

⑵x56t,y13t,z12t为过点且垂直于两平面的直线，将其代入第二个平面方程，得

t2，反代回参数方程，得x7,y5,z3,设球之中心为C,半径为r,则

C1,2,1,r251212211249.故所求球面方程

为x12y22z1249.

空间直线的相关位置

AixBiyCizDi0

1.直线方程的系数满足什么条件才能使：

A2xB2yC2zD20

（1）直线与X轴相交；（2）直线与X轴平行；（3）直线与X轴重合。

解：<1）所给直线与X轴相交X0使

AixoD10且A2xoD20

AiDi八

0且Ai,A不全为零。

A2D2

（2）x轴与平面AixBiyCizDi0平行

又x轴与平面A2XB2yC2ZD20平行，所以

即AiA20,但直线不与x轴重合，

Di,D2不全为零。

（3）参照（2）有庆1A20,且DiD20。

2.确定值使下列两宜线相交：

（1）3xy2z60与z轴：

x4yz150

1

（2）x1y1z与x1y1z

12

解：（1）若所给直线相交，则有（类似题1）：

从而5,

<2）若所给二直线相交，则

5

从而：一。

4

3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直

线，求出它们之间的距离。

x2y2z0x2yz110

(1)与；

3x2y602xz140

x3

(2)y8z3与x3y7z6:

311324

xt

(3)y2tl与y2„

zL24175

解：(1)将所给的宜线方程化为标准式，为：

(-2)：3：4=2：(-3)：(-4)

二直线平行。

33

又点（一,0）与点（7,2,0）在二直线上，

24

3

矢量7_23,0二L1任，0平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量为:

2424

2,3,4d5-,05,22,19,

24

从而平面方程为：5（x7）22(y2)19(z0)0,

即5x22y19z90o

338736

（2）因为3112700.

324

二直线是异面的。

6151

311

324

二直线的距离：dx330.

I3,1,13,2,4I7F霍"

130

（3）因为1210,

475

但是：1：2：(-1)^4：7：(-5)

所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为1,214,7,53,1,1,

平面的方程为：3xyz3。

f,试求它们的公垂线方程。

4.给定两异面点线:x3y_N1.与X1y_2.

210101

解：因为2,1,01,0.11.2,1

公垂线方程为：

x2y5z80

即，

2x2y2z20

x2y5z80

亦即

xyz10

5.求下列各对直线间的角

(1)-x-4-y—2-z—5与x+3_g_i_

362296

3x4y2z04xy6z20

(2)与

2xy2z0y3z20

X1X2V1V2Z1Z26541272

解(1)cos

77

v936448130

arccosZ2-或arccos位.

7777

3x4y2z。的对称式方程为：土

-yz，

2xy2z010211

⑵直线4

z-

4xy6z20x3

9n的对称式方程为：2

ynuo124

98r.98

arccos----或arccos--------

195195

bbccdd

6.设d和d分别是坐标原点到点M(a,b,c)和M(a,b,c)的距离，证明当aa时，

直线MM通过原点

uuuuruuuuruuuuruuuur

证OMa,b,c,OMa,b,c,OMOMaabbcc，而当

uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur

OMOMOMOM,cos(OM,OM)dd时，必有cos(OM,OM)1,.-.OMHOM，，当

aabbccdd时，直线MM通过原点.

7.求通过点1,0,2且与平面3xy2z10平行，又与直线—x-1—y-3乙相交的直线

421

方程.

解设过点1,0.2的所求宜线为

它与已知平面3xy2z10平行，所以有3xy2z0(1)

又•；直线与已知直线相交，那么必共面.

•••又有

即7x+|8y-12z=0(2)

由(1),(2)得X：Y：Z4:50:31

而4:50:314：2