2025年沪科版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、方程lnx+x=3的解所在区间是（）

A.（0；1）

B.（1；2）

C.（2；3）

D.（3；+∞）

2、下列函数为幂函数的是（）

A.y=x2-1

B.+1

C.

D.y=-x3-

3、已知集合A={-2；-1，0，1}，B={y|y=|x|+1，x∈A}，则集合B=（）

A.{0；1，2}

B.{1；2，3}

C.{0；1，2，3}

D.{-1；0，1，2}

4、对于函数下列判断正确的是（）

A.周期为2π的奇函数。

B.周期为的奇函数。

C.周期为π的偶函数。

D.周期为2π的偶函数。

5、【题文】设满足的集合的个数为()A.0B.1C.2D.46、【题文】[2014·上海模拟]某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况7、【题文】定义域为的函数对任意都有若当时，单调递增，则当时，有（）A.B.C.D.8、若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条（）A.1条B.2条C.3条D.以上都有可能9、定义在R上的函数f(x)满足当时，当时，f(x)=x，则A.335B.338C.1678D.2012评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、（2002•温州校级自主招生）如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，∠A=31°，△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，时C点恰落在A′C′上，且A′B与AC交于D点，那么∠BDC=____．11、已知集合则．12、【题文】在一个球内有一个内接长方体（长方体的各顶点均在球面上），且该长方体的长、宽、高分别为4、则这个球的表面积为____13、【题文】已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，xR}，B＝{x|x＜1，xR}，则(∁UA)∩B＝____．14、已知数列{an}2鈭�612鈭�2030鈭�42.

写出该数列的一个通项公式：______．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)15、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．17、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．19、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．21、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．22、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、解答题(共3题，共18分)24、【题文】已知函数

（1）求函数f(x)的定义域；

（2）判断其奇偶性25、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）．（）的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若且α∈（0，π），求tanα的值．26、求函数y=tan（3x-）的定义域、值域，指出它的周期性、单调性．评卷人得分五、作图题(共4题，共28分)27、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．28、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．29、作出下列函数图象：y=30、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分六、综合题(共1题，共2分)31、如图，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，D为顶点．

（1）D点坐标为（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判断△BCD的形状．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标，并对其中一种情形说明理由；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】

设f（x）=lnx+x-3；可知函数在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数至多有一个零点．

∵f（2）=ln2+2-3=ln2-1＜0；f（3）=ln3+3-3=ln3＞0，∴f（2）f（3）＜0；

由函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间（2；3）内存在零点，再由单调性可知，有且只有一个零点．

故选C．

【解析】【答案】先判断函数f（x）=lnx+x-3的单调性；再利用函数零点的判定定理即可得出．

2、C【分析】

根据幂函数的定义可知：是幂函数．

故选C．

【解析】【答案】利用幂函数的定义即可判断出．

3、B【分析】

∵y=|x|+1；x∈A

∴当x=-2时；y=3，当x=-1时，y=2，当x=0时，y=1，当x=1时，y=2

∴根据集合的互异性可知B={1；2，3}

故选B．

【解析】【答案】集合B中的自变量属于集合A；把集合A中的元素代入函数求出值域，确定出集合B，注意集合的互异性．

4、A【分析】

函数的周期T===2π，再由tan（-）=-tan可得；此函数为奇函数；

故选A．

【解析】【答案】根据函数的周期T=求出周期，再由tan（-）=-tan可得此函数为奇函数．

5、C【分析】【解析】

试题分析：满足的集合C的个数为．

考点：集合与集合间的关系．【解析】【答案】Ｃ6、B【分析】【解析】设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．【解析】【答案】B7、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C8、B【分析】【解答】当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为则有一条，综上知，直线过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.9、B【分析】【分析】函数满足所以周期为6，选B。

【点评】函数满足则函数周期为T二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】【分析】由△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置时C点恰落在A′C′上，根据旋转的性质得到BC=BC′，∠C′=∠ACB，∠ABA′=∠CBC′，而∠ABC=90°，∠A=31°，所以∠ACB=90°-31°=59°，则∠CBC′=180°-2×59°=62°，得到∠ABA′=62°，利用∠BDC=∠A+∠ABA′即可得到∠BDC的度数．【解析】【解答】解：∵△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置；时C点恰落在A′C′上；

∴BC=BC′；∠C′=∠ACB，∠ABA′=∠CBC′；

而∠ABC=90°；∠A=31°；

∴∠ACB=90°-31°=59°；

∴∠CBC′=180°-2×59°=62°；

∴∠ABA′=62°；

而∠BDC=∠A+∠ABA′；

∠BDC=31°+62°=93°．

故答案为：93°．11、略

【分析】试题分析：根据并集定义，由题目给出的集合求出考点：1.集合的交集、并集、补集运算；2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意可得：则．

考点：集合的运算【解析】【答案】14、略

【分析】解：根据题意；数列{an}2鈭�612鈭�2030鈭�42

．

则a1=(鈭�1)2隆脕1隆脕2=2

a2=(鈭�1)3隆脕2隆脕3=6

a3=(鈭�1)4隆脕3隆脕4=鈭�12

归纳可得：an=(鈭�1)n+1隆脕n隆脕(n+1)=(鈭�1)n+1隆脕n?(n+1)

．

故答案为：an=(鈭�1)n+1隆脕n?(n+1)

．

根据题意；依次分析所给数列的各项，归纳规律即可得答案．

本题考查数列的表示方法，关键是分析数列的各项的变化规律．【解析】an=(鈭�1)n+1隆脕n?(n+1)

三、证明题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．17、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．21、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、解答题(共3题，共18分)24、略

【分析】【解析】（1）

（2）

是奇函数.【解析】【答案】(1)(2)奇函数25、略

【分析】

（1）根据图象求出A；ω和φ，即可求函数f（x）的解析式；

（2）根据函数解析式之间的关系即可得到结论．

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系【解析】解：（1）由题设图象知，周期T=4（）=4π；

∴ω==．

∵点（0）在函数图象上；

∴Asin（+φ）=0，即sin（+φ）=0．

又∵0＜φ＜

∴φ=．

又点（2）在函数图象上；

∴Asin=2；即A=2．

故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+）

（2）若即2sin（α+）=

可得：2cosα=即cosα=

α∈（0；π）；

∴sinα=．

则tanα==3．26、略

【分析】

由条件利用正切函数的定义域；值域、周期性和单调性；得出结论．

本题主要考查正切函数的定义域、值域、周期性和单调性，属于基础题．【解析】解：由于函数y=tan（3x-），可得3x-≠kπ+k∈z，求得x≠+k∈z；

故函数的定义域为{x|x≠+k∈z}．

由函数的图象特征可得它的值域为R，函数的周期为．

令kπ-＜3x-＜kπ+k∈z，求得-＜x＜+k∈z；

故函数的增区间为（-+），k∈z．五、作图题(共4题，共28分)27、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．28、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析