2023年江苏中考数学大题综合训练2（模拟40题：每日一练押题训练）解析版

专题25江苏中考数学大题满分训练02(最新模拟40题：每日一练押题训练)

题组一：数与式的计算、解分式方程与不等式、概率、统计、锐角三角函数的应用、四边形的简单计

算与证明、圆的有关计算与证明、反比例函数与一次函数、几何压轴题、二次函数综合题

1.(2023春•崇川区校级月考)计算:

_1

(1)计算：|1一四|一(4一兀)。+21丽60。+(—5)-2；

8x2-l

(2)先化简：L—x—3)+7j,,再从中选一个合适的整数x代入求值.

3—xX2—6%+9Q

【考点】分式的化简求值；零指数累；负整数指数幕；特殊角的三角函数值；实数的运算.

【答案】(1)3V3+2；

(2)3-x,当x=2时，原式=1.

【分析】(1)先计算零指数幕，负整数指数嘉和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即

可；

(2)先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择一个合适的值代值计算即可.

【详解】解：(1)原式=—1—1+2X+4

=V3-1-1+2V3+4

-3v+2；

8x2—l.83x—x29—3xx2-l

(2)——%—3)4-——=(~———----—―----)+)「——

3—xX2-6x4-93—%3—x3—%x2—6%+9

222

z8—3x+x-9+3%^N—1x—1(%—3)

=3^x)<(x-3)2-3-x-x2-i

=3-x,

•.•分式要有意义，

0,x2-1^0,

1且xW3,

...可以选取x=2,

当x=2时，原式=3-2=1.

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数塞，负整数指

数累，熟知相关计算法则是解题的关键.

x3

2.(2023•天宁区校级模拟)(1)解分式方程：；

yzx——1j-+^1——Z—x=2

（2）解不等式组：M线J（I）.

【考点】解分式方程；解一元一次不等式组.

1

【答案】（1）x=

（2）-2WxW3.

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方

程的解；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.

【详解】解：（1）去分母得：x-3=2（2尤-1）,

1

解得：x=

1

检验：把尤=代入得：2x-1W0,

1

分式方程的解为苫=

0、f7x+2>4（x—1）①

s1x4-3>2x②'

由①得：尤，-2,

由②得：xW3,

二不等式组的解集为-2WxW3.

【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键.

3.（2023•天宁区校级模拟）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分割成三个面积相等和两个面积相等的

扇形，转盘甲上标注的数字分别是-1,-6,8,转盘乙上标注的数字分别是-4,5.（规定：指针恰好

停留在分界线上，则重新转动一次）.

1

（1）转动转盘甲，指针指向正数的概率是孑；

（2）若同时转动两个转盘，转盘甲的指针所指向的数记为。，转盘乙的指针所指向的数记为6,求满足

a+b<0的概率.

【考点】列表法与树状图法.

1

【答案】（1）

1

（2）—.

【分析】（1）直接利用概率公式计算即可.

（2）画树状图得出所有等可能的结果数和满足的结果数，再利用概率公式可得出答案.

1

【详解】解：（1）由题意得，转动转盘甲，指针指向正数的概率是7

1

故答案为：

（2）画树状图如下：

其中满足q+6V0的结果有3种，

31

满足q+6〈0的概率为

6N

【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

4.（2023•金坛区一模）为庆祝中国共青团成立100周年，某校团委开展四项活动：/项参观学习，8项团

史宣讲，C项经典诵读，。项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动.从

全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完

各项活动意向参加人数的条形统计图各项活动意向参加人数的扇形统计图

整的统计图:

（1）本次调查的样本容量是80,3项活动所在扇形的圆心角的大小是54

（2）补全条形统计图；

（3）若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数.

【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图.

【答案】⑴80,54；

（2）见解答；

（3）800人.

【分析】（1）根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；

（2）计算条形统计图中C项活动的人数，画图即可；

（2）根据样本估计总体列式计算即可.

12

【详解】解（1）本次调查的样本容量是16・20%=80,8项活动所在扇形的圆心角的大小是360°X—

oU

=54°，

故答案为：80,54；

（2）条形统计图中C项活动的人数是80-32-12-16=20（人），

各项活动意向参加人数的条形统计图

（3）2000x--800（人），

oU

答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人.

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确地理解题意是解题的关键.

5.（2023•南京一模）如图，河流的两岸P。、互相平行，河岸P0上/、2两处间的距离为50米，为了

测量河流的宽度，某人在河岸"N的C处测得N5CN=35°,然后沿河岸走了120米到达。处，测得/

ADN=70；求河流的宽度.（结果精确到1米，参考数据：sin35°七0.57,cos35°心0.82,tan35°弋

0.70,sin70°心0.94,cos70°弋0.34,tan70°仁2.75)

pABQ

【考点】解直角三角形的应用.

【答案】180米.

【分析】过点/作//，儿W于点尸，过点8作儿W于点E,设AF=BE=x,然后根据锐角三角函数

的定义列出方程即可求出x的值.

【详解】解：过点4作/尸于点凡过点8作儿W于点E,

...四边形/8E尸是矩形，

:.AB=FE=5Q（米），AF=BE,

设AF=BE=x（米），

在Rtz\4D尸中，

AF

tan//。尸=777：,

DF

xx

DF=tan70°=2.75'

在RtA5C£中，

BE

tanN2CE=7777，

CE

x

.♦.0.7"120+—+50>

2.75

解得：X-180（米），

答：河流的宽度为180米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本

题属于中等题型.

6.（2023•天宁区校级模拟）如图，菱形N8CD的对角线NC、8。相交于点。，过点。作。E〃/C,且。£=

1

-AC,连接CE.

（1）求证：四边形OCED为矩形；

（2）连接若BD=6,AE=473,求菱形/BCD的边长.

【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质.

【答案】（1）证明见解析；

（2）5.

【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由NDOC=90°,即可得出结论;

（2）根据勾股定理和菱形的性质解答即可.

【解答】（1）证明：：四边形/BCD是菱形，

1

J.ACLBD,AO=OC^~AC,

：.ZDC>C=90°,

1

'JDE//AC,DE^-AC,

:.DE=OC,DE//OC,

四边形OCED是平行四边形，

又：NDOC=90°,

平行四边形OCE。是矩形；

（2）解：由（1）可知，平行四边形OCE。是矩形，

11

AZECA^90°,EC=OD=]BD=3,DE^OC=~AC,

由勾股定理可得，AC=<AE2-EC2=V73-9=8,

；.OC=4,

：.DC=70c2+OD2=/42+32=5,

菱形/BCD的边长=5.

【点睛】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质解答.

7.（2023•建湖县一模）如图，的半径是2届加，48是的直径，半径于点。，点E是半

径04上一点，CE交OO于点D,且PD=PE.

（1）求证：尸。是。。的切线；

1

（2）若tan//CZ）=5，求：BZ）和4c的长.

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理.

【答案】（1）证明见解析；（2）BD=8cm,AC=2410cm.

【分析】（1）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出NODC+NPDE=90°,得到半径。。，尸

即可证明尸。是。。的切线；

1

（2）由等腰直角三角形的性质即可求出4C的长，由tan5=tanN4cz）=5,令AD=xcm,应用勾股定理

求出x,即可求出5。长.

【解答】（1）证明：连接OD,

■:PD=PE,

：./PDE=/PED,

U：OD=OC,

：・/ODC=/OCD,

OCL4B,

：.ZEOC=90°,

：.ZOCD+ZOEC=90°,

：.ZODC+ZOEC=90°,

*.*/PED=/OEC,

：.ZODC+ZPED=90°,

：.ZODC+ZPDE=90°,

・・・半径。。，尸0,

・・・尸。是。。的切线；

(2)解：VZAOC=90°,AO=CO,

・•・AAOC是等腰直角三角形，

：.AC=y[2AO,

,圆的半径是2或cm,

',AC—V2X2V5=2VT0(cm),

/B=NACD,

1

tan5=tanZACD=

.AD1

••丽二5，

令AD=xcm,贝!J8。=2xcm,

是圆的直径，

：,/ADB=90°,

••AB—y/AD2+BD2=y/x2+(2x)2=V5x—4V5(cm),

•.x=4,

：・BD=2x=8(cm).

【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，关键是掌握切线的判定方法；

1

由tanB=tmZACD=万，求BD的长.

m

8.(2023•苏州一模)如图，一次函数＞=底用的图像与反比例函数y=》的图像交于点4(1,2n)和点5

(3〃-6,2),与x轴交于点C

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

3

(2)连接ON,OB,在直线/C上是否存在点。，使△0CD的面积是△NO8面积的彳？若存在，求出点

。的坐标，若不存在，请说明理由.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

6

【答案】(1)一次函数表达式为y=-2x+8,反比例函数表达式为、=短

(2)点。坐标为(2.5,3)或(5.5,-3).

m

【分析】(1)先根据点力和点8在反比例函数y=^的图像上，可得1・2〃=2(3H-6),求出〃的值，可

得点A和点B坐标，再待定系数法求一次函数表达式和反比例函数表达式即可；

(2)先求出C点坐标，根据SAAOB=SAAOC-SABOC^^AOB的面积，设D点纵坐标为t,根据△OCD

1

的面积=]X4|t|=6,求出/的值，即可确定点。坐标.

m

【详解】解(1)•••一次函数的图像与反比例函数y=与的图像交于点/(1,2n)和点3Un-

6,2),

1・2〃=2(3«-6),

解得〃=3,

点/坐标为(1,6),点8坐标为(3,2),

.,.加=1X6=6,

将点/(1,6)和点B(3,2)代入一次函数

4H(k+b=6

19l3k+b=2)

解得｛忆/

6

・・・一次函数表达式为歹=-21+8,反比例函数表达式为y=w

(2)•・•一次函数y=-2x+8的图像与x轴交于点C,

当y=-2x+8=0时，x=4,

・••点C坐标为(4,0),

J。。=4,

•^•S^AOB=S^AOC_S^BOC

11

=­x4x6——x4x2

=8,

3

VAOCD的面积是△/OB面积的了，

q

3

:•△OCD的面积为彳x8=6,

q

设。点纵坐标为6

1

**.-x4|t|=6,

解得t=3或t=-3,

・・,点。在直线4C上，

3=-2x+8或-3=-2x+8,

解得％=2.5或x=5.5,

・•・点。坐标为(2.5,3)或(5.5,-3).

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积等，熟练掌

握待定系法求解析式是解题的关键.

9.(2023•天宁区校级模拟)如图，在△ZSC中，4B=4C=10,点D、£分别是边/5、边5C上的点，连

接CD,NCDE=NB,尸是。E延长线上一点，连接CRZFCE=ZACD.

(1)判断△COb的形状，并说明理由；

EF

(2)若4。=4,求而的值；

DE

3

(3)若sin5=g,BD=BE.

BD

①^7^7的值；

Uc

②求cr的长.

A

【考点】三角形综合题.

【答案】（1）结论：△CD尸是等腰三角形.证明见解析部分;

2

⑵3;

（3）①孚

（2）CF=2V10.

【分析】（1）证明NFCD=NF£>C即可;

（2）利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可；

3EK333

（3）①过点E作于点K,由题意得sinfi=E，推出六;=三，推出=-BD,推出5K

41__________V10

=£BD,推出DK=0£）.可得DE=7DK2+EK2=

…DECD叵BDCD16V10

②证明△CDESACAD,推出亦=77m，推出-----=—,可得CD=―--.由（知：AABCs

DUCoBD5

BCAB

△FCD,推出含=777,可得结论.

【详解】解：（1）结论：△CZ）厂是等腰三角形.

理由：・：AB=AC,

：./B=/ACB,,

•・•NFCE=/ACD,

：./FCD=/ACB,

■:/CDE=NB,

・•・ZFCD=ZCDF,

:・FC=FD,

・•・△尸CD是等腰三角形;

(2)•:NECF=/ACD,

：.ZACB=ZDCF.

/B=/CDE,

：.AABCsAFCD,

：.ZBAC=ZF.

U：AB=AC,

：.FD=FC.

•；NBAC=/F,NACD=/FCE,

：.dACDsAFCE,

.ACCF

•・Z5=10,AD=4,

.CF105

，9EF=~=2f

9：DE+EF=FC,

.EF2

，9~DE=r

(3)①过点£作丛，45于点K,如图,

3

由题意得：sinB=

.EK3

••瓦=g，

33

:・EK=~BE=_5D,

4

：.BK=~BDf

1

：.DK=­BD.

：.DE=7DK2+EK2=­BD,

.BDVIO

•,班=T；

②,/ZCDE=ZB,ZDCE=ZBCD,

：.ACDE^ACBD,

DECD

'BD=~CB"

.粤BD_迫

'BD16，

16VTU

：.CD-5-

由（1）知：AABCS^FCD,

.BCAB

"'CO=CF）

1610

•••厘=加

.\CF=2VTO.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股

定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键.

10.（2023•金坛区一模）如图，已知二次函数＞=/+/-4的图像经过点/（3,-4）,与x轴负半轴交于

点、B,与y轴交于点C,连接BC.

（备用图）

（1）填空：b=-3；

（2）点P是直线A8下方抛物线上一个动点，过点尸作尸轴，垂足为T,PT交4B于点、Q,求线段

PQ的最大值；

(3)点。是y轴正半轴上一点，若/BDC=/ABC,求点。的坐标.

【考点】二次函数综合题.

【答案】(1)-3；

(2)P。的最大值是4；

一5

(3)点。的坐标为(0,

【分析】(1)将点/(3,-4)代入》=1+及-4即可求解；

(2)利用二次函数解析式可求得3点坐标，再利用待定系数法求得直线N8的解析式，设出尸点坐标,

则可表示出。点坐标，表示出尸。的长，利用二次函数的性质可求得尸。的最大值；

(3)证明根据相似三角形的性质求得CD的长，即可求得。点坐标.

【详解】解：(1)将点/(3,-4)代入＞=/+云-4得：

9+36-4=-4,解得6=-3,

故答案为：-3；

(2),:b=-3,

...二次函数y=x2-3x-4,

解方程x2-3x-4=0,得xi=-l,X2=4,

：.B(-1,0),

设直线48的函数表达式是夕=h+加，

直线48交y轴于点足

,：A(3,-4),

•­{-^^0-解得{9片，

・・・直线45的函数表达式是歹=-x-1,

设点尸(加，m2-3m-4),

则0(加，-m-1).

'•PQ--m-\-冽2+3加+4=-加2+2加+3=-(加-1)2+4.

・•・当冽=1时，尸。的最大值是4；

(3)如图，设交y轴于

wI

,二次函数y=x2-3x-4,令x=0,则y=-4,

：.C（0,-4）,

•.,直线的函数表达式是》=-x-1,

：.E（0,-1）,

,:B（-1,0）,

：.CE=3,BC=712+42=近,

•:NBDC=NABC,ZBCD=ZECB,

ABCDsAECB,

CDCBCD777

'-CB=CE，即赤=『

17

/.CD=—,

175

：.OD=CD-OC=—-4=~,

_5

.•.点。的坐标为（0,

【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、坐标与图形性质、相

似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法，相似三角形的判定与

性质是解题的关键.

题组二：数与式的计算、解方程组与不等式、概率、统计、锐角三角函数的应用、圆的有关计算与证

明、一次函数的应用、基本作图、几何压轴题、二次函数新定义问题

1

11.（2023•海陵区一模）（1）计算：（一§）2-|V3-3|+2sin30°-（TT-2023）0；

—412

（-

（2）化筒：a2-4a+4^a2-2a

【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幕；特殊角的三角函数值.

【答案】（1）6+V3；

a(a+3)

(2);

【分析】（1）分别根据零指数幕及负整数指数幕的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算

出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可;

（2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可.

「1

【详解】解：（1）原式=9-（3-V3）+2X--1

=9-3+73+1-1

—6+V3；

(a+2)(a-2)1a(a-2)

(2)原式=((a-2/+后•——

a+21a(a—2)

(----+----)•-------

a-2a-22

a+3a(a—2)

=a-2-2-

a(a+3)

=-2-*

【点睛】本题考查的是实数的运算及分式的化简求值，熟知零指数累及负整数指数赛的运算法则、绝对

值的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键.

12.（2023•天宁区校级模拟）解方程组和不等式组:

x+2y=4

(1)

x—y=l

（2x+1>7—x

（2）

【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；解二元一次方程组.

【答案】（1）

（2）2VxW3.

【分析】（1）利用加减消元法求解即可;

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不

到确定不等式组的解集.

【详解】解：（1）4,

①+②X2,得：3x=6,

解得x=2,

将x=2代入②，得：2-y=l,

解得：尸1，

则方程组的解为P

(2)由2x+l>7-x得：x>2,

%+3

由得：x<3,

则不等式组的解集为2<xW3.

【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟

知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

13.(2023•淮阴区一模)从2名男生和2名女生中随机抽取运动会志愿者.

1

(1)随机抽取1名，恰好是女生的概率为

(2)请用画树状图或列表的方法，写出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率.

【考点】列表法与树状图法；概率公式.

1

【答案】(1)2-

(2)—.

【分析】(1)直接利用概率公式计算即可.

(2)画树状图得出所有等可能的结果数和抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率

公式可得出答案.

【详解】解：(1).••有2名男生和2名女生，

21

随机抽取1名，恰好是女生的概率为1=宁

1

故答案为：2.

(2)设2名男生分别记为/,B,2名女生分别记为C,D,

画树状图如下：

BCDDABDABC

共有12种等可能的结果，其中抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的结果有/C,AD,BC,BD,

CA,CB,DA,DB,共8种，

82

二抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率为逵=§.

【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

14.(2023•天宁区校级模拟)2023年2月，C市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市数学素养水平监

测.样本学生数学测试成绩(满分100分)如表：

样本学生成绩平方差中众

均位数

数数

甲校5066666678808182839474.6141.04a66

乙校6465697476767681828374.640.8476b

(1)表中a=79；b=76；

(2)请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩；

(3)若甲、乙两校学生都超过2000人，按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数

学素养水平可行吗？为什么？

【考点】方差；用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数.

【答案】(1)79,76；

(2)乙校成绩更加稳定，理由见解答；

(3)不可以按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平，理由见解答.

【分析】(1)根据中位数和众数的概念分析求解即可；

(2)结合平均数，中位数，众数，方差的意义进行分析评判；

(3)统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小.

【详解】解：(1)将甲校样本学生成绩从小到大排序为：50,66,66,66,78,80,81,82,83,94,

位于第5个和第6个的数据分别是78和80,

78+80

•*.a—~=79,

在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是76,

；.6=76,

故答案为：79,76；

（2）由题意，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校，

，乙校成绩更加稳定；

（3）甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总

体数学素养水平，因为C市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太

多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000多人的成绩.

【点睛】本题考查众数，平均数，中位数，样本估计总体，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识，属于中考常考题型.

15.（2023•秦淮区校级模拟）如图，在一笔直的海岸线/上有/,8两个观测站，N在8的正东方向，AB=

2（单位：km）,有一艘小船在点尸处，从/测得小船在北偏西60°的方向，从2测得小船在北偏东45。

的方向.

（1）点尸到海岸线/的距离；

（2）小船从点P处沿射线/尸的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从2测得小船在北偏西15°的

方向，则点C与点B之间的离为V2km.

（注：上述两小题的结果都保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【答案】（1）（V3—1）km；

（2）V2.

【分析】（1）过点尸作于点。，没PD=xkm,先解用含x的代数式表示3D,再解

Rt△尸4D,用含x的代数式表示Z。，然后根据列出关于x的方程，解方程即可；

1L

（2）过点8作瓦LL4C于点R先解RtZUB凡得出8尸=/8=1而，再解RtZ\8CF,得出BC=&BF

=y[2km.

【详解】解：（1）如图，过点尸作尸于点D.设PD=xkm.

在中，NBDP=90°,ZPBD=90°-45°=45°,

/.BD—PD=xkm.

在Rt/iP力。中，ZADP=90°,ZPAD=90°-60°=30°,

'.AD=\[3PD=\Fixkm.

'：BD+AD=AB,

.'.x+V^x=2,

.".x=V3—1,

点尸到海岸线/的距离为（遮一1）km,

（2）如图，过点2作瓦U/C于点?

根据题意得：ZABC=IO5°,

在RtZ\48尸中，ZAFB=90°,ZBAF=30°,

1

.".BF=~AB—1km.

在△NBC中，ZC=180°-ABAC-AABC=^°.

在RtZXBCF中，ZBFC=90°,ZC=45°,

BC=s[2BF=y[2km,

；.点C与点、B之间的距离为近后〃，

故答案为：V2.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中.通过作辅助线，构造直角三角形是

解题的关键.

16.（2023•南京一模）如图，在△NBC中，CA=CB,E为ABk一点、,悴EF//BC,与NC交于点尸，经过

点N、E、尸的。。与3C相切于点。，连接ED、FD.

（1）求证

（2）若4E=10,BE=8,求CO的长.

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心;

切线的性质.

【答案】（1）证明见解析；（2）8=24.

【分析】（1）连接。。，利用切线的性质定理，平行线的性质，垂径定理，圆周角定理和相似三角形的

判定定理解答即可；

（2）利用相似三角形的性质定理求得m，设CD=x,则5C=4C=x+12,利用角平分线的性质定理列

出比例式，解比例式即可得出结论.

【解答】（1）证明：连接。D,如图，

•:5C为。。的切线，

：.ODLBC,

,:BC〃EF,

：.ODA.EF,

：.Eb=DFf

：.ZBAD=ZCAD.

■:FE//BC,

：.NBDE=NFED.

*.•ZFED=ZCAD,

：.NBDE=NBAD,

*.•NB=NB,

：.ABDEsABAD；

（2）解：,:ABDEs^BAD,

.BDBA

••瓦=访’

\9AB=BE+AE=10+8=18,

.BD18

：.BD=12.

设CD=x,贝!JBC=/C=x+12.

由（1）知：/BAD=/CAD,

.BDAB

99~CD=~AC,

.1218

，，~=x+12,

解得：x=24,

经检验，x=24是原方程的根,

ACD=24.

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与

性质，平行线的性质，垂径定理，角平分线的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助

线.

17.（2023•沐阳县模拟）某市在城中村改造中，需要种植/、8两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包

商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，/、2两种树苗的成本价及成活率

如表：

品种购买价（元/棵）成活率

A2890%

B4095%

设种植/种树苗x棵，承包商获得的利润为y元.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%,承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润

是多少？

（3）在达到（2）中政府的要求并获得最大利润的前提下，承包商用绿化队的40人种植这两种树苗，己

知每人每天可种植/种树苗6棵或2种树苗3棵，如何分配人数才能使种植/、3两种树苗同时完工.

【考点】一次函数的应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）由购买/种树苗x棵，可得出购买2种树苗（3000-%）棵，根据“总利润=报价-购买/

种树苗钱数-购买B种树苗钱数”即可得出了关于x的函数关系式；

（2）根据政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%,即可列出关于x的一元一次不等式，解不等式即

可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题；

（3）设安排机人种植N种树苗，则有（40-加）人种植5种树苗，根据每人每天可种植/种树苗6棵

或2种树苗3棵且同时完工，可列出关于%的分式方程，解分式方程求出”的值，检验后即可得出结

论.

【详解】解：（1）根据题意，得：购买3种树苗（3000-x）棵，

与x之间的函数关系式为y=150000-28x-40（3000-x）=12x+30000（0WxW3000）.

（2）根据题意，得：90%x+95%（3000-x）^93%X3000,

解得:xW1200,

\>=12x+30000中左=12>0,

...当x=1200,3000-1200=1800时，y取最大值，最大值为44400.

答：购买/种树苗1200棵，3种树苗1800棵时，承包商应的利润最大，最大利润为44400元.

（3）设安排加人种植/种树苗，则有（40-〃?）人种植8种树苗，

12001800

根据题意，得：后~=3（40-峭，

解得：加=10.

经检验，加=10是分式方程的解，且符合实际，此时40-10=30（人）.

答：安排10人种植“种树苗，30人种植2种树苗，恰好同时完工.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据数

量关系列出不等式；（3）根据数量关系列出分式方程.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时,

根据数量关系列出函数关系式（不等式或方程）是关键.

18.（2023•锡山区模拟）（1）如图1,在锐角△NBC的外部找一点。，使得点。在/8/C的平分线上，且

/BDC+/BAC=180°,请用尺规作图的方法确定点。的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

10-

（2）在（1）中，若4B=6,AC=4,ZBAC=60°,则线段的长为V3_.（如需画草图，请

使用图2）

【考点】作图一复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.

【答案】（1）见解答；

(2)^/3.

【分析】(1)作/胡C的平分线，再作NC的垂直平分线，确定△/BC的外接圆的圆心，作圆，与

ABAC的平分线的交点即为点D；

(2)过点。作。于M,DVL/C交/C的延长线于N.利用全等三角形的性质证明

5,最后根据特殊角的三角函数求解.

【详解】解：(1)如下图：点。即为所求；

(2)如图1,过点。作于M,ON_L/C交NC的延长线于N,

ZBMD=ZDNC=90°,

•.,。在NB/C的平分线上，

ZBAD=ZCAD=3>0°,

：.DM=DN,CD=BD,

...RtADAffigRtADNC(HL),

:.BM=CN,

,:DM=DN,AD=AD,

.,.RtA£>M4^RtAZ)AM(HL),

:.AM=AN,

'：AB+AC=AM+BM+AN-CN=2AN=\0,

：.AN=5,

故答案为：-yV3.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆，三角形的角平分线，全等三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

19.(2023•滨湖区一模)如图1,在直角三角形纸片N2C中，/A4C=90°,AB=6,/C=8.

［数学活动］

将三角形纸片/2C进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片/3C使点C与点/重合，得到折痕。打，

然后展开铺平；第二步：将△DEC绕点。顺时针方向旋转得到△DFG,点"、C的对应点分别是点尸、

G,直线G尸与边NC交于点M(点M不与点/重合)，与边AB交于点、N.

［数学思考］

(1)折痕的长为3；

(2)在△DEC绕点。旋转的过程中，试判断儿田与ME的数量关系，并证明你的结论；

［数学探究］

(3)如图2,在△〃£(3绕点。旋转的过程中，当直线GP经过点8时，求的长；

［问题延伸］

(4)如图3,若直角三角形纸片4BC的两直角边AB=/C=4,按上边［数学活动］的步骤操作，在点G

从点C开始顺时针旋转45。的过程中，设△DFG与△NBC的重叠部分的面积为S,求S的最小值.小明

在探究这个问题的过程中发现，当旋转角为30°和45°时S的值比较小，你能在小明探究的基础上,

求出S的最小值吗？请直接写出答案.

k『B

卜

AEC

图J图2

图3

【考点】三角形综合题.

【答案】⑴3；

(2)MF=ME,证明见解答过程；

(4)12-6V3.

【分析】(1)通过证明。E是中位线，可得。E=3；

(2)连接ZW,根据证RtZVWF咨RtZkDME,即可得出结论;

(3)根据角相等得出设MC=2M=x,根据勾股定理求出x的值，根据/M=/C-CW求出

的值即可；

(4)设DG交4C边于尺，由(2)知由旋转变化知当RtZ\。“RtZxDME之

□△。座时5有最小值，即当旋转角为30°时△GM?的面积最大，此时S有最小值，求出此时的S值

即可.

【详解】解：(1)由折叠可知：AE=EC,DELAC,

J.DE//AB,

CDEC

^BD~AE~b

：.DC=BD,

・•・£)£是△45。的中位线，

1

:・DE=~AB—3,

故答案为：3；

(2)MF=ME,证明如下：

连接DM,

图1

由旋转知，DE=DF,ZDFM=ZDEM=90°,

在RtADMF和RtADME中，

[DE=DF

[DM=DM'

:.RtADMF咨RtADME(HL),

:.MF=ME；

(3),:DG=DB=DC,

：.ZG=ZDBG,

.•.NG=NC,

・・・NMBC=NC,

：.BM=MC,

设BM=MC=x,

222

在河中，BM=AB+AMf

即62+(8-x)2=x2,

25

解得％=T,

q

257

：.AM=AC-CM=S--^-；

44

(4)设。G交NC边于R,由(2)知RtZXDMF^RtZVWE,由旋转变化知当RtZVJMF名RtADME1安

Rt△。尺E时S有最小值，即当旋转角为30°时△GM7?的面积最大，此时S有最小值，

如下图所示：

图3

•.Z3=/C=4,

：.DE=DF=2,

延长。尸交NC于7,则N7Z)E=30°,ZDTM=60°,

.5DE4V3

"DT=7^=~T'

4V3

即FT=DT-DF=—^-2,

.,.W=^r*tan60°=4-2禽，

:.MR=2FM=8-4禽，

11

:.S=S&DF贮SADMR=]X2X(4-2V3)+]X2X(8_4V3)=12-6V3.

【点睛】本题是三角形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质

等知识是解题的关键.

20.Q023•祁江区校级一模)对于二次函数给出如下定义在平面直角坐标系xQy中，二次函数y=a/+6x+c

(a,b,c为常数，且aWO)的图象顶点为P(不与坐标原点重合)，以OP为边构造正方形。尸儿W,则

称正方形。尸MN为二次函数y=a？+6x+c的关联正方形，称二次函数y=a/+6x+c为正方形OPAW的关

联二次函数.若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点.

（1）如图，直接写出二次函数y=（