2023年高考数学一轮复习讲义-数列的概念

数列

§6.1数列的概念

【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）2了解数列是

自变量为正整数的一类特殊函数.

-落实主干知识」

【知识梳理］

1.数列的定义

按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列a[>a

〃+1-----n

递减数列a[VQ其中“CN*

项与项间的n+l---n

常数列Cl.=Q

大小关系n+1n

从第二项起，有些项大于它的前一项，

摆动数列

有些项小于它的前一项的数列

3.数列的通项公式

如果数列｛%｝的第n项对与它的序号w之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式

子叫做这个数列的通项公式.

4.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个

数列的递推公式.

【常用结论】

S],n=l,

1.已知数列｛练｝的前〃项和s〃，则与=

—〃22.

[a2aJ[aWQ]，

2.在数列｛〃｝中，若〃最大，则〃、1（G2,〃£N*）；若。最小，则11（心2,

""叱%+1"&&,+1

"GN*）.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

⑴相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（X）

（2）1,1,1,1,…，不能构成一?•数列.（X）

（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（X）

即如果数列｛册｝的前"项和为5",则对任意“6^，都有“"+1=%1-5“.（V）

【教材改编题]

1.若数列｛4“｝满足4=2,则”2023的值为（）

11

c-D-

A.2B.13-23

答案C

解析因为q=

所以a=上4

1-〃]

同理可得％=-

1

可得a二a则“2023一“505x4+3

n+4n2,

2.数列!,*1，白■，…的通项公式是a=

DOIDDDn

答案舟万’"GN

1-1

解析

1x(l+2)3

1_1

Q。=----------Q

22X(2+2)8

11

3-3义(3+2)15

1_1

%-4*(4+2)24，

1_1

^5~5X(5+2)35，

・•.通过观察，我们可以得到如上的规律，

贝Ua=----,n£N*.

〃n(n+2)

3.已知数列｛〃〃｝的前几项和S〃=2〃2—3〃，则数列｛5｝的通项公式”=

答案4九一5

解析4=S[=2-3=-1,

当n，2时，。=s-S,

nnn-I

=(2n2-3n)-[2(〃-1)2-3(〃-1)]

=4H-5,

因为4也适合上式,所以=4〃-5.

■探究核心题型

题型一由a“与S”的关系求通项公式

例1(1)设5“为数列｛与｝的前"项和,若2s“=3%—3,则%等于(

A.27B.81

C.93D.243

答案B

解析根据2s“=3a“-3,

可得2s=3a+]-3,

两式相减得2a=342,a,

n+1n+1n'

即。=3a,

n+1n'

当〃=1时，2S]=3%-3,解得4=3,

所以数列｛a,J是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以=34=81.

(2)设数列｛〃〃｝满足4+34+…+(2〃-则q

2,孔=1,

答案2«-i

,2n-r"»2

解析当几=1时，%=2产2.

•.,〃]+34+…+(2n-1)an=2n,①

工%+34+…+(2〃-3)〃〃_]=2〃T(〃22),②

由①_②得，(2〃-V)-a=2〃-2〃-1=2〃-1,

n

2〃-1

C.a=-------(几22).

〃2n-1

2,n=l,

显然n=1时不满足上式,=<2〃-1

”-----，心2.

(2〃-1

【教师备选】

1.已知数列｛〃〃｝的前几项和5〃="2+2"，则氏=.

答案2n+l

解析当几=1时，%=S]=3.当九22时，a〃=S〃-S〃]=〃2+2〃-[(n-1)2+2(〃-1)]=2n+

1.由于％=3适合上式，,%=2〃+1.

2.已知数列｛“〃｝中，S〃是其前〃项和，且S〃=2a〃+L则数列的通项公式〃〃=.

答案一2〃T

解析当〃=1时，％=S[=2%+1,

••ci~1.

当时，

"22Sn=2an+1,①

S=2a,+1.②

n-1n-1

①-②得1JSn-Sn-1=2an-2an-1.1,

即。二2。-2。।,

nnn-1

即5=2*(心2),

/.｛。“｝是首项为%=-1,公比为q=2的等比数列.

•♦•%=%"-=々-I.

S,〃=1,

思维升华⑴已知S“求3的常用方法是利用与二转化为关于。〃的关系式，

〃〃nS-S一心2

nn-11

再求通项公式.

⑵5“与an关系问题的求解思路

方向1:利用*=S“-S“_](〃22)转化为只含s“，S“_1的关系式，再求解.

方向2：利用5-s.,=%(心2)转化为只含an,%7的关系式，再求解.

跟踪训练1(1)已知数列｛4｝的前〃项和为s“，且S“=2”2+W+1,"GN*,则4

4,n=l,

答案

4n—1,n22

解析根据题意，

可得I=2(〃-])2+(〃-1)+L

由通项公式与求和公式的关系,

可得M=S,-S“T

代入化简得

a=2〃2+〃+1-2(〃-I%-(wT)T=4〃-1.

n

经检验，当〃=1时，S]=4,%=3,

所以*%,

4,〃二1,

所以。

n

4〃-1,〃22.

⑵设S”是数列｛%｝的前〃项和，且％=_1,a=SS.,则%=.

-1,n—1,

答案i1

.n(n-1)’

解析由已知得%="“=%£,

两边同时除以工R，

-1=-1-

S"+1"

故数列是以-1为首项，-1为公差的等差数列，

则L=-1-(n-1)=-n.

Sn

所以s=--

nn

当时，

a=S-S=--+-^—=——,

""1nn-1n(n-1)

j-1,n=1,

故。=j1

n----------,2.

(几-1)

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

例2在数列｛a〃｝中，a=2,a“+]=a“+ln(l+：),则a“等于(

A.2+lnnB.2+(n—l)lnn

C.2+nlnnD.1+n+lnn

答案A

n+1

解析因为册+i-a〃=In：—=ln(〃+l)-ln〃，

所以4-%=In2Tn1,

%-%=In3-In2,

%=In4-In3,

册-7二In〃Tn(几-1)(几22),

把以上各式分别相加得«-a=lnn-lnl,

n1

a

贝！Jn=2+In几(〃22)，且％=2也适合，

因止匕〃〃=2+Inn(n£N*).

命题点2累乘法

例3若数列｛〃｝满足%=1,na(〃22),则%=

n1n—1nn

2

答案市

解析由nan_]=(.+1)。〃(〃22),

得Jj22).

a1n+1

nn-1n-2322

所以----X----X----X-XXTX1

n+1nn-1743n+1

又…满足上式，所以7r

【教师备选】

L在数列｛叫中,%=3,%+】=%+舟p则通项公式与=

答案T

1_11

解析

n(n+1)nn+\

£

•二当九22时，〃-a.-----

〃〃-1n-1n

11

a

*~n-2n-2n-X

%-=1-g，

以上各式相力口得，4-4=1-1，

，%=4-；，%=3适合上式，

〃IL1

..a=4

nn

2.若｛〃〃｝满足2("+1)•阳〃•〃"]=(),且%>0,%=1,则

答案

解析由2(〃+1)-622+(n+2>%•〃〃+1-〃•册+]=0得

n(x2a2n+〃n•〃n+-1-〃n2+-I)7+2〃n(xan+an+,,[7)=0,

/.n('an+a〃-+)1八(2。n-an+-1)7+2q公(an+an+-I)7=0,'

('an+a〃+1J八['(2(2n-an+l,z)-n+2anJ]=0,

又a>0,

n

：.2n-an+2an-n-an+l=0,

•%+=2(〃+1)

•・%n

又4=1,

.,.当w22时，

2H〉〈2("-1)〉〈2Q-2)2X32X2

X---X—^-X—^-Xl=2n-i-n.

n-In-2n-3

又"=1时，％=1适合上式，

思维升华⑴形如an+1-%=加）的数列，利用累加法,即利用公式a“=（a.-。…）+（%-

%.2）+…+（“2-%）+%（心2）,即可求数列｛.“｝的通项公式.

(2)形如乎=加)的数歹U,常令n分别为1,2,3，…，〃-1,代入乎1=加),再把所得的5-

nn

1)个等式相乘，利用量=叼｝?…-K-(〃22)即可求数列｛与｝的通项公式.

跟踪训练2(1)已知数列｛%｝的前n项和为4,若4=2,%+|=%+2"-1+1,则a=.

答案2〃-1+〃

解析Vtz=a+2〃-1+1.

n+1n

•\a-a=2«-1+1/

n+1n

当"22时，an=(an-J+(anl-an2)+—+(%-4)+⑷-4)+4=-2+2“-3+…+

1-2〃-1

2+1+〃+n-1-----------+2+〃-1=2n-1+n.

11-2

又曾产？满足上式，

：.an=2"-1+九

(2)(2022・莆田模拟)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，4=1,S“=w2a“(”GN*),则数列｛与｝的通

项公式为.

2

答案册=而不

解析由二九24,

Snn

可得当时，S=(n-l)2a

贝！1Q=S-S.=n2a-(n-1)2〃

nnn-inn-I

即(九2"1)。=(n-1)2«,

n、7n-1

..,aH-]

勿知a7^：o,故一i二---(几22).

〃an-1.n+\

所以当w22时，

1

a—义工xLx…X&X%XQ

n。〃-2*%%

n-\n-2〃-321

-------X-------X-------x-x^x-xi

H+1nn-1

2

n(n+1)

当”=1时，%=1满足.=—^―,

1"n(n+1)

故数列⑵的通项公式为-诉.

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

”是“数列｛｝为递增数列”

例4已知数列｛a“｝的通项公式为an=n2—22n(nGN*),则5

的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若数列｛4｝为递增数列，

则有加5>0,

/.(«+1)2-2A(M+1)-n2+22/7

=2H+1-2A>0,

即2n+1>24对任意的“WN”都成立，

于是有人其土］|.3

V27min2

3

•・,由k1可推得k］，

但反过来，由衣，不能得到kl,

因此以＜1”是“数列｛5｝为递增数列”的充分不必要条件.

命题点2数列的周期性

例5（2022.广州四校联考）数列｛%｝满足4=2,a=丁」（"GN*）,则a等于（）

rlItl十1IZ74

-21

Ac.1

2BD.-

2-

答案c

解析...数列｛与｝满足%=2,

a---(wwN*),

n+1

1-an

•n-----1---=_]

..“2一1一2，

可知此数列有周期性，周期T=3,

即%3=%，则％23=4=2.

命题点3数列的最值

例6已知数列｛4｝的通项公式。“=（"+1＞（号），，则数列｛4｝的最大项为（）

A.%或“9B・%或40

C.Q10或4］D.%］或由2

答案B

解析结合4x）=a+1）（9）的单调性，

设数列｛,｝的最大项为an,

所以

an^an-\

(将"》(〃+2)(舟"

J(«+1)-4-

所以］

〔(〃+1).

解不等式组可得9W"W10.

所以数列｛'｝的最大项为旬或4

【教师备选】

1.已知数列｛3｝的通项公式为。“=一歹，若数列｛%｝为递减数列，则实数％的取值范围为

()

A.(3,+8)B.(2,+°°)

C.(1,+°0)D.(0,+8)

答案D

3〃+3+Z3n+k

解析因为%+1_%=-2n

_3-3n-k

2〃+i

由数列｛,｝为递减数列知，

4--k

对任意“eN*,a----：----<0,

"+ia”2“+i

所以k>3-3n对任意neN*恒成立,

所以上G(0,+°°).

2.在数列｛aj中，4=1,a“an+3=l,则logs4+log5a2H---Hog5a2023等于()

A.-1B.0

C.log53D.4

答案B

解析因为a“%+3=l,所以％+3。“+6=1,所以an+6=a〃，所以｛与｝是周期为6的周期数列，

所以所5%+log5a2+…+1喝。2023

二峪3产2…。2023)

=

l°g5[(tZ1CZ2---tZ6)337-tZ1],

=

又因为。产4=a2a5-1，

所以"14…"6=1，

=

所以原式1O§5(1337X1)=log5l=0.

思维升华⑴解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据,-%的符号判断数列｛%｝是递增数列、递减数列还是常数列.

(2)解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

(3)求数列的最大项与最小项的常用方法

①函数法，利用函数的单调性求最值.

a2〃,aWQ[1"_

②利用""■(〃》2)确定最大项，利用"(九三2)确定最小项.

〔册》程+11a.Wa“+

12%,

4

跟踪训练3(1)在数列｛4｝中，an+1=|一]若％=亍则〃2023的值为()

〔2%-1,住,

34

B.^

21

C.§D.§

答案D

41

解析ax--^>2/

31

/.=24-1=~^>2'

.11

・・〃3=2〃2-1=^<2'

・c21

・・[4=2〃3=5<2'

.。4

・・〃5=2。4=5，

可以看出四个循环一次，

故"2023=04x505+3=%4

川+]

(2)(2022.沧州七校联考)已知数列｛册｝满足a=高=后(〃N*),则数列｛%,｝的最小项是第

.项.

答案5

〃+1if,19

角星析a=------二义11+

〃3n-163〃-16

当n>5时，a>o,且单调递减;

当及W5时，an<o,且单调递减，

当及二5时，。〃最小.

课时精练

。基础保分练

1.数列｛与｝的前几项为a3,y,8,y,则此数列的通项公式可能是()

5〃一43n~2

A.a=-z-B.a=-z-

n2n2

6n—510n—9

C.a—cD.a—c

〃2n2

答案A

数列为:，?，*，¥，*，•••，其分母为,分子是以首项为,公差为的等差数列，

解析215

乙乙乙乙乙

Sn-4

故数列上,｝的通项公式为4=

2.在数列｛%｝中，a=\,。“=1+--------(w》2),则％等于()

A.|-5一8

B.gC.5D.2

答案D

(7)2、

解析a=]+--------=2,

2a3«22

(-1)5_2

+------------

4%5%3・

1

1~ra_,_p-则T为I/

u23X

3.已知数列｛与｝的前〃项积为T“，且满足q!=-.-----(neN*)，右巴1J)2

〃+i\~an4

3

A.-4B--5

51

C.D

3-4

答案C

\+a〃cX\

解析由a,------!a)

n+114

\-an

得。2=|，"3=一4,%=一|，"51

4

所以数列｛,｝具有周期性，周期为4,

因为〃==12°23=4X505+3,

所以72023=(%〃2%〃4)…32。21〃2。22〃2。23)

155

-X--

433

4.若数列｛“〃｝的前〃项和S〃=2a〃一1（〃£N*）,则〃5等于（）

A.8B.16C.32D.64

答案B

解析数列｛%｝的前〃项和Sn=2an-1（〃£N*）,

则Sn-l.=2an-1-1（、几22z）,

两式相减得。=2a,（w22）,

由此可得，数列｛〃“｝是等比数列，

又S[=2%-1=%,所以4=1,

故数列｛,｝的通项公式为〃“二2〃-1，

令〃=5，得。5=16.

9M2—Qn2_.

5.（多选）已知数列｛。“｝的通项公式为与=一^^一（"GN*），则下列结论正确的是（）

A.这个数列的第10项为舒27

B.忐97是该数列中的项

C.数列中的各项都在区间；，1）内

D.数列｛4｝是单调递减数列

答案BC

_.9^2-9n+2_(3n-l)(3n-2)

角单析a=------:-=--------------

"9n2-1(3n-1)(3M+1)

_3n-2

3n+1

令”=10得4o=||,故A错误；

不3"-2粉导〃=33中*,

V3n+1

故需是数列中的项，故B正确；

3n-23〃+1-33

因为。-----=---------=1-------

n3n+13n+13n+1

又〃£N*.

所以数列巴｝是单调递增数列，

所以＜1,故C正确，D不正确.

qn

6.(多选)若数列｛3｝满足：对任意正整数小｛a,—1一册｝为递减数歹！1,则称数列｛%｝为“差递

减数列”.给出下列数列｛a“｝(〃GN*),其中是“差递减数列”的有()

A.a=3nB.a=n^l

i-n

C.ci—\lnD.〃=ln;-T

nv〃n+1

答案CD

解析对于A，若%=3w,则an+l-an=3(n+1)-3n=3,所以｛a“+i-%｝不为递减数列，故

A错误；

对于B,右a=+1,

n

贝!J〃i-a=(〃+1)2-〃2=2〃+1,

n+Inv/

所以｛5+1-aj为递增数列，故B错误；

对于c,若a

所以Q+I-%｝为递减数列，故C正确；

对于D,右〃=In-~—/

〃〃+1

1及+1In

则a-a=ln--------In^―

〃+1川+271+1

(\

n+1n+1(z

=ln——.——=ln1t

(几十2nJ\n2+2n

+8）上单调递减，所以｛,+]-与｝为递减数列，故D正确.

7.数列｛4｝的前w项和为S“，若4=1,%+]=3s“（〃GN*）,则与=.

[L几=1,

答案。

解析•••%+]=3S&GN*）,

二当W=1时，。2=3；

当心2时，a=3S,,

nn-1

-a“=3a”,

得%1=4%,

二数列｛册｝从第二项起为等比数列，

当时,a=3.4〃-2,

n

1,及二1,

故〃=

〃[3-4/1-2,〃22.

8.（2022.临沂模拟）已知%=利+初，且对于任意的〃£N*,数列｛〃〃｝是递增数列，则实数2

的取值范围是.

答案（-3,+°°）

解析因为｛。“｝是递增数列，所以对任意的"GN*，都有%+/a.,

即（几+1）2+2（n+l）＞n2+入n,

整理，得2几+1+A>0,即丸>-(2〃+1).(*)

因为〃£N*,所以-(2n+1)<-3,要使不等式(*)恒成立，只需2>-3.

9.已知数列｛〃〃｝中，4=1,前〃项和%.

(1)求。2，%；

(2)求｛与｝的通项公式.

4

解(1)由$2=于2得3(4+。2)=4a2'

解得。2=3%=3,

由S3=~a3,得3(%+4+%)=5%，

解得。§=|(%+4)=6.

(2)由题设知当〃=1时，4=1.

当〃22时，有

n+2n+1

an=Sn-Sn-l^^an30"-11

n+1

整理得a----a

nn-\n

n

于是“2=1%，%=于2

a…-2

M+1

an=-“---1an-1.z

n-L

将以上n-l个等式中等号两端分别相乘，整理得a=%普.

〃2

当、i/”=12时，4=i满足4=七+」1).

八,n(n+1)

综上可知，风｝的通项公式为4=二一

10.求下列数列｛册｝的通项公式.

⑴4=1,an+=a+3n；

(2)%=1,a“+i=2也“.

解⑴由J=。“+3"得%f=3"，

当时,a”=%+(a2-%)+(%-4)+(a4-a3)+—+-7一J

=1+3i+32+3?+…+3〃-1

1X(1-3〃)_3"-1

1-32

3i-1

当〃=1时，%=1=%-,满足上式，

3〃T

an=-2-(几£N*).

⑵由冬+1=2“册得》=2.，

当心2时，a“=%x**?<一-X

二1X2X22X23X-X2n-i

八GT)

=21+2+3+…+(〃T)=22

当a=1时，4=1满足上式,

二.〃二22(九£N*).

。技能提升练

f(3-6z)n—2,nW6,

11.已知数列｛〃｝满足〃=,且｛〃｝是递增数列，则实数〃的取值范围是

〃nZTn—<n

c.(1,3)D.(2,3)

答案D

3-a>0,

解析若｛4｝是递增数列，贝，«>1,

a<3,

即a>l,

52>6(3-〃)-2,

解得2<a<3,

即实数〃的取值范围是（2,3）.

12.（多选）（2022.江苏盐城中学模拟）对于数列｛与｝,若存在数列出J满足匕,=%—｝（〃GN*）,

n

则称数列｛4｝是｛册｝的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）

A.若数列｛%｝是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列

B.若4=3〃一1,则其“倒差数列”有最大值

C.若a,=3"—1,则其“倒差数列”有最小值

D.若册=1—（一J"，则其“倒差数列”有最大值

答案ACD

解析若数列｛。“｝是单增数列，则匕-匕一1=%-"-",一+~~J-

"""J,"。itL_itni\ClCL./

n।、nn-V

虽然有a

n>an-i

但当1+—-—<0时，6vZ?,

，…，

QnQn-1।-1

因此｛%“｝不一定是单增数列，A正确；

a=3n-1,则b=3n-\-」一，易知色,｝是递增数列，无最大值，B错误；C正确，最小

值为4.

■：函数y=x-:在（0，+8）上单调递增，

，当"为偶数时，%=1-3"C（0,l）,

:・b=a--<0,

nnan

当n为奇数时，=1+（£）„>1