2023年高考数学一轮复习：三角函数的性质（新高考地区专用）

3.4.2三角函数的性质（2）（精讲）（基础版）

丫=人5加（83+6+8或丫=4（?05（3X+中）+8（4>0,CD>0）

类型一：B-0

0A：去一2A:最大值-A:最小值法二：代点

②^去一：u找两个横坐标七、x,<="r=|x1-x,

解

析〔法二：代点U只有一个横坐标时

式

③。：法•一：代对称轴法二：代对称中心法三：代点

类曼二：BwO

类型（Do、卬的来法同类型一

…①根据函数定义域求解法则列出不等式或不等式组

超曳」②解有关三角不等式时，单个函数可采用函数图像或三角函数线

三「解含有多个三角函数时多数录用三角函数线

角

①形如?二asinJT+Acosx十他三角函数化为尸/fcin（口工十。）十/

函

的形式.再求值域（最值）

数（②形如jr=a?dn2五+Asinr+曲三角函数,可先设sinr=f,化

的为关于I的二次函数求值域（最值）

性

y=A0n(3xr)+B或y=Acos((tK+(p)+BAy=Ataa(<Dx+<p)+B

质1

A、ln伸长

A（乘除）n伸缩

0<A<1=笫短

纵坐标

B（加表）n上下平移!B>On向上平移

B<On向下平移

g（汞除）=仲靖上4f变化倍数或倒数关系

却横坐标■

缩

律

规.9（加卢）=左右平移=平移时*的系数化成1

平

移①变换前后,由数的名称要一致,若不一致,应先利用法导公式转

化为同名函数

错点

②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个

困数的图象.切不口I弄错方向

老直1弛

考点一解析式

考点二定义域

例题初析

考点一解析式

【例1-1］（2022・山东一烟台二中）若函数/（工）=$桁（3%-中）卜＞0抑归，的部分图象如图所示，则s和（P的

值是（）

B.3=1,(p.----C.3=—，(P......-----

326

【例1-2］（2022•全国•高三专题练习）如图所示，某地一天6〜14时的温度变化曲线近似满足函数

y=Asin（cox+（p）+b,则这段曲线的函数解析式可以为（）

.71J7l

y=Asin(^-x+^-)+20,xe[6,14]B.y=Asin(—x++20,

XG[6,14]

C.y=Asin0x-牛+20,xe[6,14]D.y=Asin(x-^")+20,xGku]

、，兀

【例1-3】(2021•贵州三阶段练习)函数/(x)=^sin(5+9)+cos(①x+(p)(co>0f|^|<—)的部分图

象如图所示，则（p=（

A.：B.

【一隅三反】

1.（2022•甘肃武威）函数/（x）=4sin（（o尤+（p）（A,a>,p为常数，A>0,。>0,帆<£）的部分图象如图所

2.（2021•陕西省洛南中学）已知函数g（x）=Asin（cox+（p）+k（A>0,3>0,0<<p<7t）的部分图象如图所示，则

g（x）的解析式是（）

n

y=2sin2x+y=2sin|2x+—|+1

6

D.y=2sin（2%一2）+2

3（2022•广东•佛山市顺德区容山中学）已知函数"X）的部分图象如图所示，则函数"X）的解析式可能为

）

C./(x)=2sin《qJD./(x)=2sin[4x+

4.(2022•四川南充•二模)函数/<)=仄皿(2苫+0)]|0设3,4>°)的部分图像如图所示，/(。)=逐，则

/(•0关于点(晟,0)

对称B.76)关于直线彳=?对称

/G)在冷焉上是单调递增

D.

考点二定义域

【例2】(2022•陕西・西安市临潼区铁路中学)求下列函数的定义域.

J31

1A/-»-y—COSX+------y=------

(I)y=l+Vl-2sinx⑵V2⑶I+sinx

](1髓定义域为R；

(2)分式的分母不为零；

(3)偶次根式的被开方数不小于零；

(4)对数函数的真数必须大于零；

(5)正切函数〉=tanx的定义域为｛x|x*kn+五/wZ｝；

2

(6)xo中H0；

(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求

【一隅三反】

1.(2022•全国•高三专题练习)若函数/(x)=J2sin'n-1的定义域为()

715兀

A.—+4%兀,一+4%兀(%£Z)B.§+4左,§+4左(左£Z)

33

兀5兀「15

C.一+4%兀，一+4%兀(^eZ)D.一+4左，一+4左(^eZ)

_66J|_66

2.(2022•江苏)函数y=lnQ-2x—x2)+j2sinx—l的定义域是()

7i5n

A.D.

~6'~6

3.（2022・四川绵阳）函数y=的定义域为

兀

A.[—,+oo)

4

715兀K5兀

C.[2左兀+—，2左兀+——](fceZ)D.伙兀+—,左兀H-----](kGZ)

4444

（•全国•高三专题练习）函数（）（）龙吟）的定义域是（

4.2022y=Jlogl-2sinx-:)

522

A「万八］「兀兀）"「兀八、」兀兀一

A.--,0B.——C.一不0D.——

_2J|_26J|_2J|_26_

考点三值域

【例3-1】（2022•吉林）已知函数/G）=2sin（①彳-6）的最小正周期为，则函数V=/G）在区间°，3上

的最大值与最小值的和是.

【例3-2】(2021•全国•课时练习)E^[]/(x)=-2sin2x+3sinx+5,e,2；］,则/G）的最大值和最小值

分别为.

n

【例3-3］（2021•宁夏•吴忠中学高三阶段练习（理））当无e0,-时，不等式

m<sinx(cosx-Asinx)+■^<zn+2恒成立，贝U实数m的取值范围为.

【一隅三反】

1（2021•天津•高三期中）/（x）=sin（n-2x）+Asin（£+2x）在区间-看［的值域是.

2.（2022•北京二中）函数y=sinx-cos?x的值域为.

3.（2021•全国•专题练习）已知函数/5）=25山2（£+力-/32了.若关于x的方程/（x）-m=2在

71n

xw4,2上有解，则实数机的取值范围是-

4.（2022•四川•高三学业考试）已知函数/（x）=sin2犬+&cos2x,xGR.

⑴求函数/（%）的最小正周期;

71

（2）求函数〃x）在xe0,-上的最值.

考点四伸缩平移

【例4-1】（2022•重庆市育才中学高三阶段练习）为了得至!!/'（》）=5/5'＜：052为一5m2》的图象,可将函数

gX=2sin2x的图象（）

A.向左平移四个单位B.向右平移三个单位

66

TTTT

C.向左平移?个单位D.向右平移（个单位

【例4-2］（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））已知函数/（x）=4cos］2x+8|的图象为C,为了得到函

数gG）=4cos14x+Z）的图象，只要把C上所有点（）A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变

2

C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的L倍，横坐标不变

2

【例4-3］（2022•陕西•二模）要得到函数y=cos（2x+g］的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

A.向左平移是三个单位长度B.向左平移四个单位长度

1212

C.向右平移登三个单位长度D.向右平移3个单位长度

【例4-4】（2022•山西•怀仁市第一中学校二模（理））将函数/G）=sin1x+Vj的图象上所有点的横坐标变

为原来的一半、纵坐标不变，然后向右平移I个单位长度后得到函数'=8（。的图象，则（）

A.g（x）=sin（2x—B,g（x）=sin（2x—

C.g（x）=sin（2x—^^］D,g（x）=sin

【例4-5］（2022•四川达州•二模（理））将函数/（Q=sinx-WcosI图象上所有点向左平移〃（。〉0）个单位长

度，得到函数g（Q的图象，若g（X）是奇函数，则。的最小值是（）

5兀5兀-7T兀

A.—B.—C.-D.-

12663

【一隅三反】

1.（2022・四川师范大学附属中学二模（文））函数/（x）=sin（（ox+（p）其中（o＞0,|到＜；的图象如图所示,

为了得到（）的图象只要将/⑺的图象（

gx=sin3x)

向右平移?个单位B.向右平哇个单位

C.向左平移工个单位D.向左平稣个单位

6

2.（2022•内蒙古包头•一模）把函数＞=/（龙）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把

所得曲线向左平移三个单位长度，得到函数＞=cos”的图象，则/（%）=（

6(4

X兀x兀

A.cosI2x-----B.cos-+——C.cos2x+—D.cos

I12212I122~12

3.（2022-江西・南昌十中高三阶段练习）将函数y=sin2x+Aos2x的图象沿x轴向左平移＜p（（p＞0）个单位后,

得到关于y轴对称的图象，则中的最小值为（）

71

A兀c5兀

A.—BC.一D.——

12-；412

4.⑵22・陕西・模拟预测）把函数/⑺=的图象向左平移2个单位长度得到函数g（x）的图象,

若g（x）在［0M上是减函数，则实数a的最大值为（

A,如

CD

12:H

3.4.2三角函数的性质（2）（精讲）（基础版）

丫=人5加（83+6+8或丫=4（?05（3X+中）+8（4>0,CD>0）

类型一：B-0

0A：去一2A:最大值-A:最小值法二：代点

②^去一：u找两个横坐标七、x,<="r=|x1-x,

解

析〔法二：代点U只有一个横坐标时

式

③。：法•一：代对称轴法二：代对称中心法三：代点

类曼二：BwO

类型（Do、卬的来法同类型一

…①根据函数定义域求解法则列出不等式或不等式组

超曳」②解有关三角不等式时，单个函数可采用函数图像或三角函数线

三「解含有多个三角函数时多数录用三角函数线

角

①形如?二asinJT+Acosx十他三角函数化为尸/fcin（口工十。）十/

函

的形式.再求值域（最值）

数（②形如jr=a?dn2五+Asinr+曲三角函数,可先设sinr=f,化

的为关于I的二次函数求值域（最值）

性

y=A0n(3xr)+B或y=Acos((tK+(p)+BAy=Ataa(<Dx+<p)+B

质1

A、ln伸长

A（乘除）n伸缩

0<A<1=笫短

纵坐标

B（加表）n上下平移!B>On向上平移

B<On向下平移

g（汞除）=仲靖上4f变化倍数或倒数关系

却横坐标■

缩

律

规.9（加卢）=左右平移=平移时*的系数化成1

平

移①变换前后,由数的名称要一致,若不一致,应先利用法导公式转

化为同名函数

错点

②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个

困数的图象.切不口I弄错方向

老直1弛

考点一解析式

考点二定义域

例题初析

考点一解析式

【例1-1]（2022・山东一烟台二中）若函数/（工）=$桁（3%-中）卜>0抑归，的部分图象如图所示，则s和（P的

值是（）

D.co=—,(p=—

26

【答案】C

【解析】由图象可知二=丁-L，T=4=—，①=7，所以/（x）=sinJx—（p],

43v3Jco2<2J

f=sin'—①]=L.—5=2%+—,<P---（^eZ）,由于|cp|w：,所以9二一公.故选：C

【例1-2]（2022•全国•高三专题练习）如图所示，某地一天6〜14时的温度变化曲线近似满足函数

y=Asin（3x+（p）+b,则这段曲线的函数解析式可以为（）

.715兀

y=Asin(^-x+^-)+20,xe.[6,14]B.y=Asin(—x++20,

xe[6,14]

C.y=Asin(—x-—)+20,xe[6,14]D.y=Asin(—x-—)+20,xG[6,14]【答案】A

8484

【解析】由于T吟=2（14一6"⑹所以34,

又A=；(30—10)=10,所以b=20,故y=10sin]9+([)卜20,

又过点（）则有10sin(^-xl4+(|)j+20,即sin](|)+7兀

14,30,30==1,

4

77TTTS兀3TC(n3TIi

所以(|)+丁l=2左兀+—,。=2左兀—一,ZEZ,取左=1,。=—,得y=10sin[wX+彳卜20,符合题意选：A.

4244

71

【例1-3](2021•贵州•高三阶段练习)函数/(x)=£sin(5+9)+cos(GX+8)（Q>0,H<-）的部分图

象如图所示，则9=（)

71B.qC.n

D~3

6i

【答案】A

71[71

【角牟析】因为/(%)=>/3sin(cox+<p)+cos(cox+(p)=2sincox+cp+6,所以7(0)=2sin[(p+6=耳.

yrTCn2n

因为所以（P+7W,所以<p+'=",即中=:.故选：A

3'363o

【一隅三反】

1.（2022•甘肃武威）函数/（x）=Asin（（ox+（p）（A,co,p为常数，A>0,co>0,|<p|<1-）的部分图象如图所

示，则（P=（

兀

A.--D

336i

【答案】B

T7兀7171，则丁=2兀

【解析】由图可知人二右,=71,所以①=2,所以/(x)=&sin(2x+(p),

41234CO

771l7兀3兀

将—+(p=-V2,所以—+(p=：+2左兀/EZ,

662

又1cpi所以9=^■.故选：B.

2.（2021•陕西省洛南中学）已知函数g（x）=Asin（3x+（p）+-A＞0,①〉0,0＜邛＜兀）的部分图象如图所示，则

g（x）的解析式是（）

v

y—2sinf2,xH——j+1B.y=2sin[2x+—j+1

D.y=2sinf2x-1+2

\A+k=3T兀，兀、兀

【解析】由图象可得”,/解得/=2,41,由正弦型图象性质可得7=；--三

\-A+k=-i23V6J2

(且所以(色，所以

所以T=——=7i,解得3=2,又2x+p=^-+2kn,keZ,0<(p<7i,p=

co26

5K

y=2sin2x++1.故选：A

~6

3（2022•广东•佛山市顺德区容山中学）已知函数"X）的部分图象如图所示，则函数"X）的解析式可能为

)

X71

/(x)=2cosB.于（x）=ecos4x+-

2~3l4

D./(x)=2sin1+：

【解析】设/G）=Asin（3x+（p）,由图可知，A=2,=牛-午=兀，；♦T=4n,则①=牛=；

X/（0）=2sin（p=1,即sin（p=！，；.（p=三，

/G)=2sin^—x+=2sin^-x-y+yj=2cos[/X-gJ.故选：A.

4.(2022・四川南充・二模)函数/(x)=Asin(2x+0)||e|wg,A>0)的部分图像如图所示，/(0)=/,则

()

对称B./G）关于直线尤对称

上单调递减上是单调递增

【答案】C

【解析】由图可知4=2,且/（0）=』，所以/（0）=2sinC=道，即sin0=孚，因为所以。=三，

即/G）=2sin（2x+gj,因为/［^］=2sin］2x*+g］=2sing=2,所以函数/（Q关于直线x=£对称,

故A错误；

/（g］=2sin12xg+gj=2sin兀=0,所以函数/G）关于对称，故B错误；

对于C：由不＜无＜£,所以＜2x+w＜—,因为y=sinX在不,可上单调递减，所以

/（x）=2sin（2x+3］在［运苒］上单调递减，故C正确；

对于D：由囚＜尤＜把，则兀＜2%+:＜2兀，因为y=sinx在（兀,2兀）上不单调，所以/（%）=2而卜犬+?］在

363\37

）上不单调，故D错误；故选：C

考点二定义域

【例2】（2022・陕西・西安市临潼区铁路中学）求下列函数的定义域.

3

(l)y=l+Vl-2sinx(2)y="sx+岑()^=1+^%

7n；左兀--左兀；71

［答案］（1）2%兀—2兀，2左兀+工,(k£Z)(2)271,2H-----,(k£Z)(3){xIxw2knGZ}.

OO66

【解析】（1）要使得函数有意义，贝iJl—2sinx»0,即sinxwg解^彳导X£2左兀--71,2&71H----,(k£Z),

66

故函数定义域为2kn-ln,2kn+^,QeZ).

6o

(2)要使得函数有意义，则cosx+且20,即cosxN-更，解得

22L66_

故函数定义域为2版-3兀,2版，QeZ).

66

7T

(3)要使得函数有意义，贝iJl+sinxwO,即sinxw-l,解得无w2左兀-彳#eZ,故函数定义域为

71

{xIxw2左兀---,k£Z}.

丁(1麟定义域为R；

(2)分式的分母不为零；

(3)偶次根式的被开方数不小于零；

(4)对数函数的真数必须大于零；

(5)正切函的定义域为{.V|XHE+\keZ)；

(6)xo中HO；

(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求

【一隅三反】

1.(2022•全国•高三专题练习)若函数/(无)={2singx-l的定义域为()

n5K2+4鼠』+4%

A.一+4A1左兀，一+4左兀(jteZ)B.(女EZ)

_33__33_

~n5兀、4人,2+4%

C.一+4A1左兀，一十4左兀(^eZ)D.(ZEZ)

6666

【答案】B

兀7T7U5兀

【解析】由题意,2sin—x—1^0,—xG—+2^71,——1-2左兀(左£Z),贝UxG—+4k,—+4k(左£Z).

故选：B.

2.(2022•江苏)函数4=-(3-2无一尤2)+及sin的定义域是()

【答案】A

3—2%—%2＞0

【解析】由题知，2.12。’由3一2-＞。，解得-3。＜1

715兀

由2sinx-120解得，-+2kn<<—+2kn,keZ

6x6

当左=0时,

当左=1时,

当％=—1时,故选：A.

3.（2022•四川绵阳）函数y=Jsin（x-；）的定义域为

7l、

A.r[―,+00)

4

71571n5兀

C.[2攵兀+—，2左兀+—](keZ)D.[左兀H---，左兀H-----](%GZ)

4444

【答案】C

【解析】由函数y=Jsin（x-g）,则满足sin（x-£）N0,

兀7i5TC

令2左兀<x----<2攵兀+n,keZ,解得2左兀+—<x<2kn+——,（keZ）

444

TTSTC

即函数的定义域为[2左兀+下,2桁+一]（keZ）,故选C.4.（2022・全国•高三专题练习）函数

44

71

j=^log(l-2sinx)(---<xW:）的定义域是（)

52

7171An7i

A.B.「2%)D.

c.~2,6_

【答案】A

,1

sinx<—

l-2sinx>02sinx<0

【解析】由题意，得・log(l-2sinx)>0,则<l-2sinx>l,即<兀71，

----<x<

"口n兀22

I|IAXIA|<X<—

22,-22

71

□]£[-彳,0].故选：A.

2

考点三值域

【例3-1】（2022•吉林）已知函数/（x）=2sin|®xq，勺最小正周期为口，则函数y=/（x）在区间0,1上

的最大值与最小值的和是.

【答案】1或-3

E2兀

【解析】由题设，7=两=兀,则3=±2,

在0,-上，当①=2则2x-me[-v,彳],故/'(x)e[—1,2]；当①=一2则—2x——e[——，一下],故/(x)e[-2,—1]；

_3」662666

综上，最大值与最小值的和为1或-3.故答案为：1或-3

【例3-2】(2021•全国•课时练习)已知/(x)=-2sin2x+3sinx+5,门信母],则/G)的最大值和最小值

分别为.

【答案】549，6

O

【解析】因xjE边],又函数y=sinx在邑与上单调递增，在邑，马上单调递减，于是得sinxj：,l,

|_63」6223

而/(x)=—2sin2%+3sinx+5=—2(sinx—,因此当sinx=一时，f(x)=—,当sin%=l或工时，

484max82

f(x)=6,所以/(X)的最大值和最小值分别为学，6.故答案为：学，6

min88

n

【例3-3】(2021•宁夏•吴忠中学高三阶段练习(理))当无e0,-时，不等式

m＜sinx(cosx-＞/?sinx)+/"＜根+2恒成立，则实数m的取值范围为.

【答案】【解析】f(x)=sinx(cosx—\/3sinx)+,

I2)2

贝f(x)=sinx-cosx-\/3sin2x+^-=~sin2x-\/3x-~~cos+2^=1sin2x+cos2x=sinf2x+—1.

222222I3J

八兀一兀714

□xw0,一□2x+—G—,-Tlsinf2x+yjG

233

n

由题意知加＜%x)＜加+2在%£0,—上恒成立,

[m<f(x),<(.故答案为：-1,一^-

即7mhic口m2'1实数加的取值范围为-1,

Im>/(x)-2,I22

max\jn>—1,、JIJ

【一隅三反】

1(2021•天津•高三期中)f(x)=sin(7i-2%)+"山4+2%)在区间-的值域是.

2|_o3_

【答案】[。，2]

【解析】f(x)=sin(兀-2x)+>/3sin(—+2x)=sin2x+6cos2]=2sin(2x+—),

因为-三，巧，所以2]+?£[0,兀],所以sin(2%+m)w[0,1],所以函数/(%)的值域为[0,2].

6333

故答案为：[0,2].

2.(2022•北京二中)函数.

【答案】[-1,1]

4

【解析】依题意，原函数定义域为R,y=sinx-(1-sin2x)=(sin%+1)2-,而—iWsinxWl,

24

则当sinx=-g时，y=-y,当sin%=l时，V=1,所以所求值域是.故答案为：

2min4max44

3.(2021•全国•专题练习)已知函数/1(x)=2sin2(,+xj-gIcos2x.若关于x的方程=2在

7171

xe---上有解，则实数机的取值范围是.

【答案】[o,i]

【角军析]因为/(x)=2sin2+x]—bcos2x=l-cos[g+2x]-小cos2x

L(兀、「兀兀]兀「兀2兀](兀)「1

=1+sin2x-\J3cos2x=2sin\2x--\+lf因为xe—,y,所以2%—可£—,所以sin12x-wjw—,1

所以“X)的值域为[2,3],

关于X的方程〃x)-m=2在xe上有解，则关于X的方程“乃=机+2在xe上有解，所以

m+2e[2,3],所以所以实数机的取值范围是[。,1]故答案为：Eo.l]

4.(2022•四川,高三学业考试)已知函数/(%)=sin2x+褥cos2x,x£R.

(1)求函数/(%)的最小正周期；

71

⑵求函数/(%)在XW0,-上的最值.

【答案】(1)兀(2)最大值为2,最小值为-"

【解析】(l)Cl/(x)=sin2x+J？cos2x=2sin(2x+g，xGR,口丁=与=兀,即函数/(%)的最小正周期为兀.

.、「兀1兀「兀4兀1(兀、

(2)在区间0,—上，2x+—e—,nsin2x+—e——-,1,

-/(x)=2sin^2x+yW->/3,2],1/(x)的最大值为2,/(x)的最小值为-4.

考点四伸缩平移

【例4-1】(2022•重庆市育才中学高三阶段练习)为了得至1]/(》)=6<:。52犬-5m2》的图象，可将函数

gx=2sin2x的图象()

A.向左平移二个单位B.向右平移二个单位

66

C.向左平移|TT•个单位D.向右平移三TT个单位

【答案】C

JTJTTT717T

【解析】依题意,fM=2cos（2x+—）=2sin（—+2x+—）=2sin（2x+——）=2sin2（x+—）=g（x+—）,

626333

所以/（x）可由gG）向左平移g个单位得到.故选：C

【例4-2］（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））已知函数/G）=4COS12X+G］的图象为C,为了得到函

数g（x）=4cos［4x+z］的图象，只要把C卜.所有点（）

A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的L倍，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

2

D.纵坐标缩短到原来的工倍，横坐标不变

2

【答案】B

【解析】根据三角函数的图象变换，将/（x）=4cos（2x+%j的图象上所有点的横坐标缩