2023年高考数学一轮复习：立体几何（含解析）文

单元检测（八）立体几何

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.设a,0是两个不同的平面，则的充要条件是（）

A.平面a内任意一条直线与平面6垂直

B.平面a,8都垂直于同一条直线

C.平面a,8都垂直于同一平面

D.平面a内存在一条直线与平面8垂直

2.经过一个圆柱体上底面圆的一条直径作两个平面分别与下底面圆相切，则圆柱体在

这两个平面以下的部分就构成一个正劈锥体（如图），现将此几何体水平放置，从如图所示的

方向观察该几何体（正视方向所在的直线平行于所作两个平面的交线），则其正视图、侧视图、

俯视图的形状分别为（）

A.梯形、长方形、圆

B.三角形、长方形、圆

C.梯形、梯形、圆

D.三角形、梯形、圆

3.[2021•内蒙古高三二模]设1、m、n表示不同的直线，a、6、丫表示不同的平面，

给出下列四个命题：

①若m〃l,且mj_a,则lj_a；

②若aJ_0,m〃a,n±8,则m±n；

③若l〃a,且m〃a,贝l〃m；

④若m±n,m_La,n〃B,则aJ_B.

则正确的命题个数为（）

A.4B.3C.2D.1

4.[2022•河北唐山模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为

（）

1

俯视图

A.2mB.3C.A/TOD.2事

5.［2022•四川泸州检测］在正方体ABCD—ARCR中，下列说法中正确的是（）

A.AC与Bf是相交直线且垂直

B.AC与AJ是异面直线且垂直

C.BD|与BC是相交直线且垂直

D.AC与B［是异面直线且垂直

6.［2022•湖北名师联考］如图，正方体ABCD—AFfp中，点E,F分别是AB,AR的

中点，0为正方形ABCD的中心，则（）

1111

A.直线EF,A0是异面直线

B.直线EF,BB1是相交直线

C.直线EF与BQ所成的角为30°

D.直线EF,BB所成角的余弦值为中

1J

7.［2022•云南昆明模拟］如图①，已知PABC是直角梯形，AB〃PC,AB±BC,D在线段

PC±,AD,PC.如图②，将APAD沿AD折起，使平面PAD,平面ABCD,连接PB,PC,设PB

的中点为N.对于图②，下列选项错误的是（）

2

A.平面PAB_L平面PBC

B.BC_L平面PDC

C.PD±AC

D.PB=2AN

8.[2022•怀仁市一模]在矩形ABCD中，BC=4,M为BC的中点，将4ABM和4DCM分

别沿AM,DM翻折，使点B与点C重合于点P,若/APD=150°,则三棱锥M—PAD的外接球

的表面积为（）

A.12JtB.34JtC.68JiD.126n

9.[2021•陕西二模]刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其

一为阳马，一为鳖席，阳马居二，鳖瑞居一，不易之率也”.意思是：把一长方体沿对角面

一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开成两块,大的叫阳马，

小的叫鳖腌，两者体积之比为定值2：1,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视

图，则其外接球的体积为（）

A.4兀B.3兀

C.^3JiD.喙n

10.[2022•洛阳市高三年级统一考试]已知直三棱柱ABC—ARQ中，ZABC=120°,

AB=2,BC=CC=1,则异面直线AB|与BQ所成的角的正弦值为（）

A-f-f

C-雪》.平

11.[2022•江门市模拟]如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,ZABC=90°,DA=DC

=木,现沿对角线AC折起，使得平面DAC,平面ABC,此时点A,B,C,D在同一个球面上，

3

则该球的体积是（）

,9„872

A.一兀B.-31—兀

23

27

C.—JiD.12兀

12.[2022•广东深圳调研]在三棱锥P—ABC中，平面PBC，平面ABC,ZACB=90°,

BC=PC=2.若AC=PB,则三棱锥P—ABC体积的最大值为（）

16m32\/3

口27°。27

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13.[2022•四川绵阳检测]如图，正八面体的棱长为2,则该正八面体的体积为

AB

14.如图，四棱台ABCD—ABCD的底面是正方形，DD，底面ABCD,DD=AB=2AB,

11111111

则直线A4与BC所成角的余弦值为.

15.[2022•黑龙江齐齐哈尔市模拟]三棱锥P—ABC中，PA,底面ABC,PA=3,在底面

ABC中，AB=2,ZC=60°,则三棱锥P—ABC的外接球的体积等于.

16.[2021•陕西高三二模]将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结

论：①AB,CD所成的角为60。；②4ADC为等边三角形；③ACLBD；④AB与平面BCD所成

角60。.其中真命题是.（请将你认为是真命题的序号都填上）

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

4

17.（本小题满分10分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA，底面ABCD.

⑴求证：平面PAC，平面PBD；

（2）若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F,使BF〃平面PDE.

18.（本小题满分12分）

如图，四边形ABEF为正方形，AD〃BC,AD±DC,AD=2DC=2BC,

5

E

(1)求证：点D不在平面CEF内:

⑵若平面ABCDJ_平面ABEF,且AD=2,求点D到平面CEF的距离.

19.(本小题满分12分)

JT

如图，圆台叩的上底面半径为1,下底面半径为2,ZOBB=y,AA,BB|为圆台的母

线，平面AAOCU平面BBOO,M为BB的中点，P为AM上的任意一点.

11111

(1)证明：BB^OP；

(2)当点P为线段AM的中点时，求三棱锥B-OPB的体积.

6

20.（本小题满分12分）

JT

[2021•四川攀枝花统考]如图，已知三棱柱ABC—ARQ的所有棱长均为2,ZBBA=y.

(1)证明：BCX^mABC；

⑵若平面ABBA，平面ABC,M为A£的中点，求四棱锥耳一AC[M的体积.

7

21.(本小题满分12分)

[2022•安徽示范高中联考]图①是矩形ABCD,AB=2,BC=1,M为CD的中点，将△AMD

沿AM翻折，得至IJ四棱锥D—ABCM,如图②.

⑴若点N为BD的中点，求证：CN〃平面DAM；

(2)若ADLBM,求点A到平面BCD的距离.

22.(本小题满分12分)

[2022•福建福州质检]如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形,PA,底面ABCD,

PA=AB,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.

(2)若AB=3,F为线段BC的三等分点，求多面体PAEFCD的体积.

8

单元检测（八）立体几何

1.答案：D

解析：若a，B,则平面a内存在直线与平面8不垂直，选项A不正确；若平面a,

B都垂直于同一条直线，则平面a与B平行，选项B不正确；若平面a,B都垂直于同

一平面，则平面a,B可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面a内存在一条直线

与平面B垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知若则由面面垂直的性

质定理知，平面a内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面6,故选项D正确.

2.

9

正视方向

答案：B

解析：由题意知，正劈锥体的模型如图所示，按照题图的视角观察，其正视图的形状为

三角形，侧视图的形状为长方形，俯视图的形状为圆.

3.答案：D

解析：①根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”知，若m〃l,且a,则a

正确；故①正确，

②若aJ_B,m〃a,n_LB,则m_Ln错误，当m〃n时，也满足前面条件；故②错误，

③若l〃a,且m〃a,则l〃m不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故③错误,

④若nan,m±a,n〃6,则不一定成立，有可能平行.故④错误，

故正确的个数为1.

4.答案：B

解析：在棱长为2的正方体中，根据三视图，截取四棱锥P—ABCD如图所示.

根据三视图可得，AB=1,PD=2,AD=2.

根据立体图形可知，最长边为PB.

连接DB,在RtZSADB中，根据勾股定理得

DB2=AD2+AB?=22+12=5,

在Rt^PDB中，根据勾股定理得PBz=PDz+DBz=4+5=9,

所以PB=3.

故该几何体的最长棱的长度为3.

5.答案：D

解析：

10

连接AB「则AABf为等边三角形，则AC与BC是相交直线且所成角为60°,故A错误；

因为Ap〃Bf,所以AC与AJ是异面直线且所成角为60°,故B错误；

连接CD「因为BC_L平面CDD£,所以BCJ_CD」所以B?与BC所成角为锐角，故C错

误；

连接BD,BD,因为AC±BD,AC±DD,且BDnDD=D,所以AC_L平面BDDB,则AC±BD,

则AC与B?是异面直线且垂直，故D正确.

6.答案：C

解析：易知四边形AE0F为平行四边形，所以直线EF,A0相交，直线EF,BB1是异面直

线，直线EF,BB|所成角的余弦值为平，选项C正确.

7.答案：A

解析：由AB〃PC,AB±BC,AD±PC,

得AD〃BC.

VAD±PD,AD±DC,PDnDC=D,.*.AD±^®PDC.

又AD〃BC,；.BCJ_平面PDC,；.B正确.

平面PAD_L平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,PD±AD,AB±AD,Z.PD_L平面ABCD,

AB_L平面PAD.：ACu平面ABCD,APDXAC,；.C正确.

由AB,平面PAD,得ABLPA,.•.△PAB是直角三角形.又PB的中点为N,.・.PB=2AN,

/.D正确.

8.答案：C

解析：由题意可知，MP±PA,MP±PD.

且PAAPD=P,PAu平面PAD,PDu平面PAD,所以MP_L平面PAD.

AD

设4ADP的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得一^5=2匕

smZArD

11

4

即.=2r,所以r=4.

sml50

设三棱锥M—PAD的外接球的半径为R,则(2R)2=PMZ+(2r)2,

即(2R)2=4+64=68,所以R2=17,

所以外接球的表面积为4兀R2=68兀.

9.答案：D

解析：根据几何体的三视图知，该“阳马”是底面对角线长为镜的正方形，一条长为1

的侧棱与底面垂直的四棱锥，将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相

同，球直径等于长方体的对角线长，即2R=\j(9)2+1=嫡,R=*,

4/3

球体积为V=-JtRs=-A^-JT.

10.

答案：C

解析：如图，将题中的直三棱柱补形成一个直四棱柱ABCD-ABCD^连接AD,易知

BC^AD,所以/Bp1是直线AB|与BQ所成的角或者其补角.连接BR,在△ABR中，AB：

='22+12=4,AD]='12+12=W，BR=#22+12—2X2X1XCOS60。=5,AD?+BJ=

5=A&,ADLBD,sin/BAD=^=型=".因此，异面直线AB与BC所成的角的正弦

111111AB】45511

值为^故选C.

5

11.答案：A

12

D

H

A

解析：如图，取AC的中点E,连接DE,BE,

因为AD=CD,所以DELAC,

因为平面DACJ_平面ABC,平面DACn平面ABC=AC,DEu平面DAC,

所以DE,平面ABC,

因为NABC=90°,所以棱锥外接球的球心。在直线DE上，

因为AB=BC=2,NABC=90。,DA=DC=

所以BE=AE=CE="=/,DE=^/AD2-AE2=2,

设0E=x,贝！］0D=2-x,0B=yBE2+0E2=,X2+2,

所以2—X=、JX2+2,解得x=1,

13

所以外接球的半径为r=2-x=2--=",

,4兀n4兀39兀

外接球的体积为丫=获一=亍*(|)3=(

12.答案：D

解析：如图，取PB中点M,连接CM.

•.•平面PBC,平面ABC,平面PBCC平面ABC=BC,ACu平面ABC,AC±BC,；.AC，平面

PBC.

设点A到平面PBC的距离h=AC=2x.

VPC=BC=2,PB=2x(0<x<2),M为PB的中点,

ACMXPB,CM=^/4T®,

,=1xi---2x2\l4—X2

(x、4一X2)X2x=-0----.

A-PBC3

13

设t=[4—X2(0<t<2>贝!jx2=4—t2.

2t(4—12)8t—2t3

-(0<t<2).

A-PBC-33

8t—2t38-6t2

对丫=「^,0<t<2求导，得y，

3

13.答案：¥

解析：正八面体可看成由上、下两个相同的正四棱锥组成的，由棱长为2,可得每个正

四棱锥的斜高为。^三=地，高为后力=木,则该正八面体的体积为比等名X2=

85

3'

14.答案：¥

解析：设AB的中点为E,连接ED」则易知BE〃CR,BE=CR,.•.四边形EBCR是平行

四边形,四〃£%为直线A1与BQ所成的角...•四边形ABCD是正方形,；.BA，AD,

：DD_L底面ABCD,ABAXDD,又ADnDD=D,，BA_L平面AADD,ABAXAD,ZkAED是直

1111111

角三角形.设DD]=AB=2A]B]=2a,贝!JAD=^AD2+DDj=(2a)2+(2a)2=2y[2a,EDl

=+AE2=(2隹a)2+32=3a,.*.cosZADE=黑=

1

15.答案：留风

解析：设G为AABC外接圆圆心，。为三棱锥P—ABC外接球球心，

则OG_L平面ABC,作OM_LPA,垂足为M

由正弦定理可知4ABC外接圆直径:

14

ACAB24^3人八2m

2r_7^=----，.*.AG=-

=2AG=-sTinZBCAn33

sin-

,.,PAI平面ABC,OG_L平面ABC,AP//OG

又OM_LPA,AG±PA,,・・OM〃AG

・•・四边形OMAG为矩形，・・.OG=AM

设0G=x,OP=OA=R

r（

43

IX2+-=R2Ix=2

在RtZiOMP和RtZXOGA中，由勾股定理可得：］,解得：|.—

I（3-x）|=R卜=隼

2+J26

三棱锥P—ABC外接球体积：V=,"R3=色罩n.

16.答案：①②③

解析：在①中：•••将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到四面体A—BCD,

设AB=BC=CD=AD=2,

取BD中点0,AC中点E,BC中点F,连结AO,CO,OF,0E,EF,

贝ij0A=0C=W，且OA±OC,,・.0E=；AC=L

由三角形中位线定理得OF=：CD=1,EF=|AB=L且OF〃CD,EF〃AB,

.•./EFO是AB,CD所成的角，

.・.OF=EF=OE=1,1•△EFO是等边三角形，・・.NEF0=60。,

・・・AB,CD所成的角为60°,故①正确；

在②中：V0\=0C=yf2,且OA_LOC,AC=<2+2=2,

AC=CD=AD=2,

•••△ADC为等边三角形，故②正确；

在③中：・.・AB=BC=CD=AD,。是BD中点，

AA0±BD,CO±BD,又A0nC0=0,.江口上面人。。

・・・ACu面AOC,AAC±BD,故③正确；

15

在④中：•.》一BD—C是直二面角，AOXBD,

AOJ_平面BDC,/.ZABO是AB与平面BCD所成角，

VAO=BO,ZAB0=45°,

；.AB与平面BCD所成角为45°,故④错误.

17.解析：(1)证明：因为PA,底面ABCD,BDu平面ABCD,所以PALBD；又底面ABCD

为正方形，所以BD^AC,ACnPA=A,所以BD,平面PAC,又BDu平面PBD,所以平面PAC,

平面PBD,得证.

(2)如图所示，取PA的中点Q,PD的中点H,连接BQ、QH、HE,

所以会有QH〃AD,QH=|AD,又BE〃AD,BE=|AD,

所以QH〃BE且QH=BE,

所以四边形BQHE为平行四边形，

所以BQ〃EH,BQC面PDE,EHu面PDE,

所以BQ〃平面PDE,

所以Q点，即为我们要找的F点.

18.解析：

(1)证明：(反证法)假设点D在平面CEF内.

设C,D,E,F四点确定的平面为a.因为四边形ABEF为正方形，所以EF〃AB.因为平

面ABCD与平面ABEF不重合，所以EFC平面ABCD,又ABu平面ABCD,所以EF〃平面ABCD.

因为EFu平面a,平面ac平面ABCD=CD,所以EF〃CD；所以AB〃CD.AB,CD为直角梯

形ABCD的两腰，不可能平行，故假设不成立.点D不在平面CEF内.

16

E

(2)取AD中点H,连接HF,HC,由AD=2BC,所以AH=BC,且AH〃BC,所以AHCB为

平行四边形，且HC=AB,

：AB〃EF,且AB=EF,AC,H,E,F共面,

CHD

S.=；X1Xl=g,FA=W，FH=4,CH=yj2fCF=\jFP^-\-Ch=yj7f

FH2+CH2-CF21

所以cosNCHF=

2FH・CH

•%=加•CHsin/CHF答.由忆广仁皿得可1^『,•

,=胆5

故D到平面CEF的距离是变.

19.

解析：（1）证明：取0B中点N,连接NBjOB1，OM,

因为圆台Q0的下底面半径为2,上底面半径为1,ON=NB=1,

JI

所以BJLOB,又因为N0BB]=§,所以△OB]B为正三角形,

于是BB=BO=OB=2.

11

因为M为BB中点，所以BBL0M,

11

因为平面平面BB90,00X0A,

所以ACU平面BB£O,BB|U平面BBQO,

所以OALBBj

又因为OACOM=O,所以BBJ平面OAM,又因为OPu平面OAM,

所以BBJOP.

⑵连接PB,当点P为线段AM的中点时，△OBBj的面积为:X2X2X*=，iVB10PB

17

=VP-OBB=|VA-OBB=|X|XSAOBB1XA0=^

，三棱锥B—OPB的体积为岬.

1o

20.解析：（1）证明：如图，取AB中点D,连接BD,CD.

JI

•••三棱柱的所有棱长均为2,ZBBA=y,

AABC和aABB］都是边长为2的等边三角形，且BCXBC,

；.BD_LAB,CD±AB.

1

BD,CDu平面々CD,BDnCD=D,

；.AB_L平面BCD.VBCc平面BCD,AABXBC.

VAB,BQu平面ABQ,ABnBC=B,.♦.Bf平面ABC「

(2)•.•平面ABBJJ平面ABC,且两平面的交线为AB,

由(1)知BDJ_AB,平面ABC.

11

方法一VB-ACCM=3VB-AAM=3VA-ABM=3x|sAABM-BD=^AM-BM•BD=i

iiiiii3iii2ii12

方法二VB—ACCM=VABC—ABC—VB—ABC—VA—ABM=VABC—ABC——ABC=

‘iiiiiiiiiii2i

VABC-ABC-?x|vABC-ABC=^VABC-ABC=1s.BD=1x^X22X\/3=t.

iii23iii2iii2AABCi24v2

21.解析：(1)证明：如图，取AD中点P,连接MP,NP.

由N,P分别为BD,AD的中点,得NP〃AB且NP=；AB.

又MC〃AB且MC=^AB,所以MC〃NP且MC=NP,所以四边形MCNP为平行四边形.

所以CN〃MP且CNC平面DAM,MPu平面DAM,所以CN〃平面DAM

(2)如图，由AM=斓，BM=$,AB=2,可得AB2=AMz+BM2,

18

所以AM±BM.

D

又BM_LAD,ADGAM=A,所以BM_L平面ADM.

又BMc平面ABCM,

所以平面ADM,平面ABCM

取AM的中点E,连接DE.

因为AD=DM=L