2023年高考数学（文科）一轮复习：幂函数与二次函数

第4节塞函数与二次函数

11

考试要求1.了解幕函数的概念；结合函数y=X,y=X2,y=X3,y=电，y=、.的图

Ji

象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、

不等式之间的关系解决简单问题.

■知识诊断•基础夯实

)|知识梳理

L幕函数

(1)募函数的定义

一般地，形如y=w的函数称为底函数,其中x是自变量，a为常数.

⑵常见的五种基函数的图象

(3)易函数的性质

①募函数在(0,+8)上都有定义；

②当a>0时，募函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，募函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：〃x)=ax2+bx+c(aW0).

顶点式：/(x)=a(x—m)2+“(aW0),顶点坐标为(相，〃).

零点式：4x)=a(x—X])(x—々)3三°)，x,为"x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+Z7x+c(a<0)

定义域R_

4ac~b^।)(4ac-b^

值域[--------4--------a-----.，+-8J|—OO，.--------4--〃-----------_

_b

对称轴x=—一2任a

(b4ac—bi\

顶点坐标V—2a—4aJ

奇偶性当b=0时是偶函数，当bWO时是非奇非偶函数

在(-8,—A上是遨函数;在1—8,一同上是埴函数;

单调性

在［一5+8)上是度函数在［―白+8］上是遮函数

常用结论

L二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若危)=g+法+c(aWO)，则当]'时，恒有加)>0；当"<0’时，恒有危)<0.

[/<0/<0

3.(1)幕函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；

(2)募函数的图象过定点(1,1),如果幕函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是

原点.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)函数y=2x；是募函数.()

⑵当a>0时，募函数y=w在(0,+8)上是增函数.()

(3)二次函数,=以2+加c+c(aWO)的两个零点可以确定函数的解析式.()

_4-cic—Z?2

(4)二次函数y=ax2+/?x+c(xG［a,可)的最值一一定是.()

答案(l)x(2)V(3)X(4)X

解析⑴由于幕函数的解析式为/(X)=初，故y=2与不是幕函数，⑴错误・

(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,两个零点不能确定函数的解析式.

(4)对称轴x=-冬，当-白不在给定定义域内时，最值不是丝萨，故⑷错误・

2.(2021.全国甲卷)下列函数中是增函数的为()

A.八x)=—xB.f(x)=(|)

C.f(x)=X2D.f(x)=^[x

答案D

解析取玉=-1,X2=0,对于A项有/(々)=1,f(x2)=o,所以A项不符合题意；

对于B项有八匕)=|,八%)=1，所以B项不符合题意；对于C项有/(%)=1,>2)

=0,所以C项不符合题意.故选D.

3.(易错题)若函数y=mx2+x+2在[3,+8)上是减函数，则m的取值范围是

答案(一8,—j

解析当机=0时，函数在给定区间上是增函数；当机W0时,二次函数的对称轴

为直线x=-J-,

2m

m<0,

1：・mW-今

{"2m3'

4.(易错题)已知募函数段)=x，,若加+l)J10—2a),则a的取值范围是.

答案(3,5)

解析:•幕函数八x)=xJ在定义域(0，+8)上单调递减，

・•.由八。+1)410-2a),

a+1>0,

得［10-2a>0,：.3<a<5.

+1>10-2a,

11

5.(2018・上海卷)已知ae1—2,一211,2,3.若募函数/(x)=m为奇函

2?

数，且在(0,+8)上递减，则a=.

答案T

解析由丁=取为奇函数，知a取-1，1，3.

又y=我在(0,+8)上递减，

a<0，取a=-1.

6.已知函数式x)=-2xz+mx+3(0WmW4,OWxWl)的最大值为4,贝|m的值为

答案2碑

'wYm23

解析f()=-2x2+mx+3=-2|%++3,

x-4jT

ffl

.•.当x塔时，段)取得最大值,

.•华+3=4,解得机=2声

I考点突破•题型剖析

考点一幕函数的图象和性质

1.若募函数y=/a)的图象过点(4,2),则募函数y=Ax)的大致图象是()

答案C

解析设幕函数的解析式为>=初，

因为幕函数y=/W的图象过点(4,2),

所以2=4。，解得a=g.

所以y=8其定义域为［0,+8),且是增函数,当0<x<l时,其图象在直线y

=x的上方，对照选项，C正确.

2.若嘉函数八x)=(2b—1)取2_100+233,8GZ)为偶函数，且八X)在(0,+8)上是减函

数，则a,b的值分别为()

A.2,1B.4,1

C.5,1D.6,1

答案C

解析由幕函数的定义得2Z;-1=1,：.b=l.

又,：a?-10a+23=(«-5)2-2,函数作)为偶函数且在(0,+8)上为减函数,

...(°-5)2-2<0,故a=4,5,6.

又(a-5)2-2为偶数，=5.

3.如图是①y=x。；②y=劝；③y=xc在第一象限的图象，则a,b,c的大小关系为

()

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.a<c<b

答案D

解析由幕函数的图象和单调性可知”0,b>l,0<c<l,.\a<c<b,

4.(2021.郑州质检)募函数八x)=(租2—3m+3)m的图象关于y轴对称，则实数m=

答案2

解析由幕函数定义，知m2-3m+3=1,解得m=1或机=2，

当机=1时，f(x)=x的图象不关于y轴对称,舍去,

当机=2时，f(X)=X2的图象关于y轴对称,

因止匕m=2.

5.若(a+l)-；<(3—2a)-；,则实数。的取值范围是..

答案(—8,-i)u修D

解析不等式(a+1)-<(3—2。)-每价于a+l>3-2a>0或3-2a<a+l<0或a

33

23

+1<0<3-2a,解得□<-1或w<a<].

感悟提升1.对于幕函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为

六个区域，即X=1,y=1,y=x所分区域根据a<0,0<a<l,a=1,col的取值

确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幕值的大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助其单调性

进行比较.

3.在区间(0,1)±嘉函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),

在区间(1,+8)上，幕函数中指数越大,函数图象越远离x轴.

考点二二次函数的解析式

例1已知二次函数Ax)满足人2)=—1,八一D=-1,且大x)的最大值是8,试确定

该二次函数的解析式.

解法一(利用“一般式”)

设危)=ax2+bx+c(aWO).

4。+2b+c=-1,.

-4,

由题意得ja-"c=一1，解得%=4,

4ac-枕_

I---------=81。=7.

4。z

•••所求二次函数的解析式为危)=-4X2+4X+7.

法二(利用“顶点式”)

设/(x)=a(x-m)2+n(a^=O).

因为人2)=八-1),

11

所以抛物线的对称轴为x=±--m=

22-2-

-8

又根据题意，函数有最大值8,-

n2

+8

所以丁=危)=。X一

2J

因为｛2)=T,所以-g)+8=-1,解得a=-4,

所以八X)=-412+4x+7.

法三(利用“零点式”)

由已知八%)+1=0的两根为4=2,々=T，

故可设於)+1=g-2)(x+l)(a#0),

即f(x)=ax2-ax-2a-1.

—七曰士c口门4。(-2a-1)-(-(z)2

又函数有最大值8,即------丁一-———=8.

解得a=-4或a=0(舍).

故所求函数的解析式为八x)=-4也+4x+7.

感悟提升求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰

当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下:

宜选用

d三个点坐标I—

一般式

■I顶点坐标k、

已

J对称轴宜选用

如顶点式

d最大(小)值.

宜选用

*|与轴的两交点坐标｝

X零点式

训练1(1)已知二次函数八x)=a%2+fcc+l(a,bGR),x©R,若函数人x)的最小值

为八一1)=0,则｛x)=.

(2)已知二次函数八x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,并且对任

意xWR,都有式2—x)=/(2+x),则危尸.

答案(1)A2+2X+1(2)X2—4x+3

解析⑴设函数人1)的解析式为穴幻二。(1+1)2=ax2+2ax+a,

由已知於)=ax2+bx+1,

所以a=l,b=2a=2,故於)=XT+2X+1.

(2)因为八2-x)=f(2+x)对xeR恒成立,

所以y=段)的图象关于x=2对称.

又y=兀0的图象在x轴上截得的线段长为2,

所以｛x)=0的两根为2-|=1或2+|=3.

所以二次函数段)与工轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0).

因此设危)=a(x-l)(x-3).

又点(4,3)在y=/)的图象上,

所以3a=3，则a=L

故危)=(%-1)(%-3)=血-4x+3.

考点三二次函数的图象和性质

角度1二次函数的图象

例2(1)二次函数y=ax2+fcc+c的图象如图所示.则下列结论正确的是(填序

号).

①Z?2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a—b+c<0.

(2)设函数/(x)=x2+x+a(a>0),若角n)<0,则()

A人机+1)三0B人机+1)WO

C人m+D>0D./(m+l)<0

答案(1)①②⑤(2)C

_____b

解析⑴由题图知，a<0,-2。>°,c>0,

b>Q,ac<Q,

故②正确，③④错误.

又函数图象与x轴有两交点,

:.A=Z?2-4(zc>0,故①正确；

又由题图知八-1)<0，即a-"c<0,故⑤正确.

1

(2)因为/(x)的对称轴为x=2-,»=«>0,

所以大x)的大致图象如图所示.

由危")<0，得-l<m<0,

1

以

所-

2

所以加"+1)/0)>0.

角度2二次函数的单调性与最值

例3(1)函数｛x)=ax2+(a—3)x+l在区间［―1,+8)上单调递减，则实数。的取

值范围是()

A.［-3,0)B.(-8,-3］

C.［-2,0］D.［-3,0］

答案D

解析当a=0时，段)=-3x+1在［-1,+8)上单调递减，满足题意.

当时，段)的对称轴为直线X=Y,

2a

a<0,

j1-a〃解得-3Wa<0.

{HW-L

综上，a的取值范围为［-3,0］.

(2)(2021•西安模拟)已知段)=ax2—2x(0WxW1),求人幻的最小值.

解①当a=0时，«x)=-2x在［0,1］上递减，

•-»min=/(l)=-2.

②当。>0时,f(x)=ax?-2x图象开口方向向上,且对称轴为x=；.

(i)当;W1,即时，/(x)=ax2-2x图象的对称轴在［0,1］内,

,於)在［o,:上递减，在，，1］上递增.

•g)min=CH-|=］

(ii)当;>1,即0<a<l时,f(x)=am-2x图象的对称轴在［0,1］的右侧，

，管)在［0,1］上递减.

••&)min=()=a-2.

③当a<0时，於)=ax2-2x的图象的开口方向向下，且对称轴X=；<0,在y轴的

左侧，

：.f(x)=0X2-2%在［0,1］上递减.

-2.

a-2,«<1,

综上所述，网.

min--,

a

感悟提升L闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，

三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调

性及分类讨论的思想求解.

2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定

区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有

参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.

角度3二次函数中的恒成立问题

例4(1)已知。是实数，函数«c)=2ax2+2x—3在1,1］上恒小于零，则实

数。的取值范围是.

(2)函数八x)=Gx+3ax—25>1),若在区间［―1,1］上大x)W8恒成立，则实数。的

最大值为.

答案⑵2

解析(1)由题意知2ax2+2x-3<°在［-1,1］上恒成V.,

当x=0时，-3<0,符合题意，a©R；

n2

3_1

-_-

当XWO时26

3J

因为一£(-8,-1］U［1,+8),

x

所以当X=1时，不等号右边式子取最小值g,

所以吗

r

综上，实数。的取值范围是1-8-

2

(2)令ax=t,因为a>l,x^[-1,1],

所以WW,

原函数化为g(t)=t2+3t-2,reFl,a\,

_a_

显然g⑺在[,a]上单调递增，

_a_

所以八X)W8恒成立，即g(/)max=g(a)W8成立,

所以有(?2+3a-2W8,解得-5WaW2,

又a>l,所以l<aW2,所以a的最大值为2.

感悟提升由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(D一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是

否易分离.其中分离参数的依据是：aN/(x)恒成立Qa刃(x)max,aW/(x)恒成立Qa

勺(心环

训练2(1)(2021.长春五校联考)已知二次函数八X)满足大3+x)=A3—x),若兀0在区

间[3,+8)上单调递减，且人机)三八0)恒成立，则实数机的取值范围是()

A.(—8,0]B.[0,6]

C.[6,+°°)D.(—8,0]U[6,+8)

⑵(2022.泰安调研)当x£(0,+8)时，ax2—3x+a20恒成立，则实数。的取值范

围是.

答案(1)B(2)[|,+8)

解析⑴设段)=g+bx+c(a，b,cGR，且。*0)，

V/(3+x)=A3-x),

/.a(3+x)2+b(3+x)+c=a(3-x)2+b(3-x)+c,

.\x(6a+Z?)=0,.\6a+b=0,

：.f(x)=g-6ax+c=a(x-3)2-9a+c

又在区间［3,+8)上单调递减，

••.”0,・..危)的图象是以直线x=3为对称轴，开口向下的抛物线,

•••由加力河0)恒成立，得,

•••实数〃，的取值范围是[0,6].

(2)由aX2~3x+aN0，得。三-2£_^=-斗，x©(0,+°°),

%丫2+1x+-1

X

故x+〉2,当x=l时等号成立，

Ji

.,.y=—-，故aN/

x+-

x

(3)设函数兀0=%2—2x+2,x&[t,t+1],rER,求函数大彳)的最小值.

解/(%)=X2-2X+2=(X-1)2+1,x^[t,t+1],rGR,函数图象的对称轴为x=

1.

当t+1W1,即W0时,函数图象如图⑴所示,函数兀x)在区间上,t+1]上为减函

数，

所以最小值为加+1)=勿+1；

当t<l<t+1,即0<yl时，函数图象如图(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,

最小值为八1)=1；

当时，函数图象如图(3)所示，函数八x)在区间上,»+1]上为增函数,

所以最小值为八。=-2r+2.

综上可知，当W0时,f(x)=n+1,

min

当0<r<l时，於).=1,

当桧1时，加).=t2-2t+2.

分层训练•巩固提升

A级基础巩固

f(4)

1.若/(x)是募函数，且满足余歹=3,

A.3B.13C.gD.1

答案C

解析设於）=Xa，则（=2a=3,

2.若函数%)=(m2一机一1)疑是募函数，且其图象与坐标轴无交点，则加)()

A.是偶函数

B.是定义域内的减函数

C.是定义域内的增函数

D.在定义域内没有最小值

答案D

解析幕函数f(x)=(m2-m-l)xm的图象与坐标轴无交点，可得m2-m-1=1,

且机WO,解得机=-1,则函数是奇函数，在定义域上不是减函数，且

无最值.

3.(2021.河南名校联考)函数y=l—lx—切的图象大致是()

答案c

2

解析当OWxW1时，y=x2-x+l=[x-5]+

25

_+

_-

又当x>l或x<0时，y=-X2+x+l=4因此，口合图象，选项c正

确.

4.(2021・西安检测)已知函数"X)=XT,若〃=/(O.6o.6),Z7=/(O.6O.4),C=/(O.4O.6),则

a,b,c的大小关系是()

A.a<c<bB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案B

解析VO.4O,6<O,6O,6<O,6O,4,又y=/(x)=x-3在(0,+8)上是减函数，：.b<a<c.

5.若二次函数y=fcr2—4x+2在区间［1,2］上是单调递增函数，则实数左的取值范

围是()

A.［2,+°°)B.(2,+00)

C.(—8,0)D.(—8,2)

答案A

解析二次函数y=履2-4x+2图象的对称轴为直线x=)当人>0时，要使函数

y=皿-4x+2在区间［1,2］上是增函数,只需,解得上三2；当k<0时,|<0,

此时抛物线的对称轴在区间［1,2］的左侧，则函数丁=区2-4X+2在区间［1,2］±

是减函数,不符合要求.综上可得实数k的取值范围是［2,+8).

6.募函数,=取，当a取不同的正数时，在区间［0,1］上它们的图象是一组美丽的

曲线(如图)，设点4(1,0),5(0,1),连接A3,线段A3恰好被其中的两个募函

数丁=.，y="的图象三等分，即有砌f="N=N4,那么4一了=()

1

A.OB.lD.2

答案A

解析BM=MN=NA,点A(1,0),5(0,1),

所以唱'J谓,S'

将两点坐标分别代入y=xa,y=xb,

得a=logi-,b=log2-,

.1121n

：.a-T=logi--——=0.

b户iJ?

31崂

7.已知函数式%)=%2+机%—1,若对于任意入£加，m+1］,都有作)<0成立，则实

数m的取值范围是.

答案［W，0)

解析因为函数图象开口向上，

f(m')=m2+m2-1<0,

所以根据题意只需满足

/(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-l<0,

解得-¥<m<0.

8.(2021.青岛联考)已知函数段)=x2—2ax+b(a>l)的定义域和值域都为［1,a］,则

b=.

答案5

解析/(x)=x2-2ax+b的图象关于x=a对称,

所以大x)在［1,例上为减函数,

又大力的值域为［1,a］,

f(1)=1-2a+b=a

所以

f(a)=a2-2ci2+b=1.

消去b,得42-3a+2=0,解得a=2(a>l),

从而得b=3a-1=5.

9.设函数式x)=a%2—2x+2,对于满足l<x<4的一切x的值都有大x)>0,则实数

a的取值范围为.

答案g+8)

解析由题意得«>|-0对1。<4恒成立，

%%，

22n2111

又+

一-

一<<

-一--

X24X

X227

.但2、_1.1

,,bx2Jmax22,

10.已知函数八x)=ax2+fct+l(a,b为实数,aKO,x©R).

(1)若函数八x)的图象过点(一2,1),且方程式x)=0有且只有一个根，求八x)的表达

式；

(2)在(1)的条件下，当x©[3,5]时，g(x)=Ax)一乙是单调函数，求实数上的取值

范围.

解(1)因为仁-2)=1,

即4a-2b+1=1,所以b=2a.

因为方程大x)=0有且只有一个根,

所以A=岳-4。=0.

所以4a2-4。=0,所以a=1,b=2.

所以Y(X)=X2+2X+1.

(k-2)2k-2)

(2)g(x)=/(x)-kx=X2+^x+l-kx=x2-(k-2)x+1=%+1-

I2)I2J

由g(x)的图象知，要满足题意，

k-2k-2

则-yN5或”-W3,即栏12或左W8,

所以所求实数k的取值范围为(-8,8]U[12,+8).

11.已知二次函数外)满足於+1)—危)=2x,且八0)=1.

(1)求八x)的解析式；

(2)当xG[—1,1]时，函数y=/(x)的图象恒在函数y=2x+机的图象的上方，求实

数m的取值范围.

解(1)设｛x)="2+bx+c(a#O),

由於+1)-八x)=2x,得2ax+a+b=2x.

所以，2a=2且a+b=O,解得a=l,b=-1,

又八O)=1,所以c=1.

因此危)的解析式为»=x2-x+l.

(2)因为当%e[-1,1]时,y=危)的图象恒在y=2x+m的图象上方,

所以在[-1,1]±,X2-x+l＞2x+m恒成立；

即-3x+1＞机在区间[-1,1]上恒成立.

所以令g(x)=X2-3%+1=(X-|j2-,

因为g(x)在[T,1]上的最小值为g(l)=-1,所以机＜-L

故实数m的取值范围为(-8,-1).

||B级能力提升

12.已知在(一8,1]上递减的函数危)=X2—2a+1,且对任意的人，x2e[0,t+1],

总有A%)—大々)1或2，则实数/的取值范围是()

AL中,娘]B.[l,y]2]

C.[2,3]