2023年高等数学上册知识点

三角函数公式

同角三角函数的基本关系式：

倒数关系：商的J关系：平方关系：

1sin%secx

tan%=------------=tanx=-------22

cot%cos%-------------CSC%sinx+cosx=1

1cos%CSC%

CSCx=------------=cotx=-------22

sinxsin%-------------sec%1+tanx=secx

1

secx=------22

cosx1+cotX=CSCX

二倍角日勺正弦、余弦和正切公式三倍角日勺正弦、余弦和正切公式

2

sin(2a)=2sinacosa=----------------3

tana+cotasin3%=3sinx—4sinx

cos(2a)=(cosa)2—(sina)2=2(cosa)2—1

33

=1—2(sina)2cos3%=4cos%—3cosx=3tanx—tanx

2tana3tanx—tan3x

tan(2a)=------------tan3%=-------------------

1-tan2a1—3tan2%

asinx+bcosx--Ja2+b2sin(x±0)

tan2a=sec2a—1,其中0角所在象限由a、b的符号确定，\

y。角的值由tan©=,确定y

两角和与差日勺三角函数：万能公式：

2tan

cos(a+夕)=cosacosp—sinasin0sinx=------------

1+tan22

1—tan2・

cos(a_0)=cosacos/?+sinasin0cosx=------------

1+tan22

2tan

sin(a±S)=sinacos0+cosasin0tan%=-----------

1-tan25

,、tana+tanB

tan(a+0)=」

1—tanatan0

tana—tanB

tan(a0)=«„

1+tanatan0

和差化积公式：积化和差公式：

a+°a—/31I

sina+sin0=2sin---cos---sina-cosB=辽[sin(a+夕)+sin(a—夕)]

H22

a+0a-/31

sina—sin8=2cos---sin―--cosa・sin夕=2[sin(a+/?)—sin(a—夕)]

“22

a+0a—01

cosa+cosB=2cos---cos---cosa■cosP=2[cos(a+S)+cos(a—£)]

a+pa-P1

cosa—cos夕=—2sin---sin---sina•sinp=—][cos(a+S)—cos(a—0)]

等比数列日勺求和公式:

a—aq^(1—qn)

S联rn

i-q1一q

等差数列求和公式:

nQ-an)n(ji-1)

na

Sn--------2------—i+------2-----d

立方和差公式：

X3—y3=(%—y)(%2+xy+y2)

x3+y3=(久+y)(x2—xy+y2)

xn—an—(x—a)[xn-1+axn~2+—Fxan~2+an-1]

对数日勺概念：

假如a(a>0,且aHl)的b次易等于N,即产=N,那么数5叫做以a为底N的对数，记作:

logaN=b.

由定义知：

(1)负数和零没有对数；

(2)a>0,且aALN>0；

NlogaW

(3)loga1=0,logaa=l,\ogaa-N,a=N.

对数函数日勺运算法则：

()loga(M-N)=logaM+logaN

()loga(M+N)=logaM-logaN

n

()logaM=nlogflM

log/logaN

loga匕

()logamN"=£10gaN

三角函数值

角度a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

1V2V3V3V21

sina02TT1TT20-10

V3V211_V2_V3

cosa10-101

TT2-222

V3_V3

tana01V3-V3-100

T/3/

导数公式;

(1)⑹，=o(2)

(3)(sinx)'=cos%(4)(cosx),=—sin%

(5)(tanx)/=sec2x(6)(cotx),=—esc2x

(7)(secx)z=sec%tan%(8)(cscx)z=—esc%cot%

(9)(a*)'=axIna(10)(吟,=/

1

(11)(10gX)'=(12)(Inx)'=；

axlna

(13)(arcsin%)，=彳=京

(14)(arccosx)r=—~^==

(15)(arctan%)f

(16)(arccot%)z

基本积分表：

(1)fkdx-kx+C(k是常数)，

(2)Jx^dx=------FC(〃W1)

(3)/华=ln|x|+C

(4)/急=wctan%+C

(5)Jtan%dx=-ln|cosx|+C

(6)Jcotxdx=ln|sinx|+C

(7)Jsecxdx=ln|secx+tanx|+C

(8)fcscxdx=ln|cscx—cotx|+C

/、rdx1八%।一

(9)I——T=-arctan-+C

Jaz+xzaa

/cdx1,x-a,c

(10)xJ——-二一In—+C

Jxz-az2ax+a

rdx.x,

(z11)x,=arcsin-+C

Voa2-o%2a

22

(12)j.：口2-1n(%+V%+a)+C

(13)

第一章函数与极限

第一节映射与函数

一、集合

假如a是集合A日勺元素，就说a属于A,记作aeA；假如a不是集合A日勺元素，就说a不属于

A,记作a0A.

全体非负整数即自然数的集合记作N,即N={0,1,2,n,…};

全体正整数的集合为N+={1,2,…，n,…};

全体整数的集合记作乙即2={...,-n,,-2,-1,0,1,2,,n,...}；

全体有理数日勺集合记作Q,即Q=《|pCZ,qeN+且p与q互质}；

全体实数日勺集合记作R.

假如集合A与集合B互为子集，即AuB且BuA,则称集合A与集合B相等，记作A=B.例

如，设

A={1,2},B={%I/—3%+2=0}.

则A=B

若AuB且AHB,则称A是B的真子集，记作AGB.

不含任何元素日勺集合称为空集，规定空集中是任何集合A日勺子集，即中UA.

设A、D、C为任意三个集合，则有下列法则成立：

(1)互换律AUB=BUA,AnB=BClA;

(2)结合律(auB)uc=au(Buc),(anB)nc=an(Bnc)

(3)分派律(auB)nc=(anc)u(Bnc),(anB)uc=(auc)n(Buc)

(4)对偶律(4UB)c=膜ClB。，(AClB)。=膜UB。

二、映射

定义设X、Y是两个非空集合，假如存在一种法则f,使得对X中每个元素x,,按法则f,在Y中有

唯一确定日勺元素y与之对应，则称f为从X到Y日勺映射，记作

f：X-Y

其中y称为元素x(在映射f下)日勺像，并记作了f(%),即

y=f(%)

而元素X称为元素y(在映射f下)的一种原像；集合X称为映射f的定义域，记作0,即Df=X；X中所

有元素的像所构成的集合称为映射f的值域，记作号或f(X),即

Rf=/(X)={/(X)|xGX)

三、函数

定义设数集DUR,则称映射f：D-R为定义在D上的函数，一般简记为

y=/(%)，xGD

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作必，即=

假如两个函数的定义域相似，对应法则也相似，那么这两个函数就是相似的，否则就是不一样

日勺.

在自变量日勺不一样变化范围中，对应法则用不一样式子来表达的函数，一般称为分段函数.

函数的几种特性：

(1)函数日勺有界性

假如存在正数M,使得

1/(%)I<M

对任一KCX都成立，则称函数/(%)在X上有界•假如这样日勺M不存在，就称函数/(%)在X上无界;这就

是说，假如对于任何正数M,总存在4CX,使|/(久J>M,那么函数/(%)在X上无界.

轻易证明，函数/(%)在X上有界日勺充足必要条件是它在X上既有上界又有下界.

(2)函数的单调性

(3)函数的奇偶性

设函数/(久)日勺定义域D有关原点对称.假如对干任一xCD,

/(一%)=/(%)

恒成立，则称/(%)为偶函数.假如对干任一xeD,

/(一%)=-fix)

恒成立，则称/(%)为奇函数.

偶函数的图形有关y轴是对称日勺，奇函数的图形有关原点是对称日勺，反函数的图形有关y=x对

称.

函数y=sin%是奇函数.函数y=cos%是偶函数.函数y=sin%+cos%既非奇函数，也非偶函数.

(4)函数日勺周期性

设函数/(久)日勺定义域为D.假如存在一种正数I,使得对于任一xGD有(％±，)C。且

/(%+2)=/(%)

恒成立，则称/(%)为周期函数,2称为/(%)的周期，一般我们说周期函数的周期是指最小正周期.

初等函数:

募函数：y=%"（pCR是常数）

指数函数：y=a%（<2>0且aH1）

对数函数：y=loga%（a>0且aH1,特别当a=e时，记为y=ln%）

三角函数：y=sin%

反三角函数：y=arcsinx

以上这五类函数统称为基本初等函数.

由常数和基本初等函数通过有限次的四则运算和有限次的函数复合环节所构成并可用一种式子表达

时函数，称为初等函数.

，匚；言、……:…….……叶…:.-j….

…:…内却…(.口……J3/*

y=iog“x

j1:kp0

7（。<"1）

—1--1---1---1------1---1—

/143....°.…!.…!...

neworg

对数函数与指数函数

当a>0且aW1,N=a*等价于％=logaN,对数函数是指数函数的I反函数.

正切函数丫丑2皿的性质

定义域{x|XWg+k7r',kw

值域

周期性周期函数,周期是R

奇偶性奇函数图象关于原点对称。

单调性增区间（一+A乃+A乃）（AeZ）无减区间

第二节数列的极限

定义设｛&｝为一数列，假如存在常数a,对于任意给定日勺正数e（不管它多么小），总存在正整数

N,使得当n>N时，不等式

\xn-a\<6

都成立，那么就称常数a是数列｛务｝日勺极限，或者称数列｛功｝收敛于a,,记为

limx=a

"T8n

假如不存在这样时常数a,就说数列｛/J没有极限，或者说数列氏九｝是发散日勺，习惯上也说

lim汽几不存在.

n—>8

定理1（极限的唯一性）假如数列｛0｝收效，那么它日勺极限唯一.

定理2（收敛数列的有界性）假如数列｛%｝收效，那么数列｛今｝一定有界.

根据上述定理，假如数列｛&｝无界，那么数列｛/｝一定发散，不过，假如数列｛&｝有界。却不能断

定数列｛0｝一定收敛，因此数列有界是数列收敛日勺必要条件，但不是充足条件.

定理3（收敛数列的保号性）假如lim%n=a,且a〉0（或a<0）,那么存在正整数N>0,当

71T8

n>N时，都要%n>0(或无n<0).

定理4(收效数列与其子数列间的关系)假如数列｛功｝收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，

且极限也是a.

第三节函数的极限

定义1设函数f(%)在点久0日勺某一去心邻域内有定义.假如存在常数A,对于任意给定的正数£(不

管它多么小)，总存在正数8,使得当扪黄足不等式0<|久-时，对应日勺函数值/(%)都满足不等

式

1/(%)-A\<S

那么常数A就叫做函数f(x)当久t&时的极限，记作

lim/(%)=4或f(x)t4(当％tx0)

X->X0\J

我们指出，定义中0<|x-表达％WXo，因此％T&时/(%)有无极限，与/(%)在点久0与否有

定义并无关系.

定义2设函数f(%)在当团不小于某一正数时有定义.假如存在常数A,对于任意给定的正数£(不

管它多么小)，总存在着正数X,使得当x满足不等式|%|>X时，对应日勺函数值/(%)都满足不等式

1/(%)--£

那么常数A就叫做函数/(%)当X—3时日勺极限，记作

lim/(x)--4或f(x)-4(当％7°°)

8

定理1(函数极限时唯一性)假如存在，那么这极限唯一.

X^XQ

定理2(函数极限的局部有界性)假如lim/(%)=4那么存在常数M>0和5>0,使得当0<

X^xo

|%-孙|<3时,有|/(X)|WM.

定理3(函数极限的局部保号性)假如lim/Q)=4且A>0(或A<0),,那么存在常数3>

0,使得当0<|x-%ol<6时，有/(%)>0(或/(%)<0).

第四节无穷小与无穷大

定义1假如函数/(%)当％T%o(或Xt°°)时日勺极限为零，那么称函数/(%)为当%一%。(或X-

8)时的无穷小

尤其地，以零为极限日勺数列｛功｝称为n—8时日勺无穷小.

定理1在自变量的I同一变化过程久—&(或X-8)中，函数/(%)具有极限A日勺充足必要条件是

T/(%)-A+a,其中a是无穷小.

定义2设函数/(%)在右的某一去心邻域内有定义(或阳不小于某一正数时有定义)，假如对于

任意给定日勺正数M(不管它多么大)，总存在正数5(或正数X),只要久适合不等式0<仅-々)|<3

(或|%|>X),对应日勺函数值/(%)总满足不等式

1/(%)|>M

则称函数/(%)为当为一久0(或X—8)时日勺无穷大.

1

定理2在自变量的同一变化过程中，假如/(%)为无穷大，则大为无穷小;反之，假如/(%)为无

1

穷小，且/(久)中0,则K为无穷大.

第五节极限运算法则

定理1有限个无穷小时和也是无穷小.

定理2有界函数与无穷小日勺乘积是无穷小.

推论1常数与无穷小日勺乘积是无穷小.

推论2有限个无穷小日勺乘积也是无穷小.

定理3假如lim/(x)=A,lim^(x)=B,那么

(1)lim[/(x)+g(%)]=lim/(x)±limg(%)=A+B

(2)lim[/(x),g(%)]=limf(%)・limg(x)=A-B

(3)若又有BWO,则

f(x)limf(x)A

hm,,=--------—

g(x)limg^x)B

推论1假如lim/O)存在，而c为常数，贝=dim/(%).

推论2假如lim/O)存在，而n是正整数，则lim[/(%)-=[limf(x)]n

定理6(复合函数的极限运算法则)设函数y=/[g(%)]是由函数〃=g(x)与函数y=/Q)复合而

成，/[。(久)]在点％o的I某去心邻域内有定义，若limg(%)=tto，lim/(u)=A,且存在幅>0,当久e

X~^XQU~^UQ

U(x0,诟)时，有g(%)丰u0,则limf[g(x)]-lim/(u)=A

X^XQU^UQ

第六节极限存在准则两个重要极限

两个重要极限:

lim(1+-j=e

>8\X/

准则I假如数列｛%｝、｛%｝及｛Z"｝满足下列条件：

(1)从某项起，即m&eN,当n>加时，有

-'n—Z九

(2)limy=a,limz=a

72—8n22——>con

那么数列｛/｝的极限存在，且lim&=a(称为：夹逼准则)

71T8

准则n单调有界数列必有极限

柯西极限存在准则数列｛0｝收敛日勺充足必要条件是:对于任意给定日勺正数£,存在着这样日勺正整数N,

使得当m>N,n>N时，就有

I—I<£

这准则的几何意义表达，数列｛久"收敛日勺充足必要条件是:对于任意给定日勺正数£,在数轴上一切具有

足够大号码的点出中，任意两点间的距离不不小于&

柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理.

第七节无穷小时比较

定义：

假如lim(=O,就说0是比a高阶的;无穷小，记作0=0(a)

假如lim§=8,就说0是比a低阶日勺无穷小.

假如limf=cA0,就说p是比a同阶日勺无穷小.

假如lim£=cW0,k>0,就说B是有关a时/c阶无穷小.

假如lim?=L就说0与a是等价日勺无穷小，记作a~"

等价无穷小：(1+1)五一1~；汽，sinx,%—tan%,x~arcsin%,1—cosx^|x2,In(%+1)〜%,

靖〜1+x

定理1B与a是等价无穷小日勺充足必要条件为：0=a+o(a)

定理2设a〜a',0〜/,且lim与存在，则

。但

lim—=lim—

aar

第八节函数的持续性与间断点

定义设函数y=/Q)在点光。日勺某一领域内有定义，假如

limAy=lim[/(x+△%)—/(x)]=0

△久—0A%->000

那么就称函数y=/(%)在点久o持续.

因此，函数y=/(%)在点久o持续日勺定义又可论述如下：设函数y=/(%)在点&日勺某一领域内有定

义，假如：

lim/(%)=/(x)

X^XQ0

那么就称函数/(%)在点%0持续.

设函数/(%)在点沏的某去心邻域内有定义•在此前提下，假如函数/(%)有下列三种情形之一：

(1)在X=久0没有定义;

(2)虽在％=&有定义，但不存在；

%->%0

(3)虽在％=%o有定义，且lim/(%)存在，但lim/(久)H/(%()),

%->%0%->%0

则函数/(%)在点％0为不持续，而点％0称为函数/(%)日勺不持续点或间断点.

函数间断点日勺几种常见类型：

(1)无穷间断点

(2)震荡间断点

(3)可去间断点

(4)跳跃间断点

一般把间断点提成两类：假如久0是函数/(%)时间断点，但左极限/(&-)及右极限/(&+)都存在，

那么出称为函数/(久)的I第一类间断点.不是第一类间断点日勺任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点

和跳跃间断点为第一类间断点.无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.

第九节持续函数的运算与初等函数的持续性

定理1设函数/(%)和以久)在点与持续，则它们日勺和(差)、积及商都在点与持续.

定理2假如函数y=/Q)在区间4上单调增长(或单调减少)且持续，那么它日勺反函数为=

广1(%)也在对应日勺区间4={y|y=/(久)，上单调增长(或单调减少)且持续.

一般肛对于形如“(%)伏X)(w(x)>0,u(x)S1)的函数(一般称为塞指函数)，假如

limit(%)—a>0,limv(x)-b

那么

limn(%)”(久)=ab

第十节闭区间上持续函数的性质

定理1(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上持续的函数在该区间上有界且一定能获得它的最

大值和最小值.

定理2(零点定理)设函数/(%)在闭区间［a,b］上持续，且/(a)与/(b)异号，那么在开区间

(a,b)内至少有一点彳，使

定理3(介值定理)设函数/(%)在闭区间［a,b］上持续，且在这区间的端点取不一样的函数值

/(a)=4及f(b)-B

那么，对于A与B之间日勺任意一种数C,在开区间(a,b)内至少有一点孑，使得

推论在闭区间上持续的函数必获得介于最大值M与最小值m之间的任何值.

第二章导数与微分

第一节导数概念

定义设函数y=/(%)在点久0的I某个邻域内有定义，当自变量为在%。处获得增量A%(点为o+△久仍在该邻

域内)时，对应时函数获得增量△、=/(&+△%)—/(&)；假如Ay与之比当AKTO时的极限存在，

则称函数y=/(%)在点&处可导，并称这个极限为函数y=/(%)在点&处的I导数，记为/'(&),即

Ax—O

/(&+九)-/(&)

也可记作V|久5,言d/(x)

i。'~dT

常数和基本初等函数日勺导数公式:

(1)(C)'=O(2)(%")'=[IX林T

(3)(sinx)'=cos%(4)(cos%)，=—sin%

(5)(tanx)/=sec2x(6)(cotx),=—esc2x

(7)(secx)A=sec%tan%(8)(cscx)A=—esc%cot%

(9)3)'=axIna(10){exy=靖

1

(11)(12)(Inx)'=|

Ooga=xlna

(13)(arcsin%)z

(14)(arccosx)r=—^===

(15)(arctan%)4=

(16)(arccotx)/=

函数日勺和、差、积、商日勺求导法则:

(u±v)'=ur+vr(Ca)'=Cur

(uv)r=u'v+uv

'urv—uv

Gp2

极限存在的充足必要条件是左、右极限都存在且相等。

假如极限不存在，就说函数丫=/(%)在点出处不可导。假如不可导日勺原因是由于&TO时，比

式胃-8,为了以便起见，也往往说函数y=/(%)在点&处的导数为无穷大.

由此可见，当△%7()时，AyT0,这就是说，函数y=/(%)在点无处是持续的I,因此，假如函数

y=/(%)在点％处可导，则函数在该点必持续.

另首先，一种函数在某点持续却不一定在该点可导.

第二节函数的求导法则

定理1假如函数虱="(%)及》=双%)都在点％具有导数，那么它们日勺和、差、积、商(除分母为

零日勺点外)都在点久具有导数.

定理2假如函数％=/(y)在区间与内单调、可导且广(y)HO,则它的反函数y=/T(%)在区间

内也可导，且

Ix-{x\x-/(y),ye/y}

尸⑺广亳或黑=总

dy

反函数日勺导数等于直接函数导数的倒数.

定理3假如虱=g（x）在点％可导，而y=/Q）在点a=g（久）可导，则复合函数y=/［。（久）］在点%

可导，且其导数为

dy-dydydu

瓦=/，Q).g，(%)或备=而后

第三节高阶导数

%

(靖)⑺=e

[Ind+x^W=C-ir-1^(n—^IV

(sin%)(")=sin(%+ri■](cos%)(")=cos(%+ri

莱布尼茨公式:

n

Qu)5)=C《ll(n-k)U(k)

k=0

第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数有关变化率

一般的，若参数方程

X—0⑴

(3)

y=皿⑴

确定y与久间的函数关系，则称此函数关系所体现的函数为由参数方程（3）所确定的函数.

dy=4'⑴

dx(p'(t)

d2y_叨〃(t)0'(t)一叨'(t)8''(Q

dx20'3Q)

第五节函数的微分

定义设函数y=/Q）在某区间内有定义，&及%o+A%在这区间内，假如增量

△y=/(久0+△%)-/(&)

可表达为

Ay=ALx+o(Ax)

其中A是不依赖于△%时常数，那么称函数y=/(%)在点%°是可微日勺，而4A%叫做函数y=/(%)在点%。对

应于自变量增量△加勺微分，记作dy,即

dy=Al^x

函数/(%)在点&可微日勺充足必要条件是函数/(%)在点&可导，且当/(%)在点与可微时，其微分一

定是

,

dy—7(%0)A%

函数y=/(%)在任意点加勺微分，称为函数日勺微分，记作dy或d/O),即

dy—尸(%)A%

一般把自变量X的I增量△%称为自变量的I微分，记作dx,即dx=A%.于是函数y=/(%)的)微分又可

记作

dy=f'(x)dx

第三章微分中值定理与导数时应用

第一节微分中值定理

费马引理设函数/(%)在点&的某邻域u(%o)内有定义，并且在&处可导，假如对任意日勺％eu(&),

有

f(x)</(%o)或(/(%)>/(%0))

那么广(久0)=0.

一般称导数等于零时点为函数日勺驻点(或稳定点，临界点).

罗尔定理假如函数/(%)满足

(1)在闭区间［a,b］上持续；

(2)在开区间(a,b)内可导;

(3)在区间端点处日勺函数值相等，即f(a)=f(b),

那么在(a,b)内至少有一点S(a<f<b),使得尸(f)=0.

拉格朗日中值定理假如函数/(%)满足

(1)在闭区间［a,b］上持续；

(2)在开区间(a,b)内可导；

那么在(a,b)内至少有一点孑(a<f<匕)，使等式

f(b)-/(a)=/'(f)(a-b)

成立.

定理假如函数/(%)在区间I上日勺导数恒为零，那么/(%)在区间I上是一种常数.

柯西中值定理假如函数/(%)及FQ)满足

(1)在闭区间［a,b］上持续；

(2)在开区间(a,b)内可导；

(3)在任一％G(a,b),F'(x)=0

那么在(a,b)内至少有一点"使等式

/(a)—/⑹(⑷

F(a)-F(b)-

第二节洛必达法则

定理1设

(1)当久—a时，函数/(久)及F(x)都趋于零；

(2)在点a日勺某去心邻域内，尸(%)及〃(%)都存在且「(久)A0；

(3)lim曰存在(或为无穷大)，

那么

/(%)((%)

期府二蚂河5

这种在一定条件下通过度子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的措施称为洛必达法则.

假如第当％-a时仍属于T型，且这时/'(%)，/(%)能满足定理中/(%),FQ)所要满足口勺条

件，那么可以继续施用洛必达法则先确定lim黑，从而确定lim偿，即

x^aFMx^aF(x)

/(%)_「/'(、)_rf〃(x)

蚂r西==甄曲面

且可以以次类推.

定理2设

(1)当久-8时，函数/(久)及F(K)都趋于零；

(2)当|%|〉N时,广(%)及尸(%)都存在，且F'(%)WO；

(3)lim祟存在(或为无穷大)，

%->ooF'(%)

那么

lim--~~=lim-~—~

%T8尸(%)

其他尚有某些0・8、00-00,0。、I00、8。型的未定式，也可通过2或史型的未定式来计算.

0oo

第三节泰勒公式

泰勒中值定理假如函数/(%)在具有与日勺某个开区间(a,b)内具有直到(九+1)阶的导数,

则对任一

xE(a,b),有

0))0)

/(%)=/&)+/，(&)(%―久。)+—「'(久(久一&)2+…+产中(久Q一岛⑴

其中

&(%)=*畀(…。尸

这里《是%。与%之间的某个值.

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

定理1设函数y=/（%）在［a,b］上持续，在（a,b）内可导.

（1）假如在（a,1））内尸（为）＞0,那么函数y=/（%）在［a,b］上单调增长；

（2）假如在（a,b）内广（%）＜0,那么函数y=/（%）在［a,b］上单调减少.

定义设/（%）在区间/上持续，假如对/上任意两点的，K2恒有

/（%1+%2）＜/（久1）+/（久2）

那么称/（%）在/上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；假如恒有

/（如+犯）＞/（%1）+/（久2）

那么称/（%）在/上日勺图形是（向上）凸日勺（或凸弧）.

定理2设/（%）在［a,b］上持续，在（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在（a,b）内/〃（%）＞0,则/（%）在［a,b］上的图形是凹的；

（2）若在（a,b）内/〃（%）＜0,则/（%）在［a,b］上日勺图形是凸的.

求持续曲线y=/（%）日勺拐点：

（1）求/〃（%）；

（2）令/〃（无）=0,解出这方程在区间/内日勺实根，并求出在区间/内/'（%）不存在的点；

（3）对于（2）中求出日勺每一种实根或二阶导数不存在的点&,检查广（%）在&左、右两侧邻近日勺符

号，那么当两侧日勺符号相反时，点卜。，/（久0））是拐点，当两侧日勺符号相似时，点（%。，/（%。））不是拐点.

第五节函数的极值与最大值最小值

定义设函数/（%）在点久0日勺某邻域UQo）内有定义，假如对于去心领域（JO。）内日勺任一久，有

/（%）＜/（沏）或/（%）＞/（%0）

那么就称/（久0）是函数/（久）日勺一种极大值（或极小值）.

定理1（必要条件）设函数/（%）在点&处可导，且在&处获得极值。那么尸（出）=0.

定理2（第一充足条件）设函数/（%）在点&处持续，且在与日勺某去心邻域。（久。,5）内可导.

(1)若％C(久0-6,为0)时，尸(%)>0,而％e(%0，%o+b)时，尸(久)<0,则/(%)在％0处获得极

大值;

(2)若为6(%0-6,&)时，尸(%)<0,而％C(%o，%o+b)时，尸(久)>0，则/(%)在出处获得极

小值；

(3)若久6仃(沏，3)时，尸(无)日勺符号保持不变，则/(%)在&处没有极值.

第四章不定积分

第一节不定积分的概念与性质

定义1假如在区间I上，可导函数FQ)日勺导函数为/(%),即对任一支C/,均有

F'(x)—/(%)或dF(x)-f(x)dx

那么函数FQ)就称为/(%)(或/(%)口)在区间I上的原函数.

原函数存在定理假如函数/(%)在区间I上持续，那么在区间I上存在可导函FQ),使对任一

XE/均有

尸(%)=f(x)

简朴地说就是:持续函数一定有原函数.

定义2在区间I上，函数/(%)日勺带有任意常数项日勺原函数称为/(%)(或/(久)也)在区间I

上日勺不定积分，记作

J/(%)dK

其中记号』称为积分号，/(%)称为被积函数，/(%)d£称为被积体现式，久称为积分变量.

J/(%)dx=F(x)+C

基本积分表：

(1)fkdx-kx+C(/c是常数)，

c+l

(2)Jx^dx=----FC(〃W1)

(3)f—=ln|x|+C

(4)f-^7=arctanx+C

Jl+x2

(5)Jtan%dx=-ln|cosx|+C

(6)fcotxdx=ln|sinx|+C

(7)fsecxdx=ln|secx+tanx|+C

(8)fcscxdx=ln|cscx—cotx|+C

rd%1.x

(9)22=-arctan-+C

Ja+xaa

dx1】x-a

(10)—Fr+c

,rdx.X,

(11)xi°,=arcsin-+C

Jva2-%2a

(12)J*=ln(%+〃2+a2)+c

(13)f-1n|%+V%2-a2\+C

不定积分的性质:

性质1设函数/(%)及g(%)的原函数存在，则

J[/(%)+g(%)]d%=J/(x)dx+Jg(%)d%

性质2设函数/(%)日勺原函数存在，上为非零常数，则

fkf(x)dx=kjf(x)dx

第二节换元积分法

定理1设/Q)具有原函数，虱=卬(%)可导，则有换元公式

Jf[<pM](p\x)dx=[/f(u)du

u=<p(x)

一般的I,对