中考数学高频考点突破-一次函数与三角形综合【附解析】

中考数学高频考点突破次函数与三角形综合

1.如图，在平面直角坐标系中，直线)，=&+4与x轴交于点儿与)，轴交于点&

3

(1)求点力，8的坐标：

(2)点产从4点出发，沿射线40方向运动，速度为每秒一个单位，当/为何值时，△

月6尸为直角三角形？(直接写出答案)

(3)点、E(5,0)过点£作直线LLx轴，点C在直线/上，点。在x轴上，以力、B、

C、。四个点组成的四边形是平行四边形，请直接写出点。坐标.

2.如图1,直线y=一2x+6与y轴交于点与x轴交于点。，直线48交x轴于点8,△

4

AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线力。上的点C处.

(1)求08的长；

(2)如图2,F,G是直线上的两点，若旧G是以FG为斜边的等腰直角三角形,

求点F的坐标：

(3)如图3,点尸是直线力4上一点，点。是直线力。上一点，且P,0均在第四象限,

点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形,求点E的坐标.

3.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=-2A-十8的图象与x轴，y轴分别交于点力,

点、C,过点/H乍48_Lx轴，垂足为点儿过点。作C8_Ly轴，垂足为点C,两条垂线相

交于点B.

(1)线段力8,BC,4c的长分别为力4=,BC=,AC=

（2）折叠图I中的△.44C,使点力与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕0E交

于点、D,交4c于点E,连接8,如图2.

①求线段/I。的长：

②在y轴上，是否存在点尸，使得△力产力为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件

的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系内，点。为坐标原点，经过点力（2,6）的直线交x轴负半轴

于点8（-4,0）,交j轴于点C,直线力。交x轴正半轴于点Q,若△/14。的面积为7.

（1）求直线48和直线力。的解析式；

（2）横坐标为〃？的点P在线段上（不与点4,夕重合），过点P作x轴的平行线交

AD于点E,设PE的长为“，求〃与5之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范

围；

（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点E使为等腰直角三角形？若存在,

直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图，一次函数歹=3.什6的图象与x,y轴分别交于4,8两点，点。与点”关于y轴

对称.动点P，。分别在线段ZC,AB上（点尸与点儿C不重合），且满足/8PQ=N

BAO.

（1）求点儿A的坐标及线段的长度：

（2）当点P在什么位置时，△APQQMBP,说明理由;

（3）当△尸08为等腰三角形时，求点尸的坐标.

6.如图，在长方形48co中，点。为坐标原点，点8的坐标为（8,6）,点A,C在坐标

轴上，直线y=2.6与力8交于点。，与y轴交于点E.

（1）分别求点。，E的坐标.

（2）求△COE的面积.

（3）动点P在8C边上，点0是坐标平面内的点.

①当点0在第一象限，且在直线y=2x-6上时，若△/尸。是等腰直角三角形，求点。

的坐标.

②若△4P。是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点。的

纵坐标/的取值范围.

7.如图.在直角坐标系中，直线y=-什〃与丫轴正半轴,），轴正半轴分别交于点力，/?.

点尸（2,（））,点E在第一象限，△OE/为等边三角形，连接力E,BE

（1）求点E的坐标；

（2）当8E所在的直线将尸的面积分为3：1时，求理的面积；

（3）取线段48的中点P,连接PE,OP,当△。£夕是以。£1为腰的等腰三角形时，则方

=（直接写出b的值）

8.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数歹=-2x+8的图象与4轴，），轴分别交于点儿

点C，过点4作轴，垂足为点儿过点。作轴，垂足为点C,两条垂线相

交于点从

（1）线段48,BC,47的长分别为48=,BC=,AC=；

（2）折叠图1中的△."G使点力与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交

/1B于点、D,交AC于点E,连接C。，如图2.

请从下列力、8两题中任选一题作答，我选择题.

A：①求线段的长；

②在y轴上，是否存在点P,使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件

的所有点。的坐标；若不存在，请说明理由.

B：①求线段OE的长；

②在坐标平面内，是否存在点夕（除点8外），使得以点力，P,C为顶点的三角形与△

力4c全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

9.在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点力的坐标是（-4,0）,点8的坐标是（0,b）

（占＞0）,点〃是直线45上的一个动点，记点—关于y轴对称的点为”.

⑴当b=3时（如图1）,

①求直线48的函数表达式.

②在x轴上找一点。（点。除外），使△/P0与△/OB全等，直接写出点0的所有坐标

（2）若点。在第一象限（如图2）,设点。的横坐标为a,作PC_Lx轴于点。，连接4P',

CP'.当△4CP'是以点P'为直角顶点的等腰直角三角形时，求出〃，力的值.

（3）当线段。?恰好被直线43垂直平分时（如图3）,直接写出方=.

上的一点，且满足OC：BC=3：5.

（1）求线段的长；

（2）设点。关于原点O对称的点为点M,过点M作直线/平行于歹轴.试问在直线/

上是否存在点尸，使得△48户是以为--条直角边的直角三角形？若存在，请求出点尸

的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点G是线段4c上的一个动点，过点6作60〃8。，交力8于点。，连接BG,

设点G的横坐标为/,△BGO的面积为S,求S与z之间的函数关系式.

11.已知直线尸-亲+4与x轴和y轴分别交于44两点，另一直线过点力和点C（7,3）.

（1）求直线4C对应的函数关系式；

（2）求证：ABLAC；

（3）若点P是直线4C上的一个动点，点。是x轴上的一个动点，且以P、0、4为顶

点的三角形与△〃力全等，求点。的坐标.

12.如图，在直角坐标系中，直线尸奈+6与x轴，y轴分别交于点力，B,点、C（a,3）

在第一象限内，连接OC，BC,OC//AB.动点P在18上从点4向终点8匀速运动，同

时，动点。在CO上从点C向终点。匀速运动，它们同时到达终点，连接尸。交50于

点D.

（1）求点6的坐标和。的值.

（2）当点0运动到0C中点时，连接OP,求AOP。的面积.

（3）作交直线48于点R

①当△尸0尺为等腰三角形时，求C。的长度.

②记。〃交8c于点E,连接则。E的最小值为.（直接写出答案）

13.如图，在平面直角坐标系X。，中，A（-3,0）,B（4,0）,C（0,4）,E,M为线段

力。上两个不重合的动点（点E在点M上方，且均不与端点重合），EF//AB,与BC交于

点、F,四边形为平行四边形，连接8M

（1）求直线/1C与直线8c的解析式；

（2）若设点厂的横坐标为x,点M的纵坐标为6当四边形EUA厂为菱形时，请求y关

于x的函数解析式及相应x的取值范围；

（3）请求出当为等腰三角形时，平行四边形/面枳的最大值.

14.如图1,将两块全等的三角形纸片△/〃为与△COO放置在平面直角坐标系中，若它们

的直角边的长分别为1,2,过点4C作直线上尺

(1)求直线E/的函数表达式；

(2)如图2,若△/1OB沿直线E厂平移得到△HOb(点4在线段力C上，不与点.4,C

重合)，两块纸片重叠部分所形成的四边形PQM”的面积是否存在最大值？若存在，请

15.如图，直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点力，B,交y轴于点C,CZ)〃x轴

交直线,48于点。，动点。在CZ上从点C向终点力匀速运动，同时，动点。在08上

从点。向终点4匀速运动，它们同时到达终点，设点P，。的横坐标分别为〃?，〃.

(1)求04,OC的长.

(2)求m关于n的函数表达式.

(3)点。关于x轴的对称点为。'.

①连接力。'，CQ',当△/1C。'是直角三角形时，求〃?，〃的值；

②点「关于直线QQ'的对称点为P',当点尸'在△4CQ内部时，力的取值范围

是.

B

O

IO'

16.如图1,在平面直角坐标系中，直线,4A：y=ax-2〃交x轴正半轴于4交尸轴正半轴

于5.

（I）用含。的式子表示△404的面积S；

（2）如图2,在第一象限内取一点。，使△/B。为以48为斜边的等腰直角三角形，连

线。C,求直线0。的解析式：

（3）如图3,过点力仕彳。_1_44交直线OC于。，在力。的延长线上取一点凡连接3产

交x轴于G,若BF+DF=AB+AD,求点G的坐标.

17.如图，在矩形/18C。中，点O为坐标原点，点8的坐标为（2,1）,点4。在坐标轴

上，点P在〃。边上，直线/i：y=2x+l,直线，2：y=2x-1.

（1）分别求直线/i与x轴交点坐标，直线/2与48的交点坐标；

（2）已知点M在第一象限，且是直线/2上的点，若是等腰直角三角形，求点M

的坐标；

（3）已知矩形ANPQ的顶点N在直线/2上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x,

请求出x的取值范围.

18.如图，在平面直角坐标系中，点力，B,C的坐标分别是（4,0）,（0,3）,（9,0）.过

直线48上的点P作PC的垂线，分别交x,y轴十点区F.

（1）求直线48的函数表达式.

（2）如图，点尸在第二象限，且是E/的中点，求点尸的横坐标.

（3）是否存在这样的点P,使得△/IPE是等腰三角形？若存在，求点。的坐标；若不存

在，试说明理由.

19.已知，A（0,8）,B（4,0）,直线y=-x沿x轴作平移运动，平移时交直线04于点

D,交直线04于点C.

（1）如图1.当直线j=-x从点O出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移，

平移到达点A时结束运动，过点。作，轴交,4右于点儿连接CK,设运动时间为/

（5）.

①是否存在f值，使得△C。月是以CO为腰的等腰三角形？如果能，请直接写出相应的

/值：如果不能，请说明理由；

②如图2,将△CQE沿QE翻折后得到△EM1,设△£6'与重叠部分的面枳为S.求

S与/的函数表达式；

（2）如图3,若点M是4B的中点,将"C绕点M顺时针旋转90°得到MV,连接4V,

请直接写出AN+MN的最小值.

20.如图1,在平面直角坐标系中，三角形力8c如图放置，点C（（）,4g），点小B

在工轴上，且08=404,tanZCZ?O=V3.

（1）求过点力、C直线解析式；

（2）如图2,点M为线段8C上任意一点，点。在0C上，且CO=DM,设M的横坐

标为八△CDM的面积为S,求S与，之间的函数关系式，直接写出/的取值范围；

（3）在（2）的条件下，如图3,在04上取点N,这N作NFLDM,垂足为点八连接

CF,AF,NDCF+NAFN=60°,N/=80时，求点。的坐标.

图1图2图3

参考答案：

1.【分析】（1）根据直线;，=^x+4与x轴交于点力，与y轴交于点从可以求得点力和点8

的坐标；

（2）根据题意可以得到当/为何值时，△48。为直角三角形；

（3）根据题意作出合适的辅助线，利用平行四边形的性质和分类讨论的方法，可以求得

点。的坐标.

【解答】解：（1）•・•直线n=名.什4,

3

・••当y=0时，x=・3,当x=0时，y=4,

・•・点4的坐标为（-3,0）,点8的坐标为：（0,4）；

（2）当/为4或空时，△力8P为直角三角形，

4

理由：当/8笈=90°时，此时点P与点O重合，此时f=OB=4,

当NB”=90。时，△BAO-ABPA,则需嘴■,

丁点4的坐标为（・3：0）,点B的坐标为：（0,4）,

.•・。力=3,。吐4,

f：ZBOA=90°,

：,AB=5,

•.•4二5一,

5BP

解得，8尸=至，

4

由上可得，当/为4或空时，△48。为直角三角形；

4

（3）点。坐标是（2,0）、（8,0）或（-8,0）,

理由：当四边形力是平行四边形时，

•・•点力的坐标为（-3,0）,点8的坐标为：（0,4）,点E的坐标为（5,0）,

:・BCi=5,

•・•四边形ABCyDy是平行四边形，

：,BC\=AD\.

'.AD\=5,

•・•点力的坐标为（-3：0）,

・•・点。I的坐标为（2,0）,

当点。在点力的左侧时，同理可得，点。3的坐标为（-8,0）；

四边形ABD2c2是平行四边形时，

则EDi=OA,

•・•点力的坐标为（-3,0）,点七的坐标为（5,0）,

：.OA=3,

.•・。。2=8,

・・・。2的坐标为（8,0）；

由上可得，点。坐标是（2,0）、（8,0）或（・8,0）.

2.【分析】(1)设8c=08=x,则80=8-x,在RtZ\8CO中，根据8c2+。2=以)2,构

建方程即可解决问题；

(2)作G"J_x轴于W,"N_Lx轴于N,由△DMG空△FNO(AAS),推出GM=DM

DM=FN,设GA/=OM=m,DM=FN=n,根据G、尸在直线,伤上，构建方程组即可

解决问题；

(3)如图，设。(a,・*+6),因为PQ〃x轴，且点。在直线尸・2x+6上，推出尸

(国小・3〃+6),PQ=—a,作0〃_Lx轴于〃.由勾股定理可知：。〃：DH：。0=3：

848

4：5,想办法构建方程即可解决问题.

【解答】解：(1)对于直线箕=一旦.什6,令x=0,得到y=6,可得力(0,6),

4

令y=0，得到x=8,可得。(8,0),

AC—AO—6OD—8♦AD=d0A2+0D2=10,

：.CD=AD-AC=4,设BC=OB=x,则8O=8-x,

在Rt^BCO中，\,BC1+CD2=BD2,

/.X2+42=(8-x)2,

**»x=3>

:.B(3,0).

(2)设直线的解析式为y=依'+6,

,：B(3,0),

・・・3A+6=0,

:・k=-2,

，直线/A的解析式为y=-2x+6,

作GMlx轴于M,尸N_Lx轴于N,

•••△QR7是等腰直角三角形，

；・DG=FD,Z1=Z2,ZDMG=ZFND=90°,

:.XDMGmXFND(AAS),

:・GM=DN,DM=FN,设GM=DN=m,DM=FN=n,

•・・G、/在直线48上，

贝ij：m=・2(8-〃)+6，-n=-2(8-w)+6,

解得："7=2,〃=6

：,F(6,-6).

（3）①当点七在y轴左侧时，

如图，设。（a,--6+6）,

4

•・・P0〃x轴，且点尸在直线y=-2x+6上,

.J（久，-戛+6）.

84

3

:・DH=a-8,QH=^a-6,

.QH3

DH4

由勾股定理可知：Qlb.DH：DQ=3：4：5,

：.QH=^DQ=^a,

••士=驾・6,

84

.,.a=16,

:.Q(16,-6),P(6,-6),

■:ED//PQ,ED=PQ,D(8,0),

:.E<-2,0).

②当点E在y轴右侧时，

同理可得：点E(3.4,0)(舍去)；

故点E的坐标为(-2：0).

3.【分析】(1)利用•次函数图象上点的坐标特征可求出点儿。的坐标，利用矩形的性质

及勾股定理，可得出4?，BC,4c的长；

(2)①设力。=〃，则CO=a,BD=8-a,在RlZXBCQ中，利用勾股定理可求出a的

值，进而可得出线段的长：

②设点尸的坐标为(0,Q,利用两点间的距离公式可求出力。2,AP2t。尸的值，分力Q

=<D,<D=QP及4P=DP三种情况,可得出关于，的一元二次方程(或一元一次方程)，

解之即可得出，的值，进而可得出点P的坐标.

【解答】解：(1)当x=0时，y=-2r+8=8,

・••点。的坐标为(0,8)；

当y=0时，-2x+8=Q,解得：x=4,

・••点力的坐标为(4,0).

由已知可得：四边形。力8c为矩形，

：.AB=OC=S,BC=OA=4,"=而居^『=4心

故答案为：8；4；4dm.

(2)①设则CO=a,BD=S-a.

在跳△48中，CD2=BC2+BD2,即々2=42+(8-篦2,

解得：a=5,

，线段4。的长为5.

②存在，设点尸的坐标为(0,/).

•・•点力的坐标为(4,0),点。的坐标为(4,5),

：,AD2=25,AP2=(0-4)2+(/-0)2=3+16,DP2=(0-4)2+(「5)2=P-10/+1.

当/P=/i。时，於+16=25,

解得：/=±3,

・••点P的坐标为（0,3）或（0,-3）；

当力。=。尸时，25=/2-10/+41,

解得：。=2,e=8,

・••点P的坐标为（0,2）或（0,8）；

当力尸=。尸时，/2+16=/2-10/+41,

解得：

2

・•・点尸的坐标为（0,—）.

2

综上所述：在），轴上存在点P,使得△4PQ为等腰三角形，点尸的坐标为（0,3）或（0,

-3）或（0,2）或（0,8）或（0,8）.

4.【分析】（1）根据直线48交x轴正半轴于点8,交j轴于点C,OB=OC,设出解析式

为^=-1+〃，把力的坐标代入求得〃的值，从而求得4的坐标，再根据三角形的面积建

立方程求出的值，求出的值，从而求出。点的坐标，直接根据待定系数法求出

AD的解析式；

（2）先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将尸点的横坐标代入直线AB的解析

式，求出户的纵坐标，将尸点的纵坐标代入直线力。的解析式就可以求出E的横坐标，

根据线段的和差关系就可以求出结论；

（3）要使为等腰直角三角形，分三种情况分别以点。、E、尸为直角顶点，根据

等腰直角三角形的性质求出（2）中加的值，就可以求出少点的坐标.

【解答】解：（1）•；OB=OC,

，设直线48的解析式为y=〃[x+〃，

•・•直线48经过力(2,6),8(・4,0)

.f2m+n=6

-4m+n=0

.m=l

••<9

n=4

・•・直线AB的解析式为歹=x+4,

:,B(4,0),

：,OB=4,

的面积为27,A(2,6),

:.SMBD=—x8。X6=27,

2

:,BD=9,

・・・。。=5,

：.D(5,0),

设直线AD的解析式为y="+/),

.'2k+b=6

…5k+b=0，

解得”“2.

lb=10

・•・直线力。的解析式为y=-Zr+10；

(2);点。在卜，目横坐标为加.

:.P(m,m+4)t

••,QE〃x轴，

・•・£■的纵坐标为“+4,

代入y=-2x+10得，川+4=-2x+10,

解得x=3-乎

2

：，E(3—,/»14),

2

：,PE的长〃=3---m=3--：

22H

g|Jv=-X/+3,(-4<w<2),

2

(3)在x轴上存在点E,使△「所为等腰直角三角形,

①当N尸PE=90°时，如图，

y.

A

/BO\Z）\x

有PF=PE,PF=m+4,PE=-X//+3,

2

3

w+4="—〃?+3>

2

解得加=-2,此时尸（-2,o）；

55

②当N必产=90"时，如图，有EP=EF,£产的长等于点£的纵坐标,

3

/.ni+4=~

2

解得：加=-2.

5

・••点E的横坐标为x=6二%》

25

:,F（生，0）；

5

③当NPFE=90"时，如图，WFP=FE,

:・/FPE=/FEP.

VZFPE+ZEFP+ZFEP=\W,

:・NFPE=NFEP=45’.

作FRLPE,点R为垂足,

/.ZPF/?=I800・4FPE-4PRF=45°,

:・/PFR=/RPF,

：,FR=PR.

同理q=E&,

：,FR=­PE.

2

•・•点火与点£的纵坐标相同，

.\FR=m+4,

ni+4=—（-—w+3）»

22

解得：，〃=-也，

7

:・PR=FR=m+4=-⑭+4=殁，

77

，点尸的横坐标为邛弯仔.

：.F（竺0）.

7

综匕在X轴上存在点F使APEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（-2,0）或（工L,

55

0）或（B,0）.

7

5.【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点力,4的坐标，结合点C与点力

关于y轴对称可得出点。的坐标，进而可得出线段4c的长度；

（2）当点尸的坐标是（2,0）时，△4P0空△C8P,由点4,P的坐标可得出4尸的长

度,由（1）可知8c的长度，进而可得出力。=。从通过角的计算及对称的性质可得出

N4QP=NCPB,/PAQ=/BCP,结合力尸=C8可证出△/PQg/XCBP（力力S）,由此可

得出：当点P的坐标是（2,0）时，尸0名△C8P；

（3）分PB=PQ,40=40及。4=。夕三种情况考虑：①当。4=尸。时，由（2）的结

论结合全等三角形的性质可得出当点尸的坐标是（2,0）时尸8=尸。；②当4Q=4P时，

利用等腰三角形的性质结合N8P0=N8力。可得出/历1O=N80P,利用三角形外角的

性质可得出N40PANZMO,进而可得出此种情况不存在；③当。B=QP时,利用等腰

三角形的性质结合可得出设此时Q的坐标是（x,0）,在Rt

△O8P中利用勾股定理可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.综上，此题

得解.

【解答】解：（1）当x=0时，y=Wr+6=6,

4

・••点8的坐标为（0,6）；

当。=0时,亲+6=0,

解得：x=-8,

工点力的坐标为（-8,0）；

•・•点。与点4关于y轴对称，

・••点。的坐标为（8,0）,

•^C=V62+82=1°-

（2）当点尸的坐标是（2,0）时，△力尸。且△C8P,理由如下：

•・•点力的坐标为（-8：0）,点。的坐标为（2,0）,

，月尸=8+2=10.

：.AP=CB.

•:/BPQ=/BAO,ZBAO+ZAQP+ZAPQ=\^a,/APQ+/BPQ+NBPC=180°,

.../AQP=/CPR.

,：A和C关于y轴对称，

/.ZPAQ=ABCP.

rZAQP=ZCPB

在△/P。和△C3P中，ZPAQ=ZBCP,

AP=CB

:.XAPQWXCBP（AAS）.

，当点P的坐标是（2：0）时，XAPQ/lXCBP.

（3）分为三种情况：

①当尸8=P。时，如图1所示，由（2）知，当点尸的坐标是（2,0）时，"PQgA

CBP,

:.PB=PQ,

・•・此时。的坐标是（2,0）；

②当BQ=BP时.,则NBPQ=4BQP,

*：ZBAO=ZBPQ,

:・NBA（）=NBQP.

而根据三角形的外角性质得：NBQP>NBAO,

・•・此种情况不存在；

③当04=。。时，则尸0=/04夕=/胡。，

:・BP=AP,如图2所示.

设此时P的坐标是G,0）,

在山△（方〃中，由勾股定理得：8P2=0产+O炉，

(x+8)2=X2+62,

解得：X=-L,

4

・•・此时P的坐标是（・1，0）.

4

综上所述：当△尸08为等腰三角形时，点尸的坐标是（2,0）或（-［，0）.

6.【分析】（1）把y=6代入解析式得出点。的坐标，把戈=0代入解析式得出点E的坐标

即可；

（2）把j，=0代入解析式得出直线DE与x轴的交点坐标,利用三角形面积公式解答即可；

（3）①分三种情况，利用等腰直角三角形的性质解答即可；

②根据等腰直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：（1）•・•在长方形月8CO中，点8的坐标为（8,6）,直线y=2x-6与月8

交于点。，与y轴交于点£

把y=6代入y=2x-6中，x=6,

所以点。的坐标为（6,6）,

把x=（）代入y=2x-6中，y=-6,

所以点E的坐标为（0,-6）：

（2）如图1,

把y=0代入y=2r-6中，可得：x=3,

所以点尸的坐标为（3；0）,

AFC=8-3=5,

:A3E的面枳=SADFC+SACFE-|x5X6+yX5X6=30，

（3）①（a）若点力为直角顶点时，点。在第一象限，连接力C,如图2,ZAPB>Z

Q

ACB>45°，

不可能为等腰直角三角形，

・••点。不存在；

"）若点尸为直角顶点时，点。在第一象限，如图3,过点。作0〃_LC6,交C8的延

则RtAABPgRtAPHQ,

：・AB=PH=8,HQ=BP,

设0(x,2x-6),则//。=%-8,

--.2x-6=84-6-(x-8),

».•A_28

3

••・。管争

（c）若点。为直角顶点，点。在第一象限，如图4,

设。（x,2x-6）,

过点。‘作Q'G'VOA于点G,交BC于点〃，则RtA4GQgRtZ\p〃P,

：.AG1=Q,H,=6-（2x-6）,

Ax+6-(2v-6)=8,

x—4)

・・・。'(4,2),

设Q“(x,2x-6),

同理可得x+216-6=8,

•.•入v,20',

3

综上所述，点。的坐标可以为1（4»2）,（22,22）；

OOoo

②

当点P在8点时，如图,

AQ\=BQ\,N4QiB=90°,N。历4=45°,

*8=8,Q\TYAB.

：.AT=Q\T=^AB=4.

：-Q\的纵坐标为6+4=10,

同理，Q的纵坐标为6-4=2,

力。3=。03，ZJO3C=90°,/。»。=/030=45°,

过点。3作0S_L4O于点S,延长S0交C4于点M,

则

则03S=CW,SA=MQ3,

设点Q纵坐标为6+y,则BM=SA=MQ3=y，

那么Q3s—8-），一。“一6+），，

解得：y=\,

则，点:Q纵坐标为6+y=7,

同理可得，。4纵坐标为6-y=-I,

当点0为直角顶点时，，的取值范围为7W/W10或-1W/W2.

7.【分析】(1)根据等边三角形的性质可得高线EC的长，可得E的坐标；

(2)如图2,当8E所在的直线将△OM的面积分为3：1时，存在两种情况：①如图2,

SMD：S,、EDF=3：1,即OO：O尸=3：1,©S^OEDZS,\EDF=1：3,即。O：DF=\：3,

先确认OE的解析式，可得O/i和08的长，根据面积差可得结论；

(3)存在两种情况：①如图3,作辅助线，构建矩形和高线和根据

三角形/。8面积的两种求法列等式可得/)的值，②如图4,OE=OP,根据等腰三角形

和等边三角形的性质可得b的值.

【解答】解：(1)如接1,过£作£C_Lx轴于C,

•・,点F(2,0),

：.OF=2,

/为等边三角形，

：.OC=^OF=\,

2

RtZXOEC中，NE0C=60°,

；・/OEC=30°,

:・EC=M，

:・E(1,V3)；

(2)当6E所在的直线将△(?£尸的面积分为3：1时，存在两种情况：

①如图2,S^OED：S〉EDF=3：1,UPOD：DF=3：1,

Q

(—,0),

2

♦：E(1,V3)»

:,ED的解析式为：y=-2ax+3心

:,B(0,3禽)，A(3聪,0),

：・()B=0A=3近,

:.SMEB=SMOB-S^EOB-SAAOE吾义3炳X3V3--^X3V3X1--i-X3A/3X%=

乙乙乙

27g9_og

2222

@S^OED：S^EDF=1：3,gpOD：DF=\：3,

：.D(A,o),

2

•:E(1,V3)»

,・.七。的解析式为：y=20-脏、

(0,-V3)»

•・•点8在y轴正半轴上，

••・此种情况不符合题意；

综上，S》网的面积是9・盟2；

2

（3）存在两种情况：

①如图3,OE=EP,寸E作EQ_Lj，轴于。，作于M,作FG_LOP于G,

•••△力。8是等腰直角三角形，P是的中点，

：.OP上AB,

：・NEGP=NGPM=NEMP=90°,

・•・四边形EGPM是矩形，

•：OE=EP、

：,EM=PG=^OP=^AB=^^-^

244

S&AOB=ShBOE^S&AO计Sf、ABE，

yb2=^-b+yXA/3b十卷*V2b・^」「

乙乙乙乙*i

b=2^f3+2.

②如图4,当OE=O尸时，则OE=OP=2,

是等腰直角三角形，P是的中点，

：,AB=2OP=4,

：.OB=2立即b=2我,

故答案为：2、与十2或2勺巧.

8.【分析】(1)先确定出04=4,0C=8,进而得出力8=8,BC=4,利用勾股定理即可得

出力C：

(2)A,①利用折叠的性质得出8。=8-4。，最后用勾股定理即可得出结论；

②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；

B、①利用折叠的性质得出力£,利用勾股定理即可得出结论；

②先判断出/力尸。=9。°,再分情况讨论计算即可.

【解答】解：(1)•・•一次函数y=-2x+8的图象与x釉，y轴分别交于点4点C,

：.A(4,0),C(0,8),

：,OA=4,OC=8,

轴，CB_Ly轴，N4OC=90°，

・•・四边形O48C是矩形，

・..4?=OC=8,4c=0/=4,

在中，根据勾股定理得，/C=JAB2+BC2=4后

故答案为：8,4,

(2)A.①由(1)知，8C=4,力8=8,

由折叠知，CD=AD,

在RNC。中，BD=AB-AD=8-AD,

根据勾股定理得，5=8。2+8。2,

即：AD2=\6+(8-JD)2,

AD=59

②存在，理由：

由①知，D(4,5),

设P(0,y),

*：A(4,0),

/.JP2=16+y2,DP2=\6+(y-5)2,

•••△ZPO为等腰三角形，

・二I、AP=AD,

/.16+r=25,

.•.y=±3,

：.P(0,3)或(0,-3),

II、AP=DP,

16+/=16+(y-5)2,

2

:.P（0,—

2

IlkAD=DP,25=16+（y-5）2,

，y=2或8,

:,P（0,2）或（0,8）.

即：P（0,3）或（0,-3）或（0,亘）或（0,2）或（0,8）.

2

B、①、由力①知，力。=5,

由折叠知，AE=Lc=2氓,DE上AC于E,

2

在中，八七=〃口2的2=近

②、存在：理由：

•・•以点4,P,C为顶点的三角形与a/BC全等，

:•△APC/AABC,或ACPAq4ABC,

：.ZAPC=ZABC=W,

•・•四边形"AC是矩形，

•••△ACO丝△C48,此时，符合条件，点尸和点O重合，

即：P（0,0）,

如图3,

过点。作ON1/1C于N,

易证，△AONs^ACO,

.AN0A

0AAC

•.•A1N''1二-4

44V5

过点、N作NH上04,

：.NH//OA,

・•・△4W/SZ\4。。,

.ANNHAH

AC-0C-0A

475

•5NHAH

.•访蓝■二

:・NH=%.AH=&，

55

:・N<f4>

而点尸2与点。关于4c对称,

3216.

，02---，——)9

55

1224)

同理：点8关于4C的对称点Pi,同上的方法得，P\（-,—)9

55

(0,0),(维

5

9.【分析】（1）①由待定系数法可求出一次函数解析式；

②设出0点坐标",0）,由全等可得出关于机的一次方程，解方程即可得出结论：

（2）根据点斜式写出直线力8的解析式，由此可得出尸点、C点和P'点的坐标，由等

腰直角三角形的性质可得出各边的关系，由此得出关于4、8的二元一次方程组，解方程

组即可得出结论;

（3）结合（2）直线的解析式和尸、P'点的坐标，由线段OP'恰好被直线力8垂直平

分可得知OP'的斜率与48斜率互为负倒数，且OP的中点在直线43上，由此可得出

关于力的二元二次方程组，解方程组即可得出结论.

【解答】解：（1）①设直线43的函数表达式为^=云+6,

•・•点力的坐标是（-4,0）,点4的坐标是（0,3）

,f,3

・•・有产-4k+b,解得：kq

13=bb=3

故直线AB的函数表达式为了=2工+3.

4

②丁点尸是直线48上的一个动点，点。为x轴上一点（点。除外）,

；・设点。的坐标为（m，0）,NPAQ=NBAO,

：.AQ=\m+4\.

在RtZ\4O8中，AO=4,8。=3,^=7A02+B02=5-

/\APQ与AAOB全等有两种情况：

当40=力。时，即|“+4|=4,

解得；-0（舍去），或加=-8,

此时点。的坐标为（-8,0）；

当力0=44时，即|加+4|=5,

解得：/〃=-9,或m=1,

此时点Q的坐标为（-9,0）或（1,0）.

综上所述：点。的所有坐标为（・9,0）,（-8,0）或（1,0）.

故答案为:（-9,0）,（-8,0）或（1,0）.

（2）过尸作PO_Lx轴十点。，如图所本.

:点4的坐标是（・4,0）,点B的坐标是（0,b）（b>0）,

J直线AB的斜率为.<=旦,

0-（-4）4

即直线AB的解析式为y=2x+4

4

•・•点产在直线力笈上，

・•・点尸的坐标为（。，且a+b）,则点尸的坐标为（“，力），点C的坐标为（小0）,

44

点D的坐标为（・a,0）,

：.P'D=^-a+h,AC=a+4,AD=4-a.

4

•・•点户为第一象限的点，

：.a>0.

,：XACP'是以点P'为直角顶点的等腰直角三角形，

b,a+4

a+b=

P?D=yAC7—

，有＜乙跳（

b同

P'D=AD■ya+Kb=4-a

4

4

a=

解得：7.

b=2

（3）由（2）可知:点P的坐标为（历上。+力），则点，的坐标为（・“，互。+8,直

44

线48的解析式为

b

,,77a+b-0,,

则OP的中点坐标为（■且，与a'），直线的斜率为穹-------々・工

282-a-04a

•・•线段OP恰好被直线48垂直平分,

bbbax

京a加7（z”）+b

・・・有《

b/bb、［

Z（NT）=T

a=2a=2

解得：，4^3或，4A/3（舍去）.

b-

3

故答案为：生巨

3

10.【分析】（1）由OC：BC=3：5,设出8。的长度为5a.OC长度为3a,由百线与y轴

交点为氏可求出8点坐标，由勾股定理即可求出。的值，从而得出结论；

（2）假设存在，设出P点坐标，由于△48P是以为一条直角边的直角三角形分两种

情况，故分两种情况考虑，结合两点间的距离公式及勾股定理即可得出结论;

（3）由相似三角形的性质找出力。的长度，从而得出8。的长度，再结合点到直线的距

离与三角形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：（1）设线段4c的长度为5°,则0c=3〃.

令x—0,y—4：

令y=0,--A+4=0,解得：x=8.

2

即点8的坐标为（0,4）,点力的坐标为（8,0）,

：・OB=4,OA=8.

由勾股定理得：08=｛氏2_"2=44=4,

解得：a=l,

故线段4C的长为5.

(2)・.・0C=3a=3,

・•・点。的坐标为(・3,0),

又•・•点C关于原点O对称的点为点M,

J点M的坐标为(3,0),

・•・直线/的解析式为x=3.

假设存在符合条件的点P，设点尸坐